Usar matrices para transformar el plano: Mapear un vector

Digamos que tenemos el vector [3, 2], y ya sabemos  que podemos expresarlo como una suma ponderada de   los vectores unitarios en dos dimensiones  o como una combinación lineal, es decir,   podemos verlo como 3 por el vector unitario en  la dirección X, que es [1, 0] + 2 por el vector   unitario en dirección Y que es [0, 1]. Y podemos  graficar [3, 2] de la siguiente forma: tenemos   tres vectores unitarios en la dirección X, este  sería uno, estos serían dos y estos serían tres;   y después tenemos + 2 vectores unitarios en  dirección Y: este sería uno, estos serían dos,   y ahora ya sabemos dónde está nuestro vector  o cómo se ve. El vector [3, 2] se verá así.   Ahora apliquemos una transformación a este  vector. Digamos que tenemos la siguiente   matriz de transformación: [2, 1, 2, 3]. Ahora  bien, ya hemos pensado esto antes, podemos   decir que una matriz de transformación nos da la  imagen de los vectores unitarios, así que en lugar   de tener esta combinación lineal de los vectores  unitarios, tendremos esta nueva combinación lineal   de las imágenes de los vectores unitarios cuando  aplicamos la transformación. ¿A qué nos referimos?   Bueno, en lugar de tener 3 por el vector [1, 0]  tendremos 3 por el vector [2, 1], y en lugar de   tener 2 por el vector [0, 1] tendremos 2 por el  vector [2, 3]; por lo tanto, la imagen de nuestro   vector original, que denotaremos con prima  para saber que estamos hablando de la imagen,   será 3 por, y en lugar de tener el vector [1, 0]  tendremos el vector [2, 1] ya que es la imagen del   vector unitario [1, 0] bajo esta transformación,  más 2 por, y en lugar de tener el vector [0,   1] nos fijaremos en la imagen después de esta  transformación, ya que es justo lo que nos dice   esta matriz. Esa imagen es el vector [2, 3], y  podemos graficarlo: tenemos 3 veces el vector [2,   1] y 2 veces el vector [2, 3], y lo que vamos  a hacer es superponer esta cuadrícula adicional   para ayudarnos. Aquí tenemos [2, 1], el primer [2,  1], este es el segundo [2, 1] y ahora tenemos el   tercer [2, 1] justo así; así que si utilizamos  el mismo color esta parte de aquí será igual a   este vector, el vector que es 3 veces [2, 1] será  este de aquí. Ahora, a este de aquí le sumaremos   2 veces [2, 3], veamos: 2 y 3, éste será una vez  [2, 3] y después tenemos 2 veces [2, 3], así que   terminaremos justo acá. Ahora, déjame quitar la  cuadrícula adicional para ver los vectores más   claramente: por aquí, en morado, tenemos el vector  original [3, 2] y ahora la imagen será 3 veces [2,   1] + 2 veces [2, 3], por lo tanto, la imagen del  vector [3, 2] bajo esta matriz de transformación   será este nuevo vector que estoy dibujando  por aquí. Y parece que a simple vista es el   vector [10, 9], pero podemos comprobarlo haciendo  los cálculos, así que vamos a hacerlos: esto será   igual a 3 por 2 es 6 y 3 por 1 es 3, y a esto le  sumaremos 2 por 2 es 4, 2 por 3 es 6. Y, en efecto,   cuando sumamos las entradas correspondientes  tenemos que 6 + 4 es 10 y 3 + 6 es 9,   y hemos acabado. La conclusión más importante  aquí es que cualquier vector se puede representar   como una combinación lineal de los vectores  unitarios, y si tomamos una transformación,   entonces será una combinación lineal no de los  vectores unitarios sino de las imágenes de los   vectores unitarios. Así fue como lo encontramos  de manera visual y lo verificamos matemáticamente.