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Precálculo
Curso: Precálculo > Unidad 8
Lección 5: Probabilidad con combinatoria- Probabilidad con combinaciones
- La probabilidad en la lotería. Ejemplo
- Distintas formas de elegir una mesa directiva. Ejemplo
- Ejemplo de probabilidad con permutaciones y combinaciones: prueba de sabor
- Ejemplo de probabilidad con combinaciones: elegir grupos
- Ejemplo de probabilidad con combinaciones: elegir cartas
- Probabilidad con permutaciones y combinaciones
- Probabilidad del premio mayor
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Ejemplo de probabilidad con permutaciones y combinaciones: prueba de sabor
Podemos usar combinaciones (cuando el orden no tiene importancia) y permutaciones (cuando el orden tiene importancia) para determinar probabilidades. Creado por Sal Khan.
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Transcripción del video
Nos dicen que Silvia organiza un concurso de cata
de aceite de oliva para un festival. De entre 15 variedades distintas, Silvia
elegirá 3 aceites de oliva diferentes y los mezclará. Un concursante probará
la mezcla y tratará de identificar, de entre esas 15 variedades, cuáles
son las 3 que se han utilizado. Supongamos que un concursante no puede
distinguir los sabores y adivina al azar. ¿Cuál es la probabilidad de que un concursante adivine correctamente qué 3
variedades se han utilizado? Pausa el video y piensa cuál sería la respuesta.
Puedes pensar simplemente en la expresión, no tienes que calcularla. Con eso será
suficiente, al menos para nuestros propósitos. Muy bien, ahora vamos a trabajar en esto juntos.
Sabemos varias cosas por aquí. Sabemos que tenemos 15 variedades distintas y estamos
eligiendo tres de esas variedades. Y cada vez que hablamos de probabilidad y
combinatoria, siempre es importante preguntarnos: "¿Importa el orden? ¿Importa el orden en
que Silvia escoge esas tres de las 15?” Pues no, no importa. Solo importa qué tres variedades mezclará, y no el orden en que los elija, o el
orden en que el concursante los adivine. Y así, si piensas en el número total de
formas de elegir tres cosas de un grupo de 15, podrías escribirlo como las combinaciones
de 15 variedades de las cuales elegimos 3. Una vez más, esto es solo una
notación abreviada de cuántas combinaciones hay para elegir
tres cosas de un grupo de 15... Así que algunos de ustedes podrían decir, “Hey, déjame pensar en las permutaciones por
aquí. Tengo 15 cosas. Y a partir de esas 15, quiero saber de cuántas maneras puedo escoger
tres cosas en las cuáles el orden sí importe”. Pero esa sería la situación en
la que el concursante tiene que adivinar en el mismo orden en el que las
variedades fueron mezcladas, o algo así, pero no estamos haciendo eso, solo nos
importa obtener las tres variedades correctas. Esto nos dirá el número total de
formas en que se puede elegir 3 de 15. ¿Y cuál es la probabilidad de que el concursante adivine correctamente las
tres variedades utilizadas? Bueno, el concursante va a adivinar
una de las posibles variedades por aquí. Así que la probabilidad sería 1 entre las
combinaciones de 15 de las cuales elegimos 3. Y si quisieras calcularlo,
esto sería igual a uno entre… y ahora, ¿de cuántas maneras
puedes elegir 3 cosas de 15? Y por supuesto hay una fórmula aquí, pero
siempre me gusta hacer el razonamiento primero. Podrías decir: "Muy bien, imaginemos que
se trata de tres lugares, hay 15 variedades diferentes que podrían ir en el primer lugar,
y luego hay 14 que podrían ir en el segundo, y luego hay 13 que pueden ir en el tercero".
Pero tenemos que recordar que no importa el orden en el que las elijamos. Entonces, ¿de
cuántas maneras se pueden reordenar tres cosas? Bueno, sería tres factorial,
o tres por dos por uno. Entonces esto es igual a 3 por
2 por 1 entre 15 por 14 por 13. Y podemos simplificarlo un poco,
podemos dividir el numerador y el denominador entre dos, y dividir el
numerador y el denominador entre tres. Esto va a ser igual a 1 entre 35 por 13, que
será igual a 1 entre… 350 más 105, que es 455. Y hemos terminado.