Ejemplo de pago esperado: boleto de lotería

Nos dicen que un tipo de juego  de lotería consiste en extraer   cuatro bolas numeradas de distintos  recipientes. Cada recipiente contiene   bolas rotuladas del 0 al 9, de modo que  hay 10,000 selecciones posibles en total. Por ejemplo, puedes sacar un 0,  un 0, un 0 y un 0, un 0, un 0,   un 0 y un 1, hasta llegar a 9999, cuatro nueves. Los jugadores pueden elegir una apuesta directa,   en la que el jugador gana si acierta  los cuatro dígitos en el orden correcto. La lotería paga 4,500 dólares por  una apuesta directa de 1 dólar.  Sea X la ganancia neta del jugador  en una apuesta directa de 1 dólar. Calcula la ganancia neta esperada.  Y también hay una pista: la ganancia  neta esperada puede ser negativa. Así que, pausa este video y trata de  calcular la ganancia neta esperada.  Muy bien. Hay un par de maneras distintas de abordar esto. Una es pensar en los dos resultados posibles. En un escenario, ganas con tu apuesta directa. En otro escenario, pierdes con tu apuesta directa. Ahora pensemos en la ganancia neta  en cualquiera de esos escenarios.  El escenario en el que ganas, pagas  1 dólar. Sabemos que es una apuesta   directa de 1 dólar y obtienes 4,500 dólares. Entonces, ¿cuál es la ganancia neta? Va a ser 4,500 dólares menos uno. De modo que tu ganancia  neta será de 4,499 dólares.  Ahora, ¿qué pasa con la ganancia neta si pierdes? Bueno, si pierdes, solo pierdes un dólar. Así que aquí va a ser menos 1 dólar. Ahora pensemos en las probabilidades  de cada una de estas situaciones.  Así que la probabilidad de una victoria  sabemos que es 1 en 10,000, 1 en 10,000. ¿Y cuál es la probabilidad de una pérdida? Bueno, va a ser de 9,999 en 10,000. Y entonces la ganancia neta esperada va a ser  simplemente la media ponderada de estos dos.  Así que podría escribir que la  ganancia neta esperada va a ser   4,499 por la probabilidad de eso,  1 en 10,000 más menos 1 por esto,   por lo que podría escribir  simplemente menos 9,999 sobre 10,000. Y así esto va a ser igual a, veamos, va a  ser 4,499 menos 9,999, todo eso sobre 10,000.  Y veamos, esto va a ser igual a menos 5,500  sobre 10,000, menos 5,500 sobre 10,000,   que es lo mismo que menos 55 sobre 100,  o podría escribirlo de esta manera. Esto es igual a menos 0.55. Podría escribirlo así, 0.55. Así que esa es una forma de  calcular la ganancia neta esperada. Otra forma de resolverlo es decir: “muy bien,  ¿qué pasa si conseguimos 10,000 boletos?”. ¿Cuál es la ganancia neta  esperada en los 10,000 boletos? Bueno, pagaríamos 10,000 dólares  y esperaríamos ganar una vez. No es una garantía, pero  esperaríamos ganar una vez.  Así que esperaríamos recibir un pago de 4,500. Y entonces, veamos, tendríamos una ganancia neta  de menos 5,500 dólares, menos 5,500 dólares.  Ahora, esta es la ganancia neta  cuando tienes 10,000 boletos. Ahora, si quieres hallar la ganancia neta esperada  por boleto, solo tienes que dividir entre 10,000.  Y si lo hicieras, obtendrías exactamente lo  que acabamos de calcular de la otra manera. Así que, ya sea que intentaras abordarla de  una u otra manera, no sería una gran apuesta.