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Precálculo

Curso: Precálculo > Unidad 4

Lección 7: Sumar y restar expresiones racionales
Matemáticas
Precálculo
Funciones racionales
Sumar y restar expresiones racionales
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Sumar y restar expresiones racionales

Google Classroom
¿Ya has aprendido lo fundamental sobre la suma y resta de expresiones racionales? ¡Excelente! Ahora profundiza con algunos ejemplos más avanzados.

Lo que necesitas saber antes de está lección

Una expresión racional es el cociente de dos polinomios.
Para sumar o restar dos expresiones racionales con el mismo denominador, simplemente sumamos o restamos los numeradores, y escribimos el resultado sobre el denominador común.
Cuando los denominadores no son iguales, debemos manipularlos de manera que se conviertan en uno igual. En otras palabras, tenemos que encontrar un denominador común.
Si esto te parece nuevo, puedes estudiar primero estos artículos:

Lo que aprenderás en esta lección

En esta lección practicarás sumar y restar expresiones racionales con denominadores diferentes. En estos ejemplos utilizarás el mínimo común denominador como tu denominador común, y verás el beneficio de hacerlo así.

Calentamiento: start fraction, 3, divided by, x, minus, 2, end fraction, minus, start fraction, 2, divided by, x, plus, 1, end fraction

Para restar dos expresiones racionales, ¡ambas fracciones deben tener el mismo denominador.
En este ejemplo podemos crear un denominador común al multiplicar la primera fracción por left parenthesis, start fraction, x, plus, 1, divided by, x, plus, 1, end fraction, right parenthesis, y la segunda por left parenthesis, start fraction, x, minus, 2, divided by, x, minus, 2, end fraction, right parenthesis.
Luego podemos restar los numeradores y escribir el resultado sobre el denominador común.
=3x−2−2x+1=3x−2(x+1x+1)−2x+1(x−2x−2)=3(x+1)(x−2)(x+1)−2(x−2)(x+1)(x−2)=3(x+1)−2(x−2)(x−2)(x+1)=3x+3−2x+4(x−2)(x+1)=x+7(x−2)(x+1)\begin{aligned} &\phantom{=}{\dfrac{3}{\blueE{x-2}}-\dfrac{2}{\greenE{x+1}}} \\\\ &=\dfrac{3}{\blueE{x-2}}{\left(\greenE{\dfrac{x+1}{x+1}}\right)}-\dfrac{2}{\greenE{x+1}}{\left(\blueE{\dfrac{x-2}{x-2}}\right)} \\\\ &=\dfrac{3(x+1)}{(x-2)(x+1)}-\dfrac{2(x-2)}{(x+1)(x-2)} \\\\ &=\dfrac{3(x+1)-2(x-2)}{(x-2)(x+1)} \\\\ &=\dfrac{3x+3-2x+4}{(x-2)(x+1)} \\\\ &=\dfrac{x+7}{(x-2)(x+1)} \end{aligned}

Comprueba tu comprensión

Problema 1
Suma.
El numerador debe desarrollarse y simplificarse. El denominador debe desarrollarse o factorizarse.
start fraction, 5, x, divided by, x, plus, 3, end fraction, plus, start fraction, 4, divided by, x, plus, 2, end fraction, equals

Mínimos comunes denominadores

Fracciones numéricas

Algunas veces los denominadores de las dos fracciones son distintos, pero tienen algunos factores en común.
Por ejemplo, considera start fraction, 3, divided by, 4, end fraction, plus, start fraction, 1, divided by, 6, end fraction:
=34+16=32⋅2+12⋅3=32⋅2(33)+12⋅3(22)=912+212=1112\begin{aligned} &\phantom{=}\dfrac{3}{4}+\dfrac{1}{6} \\\\ &=\dfrac{3}{\blueE2\cdot \greenE2}+\dfrac{1}{\blueE2\cdot \goldE3} \\\\ &=\dfrac{3}{\blueE2\cdot \greenE2} {\left(\dfrac{\goldE3}{\goldE3}\right)}+\dfrac{1}{\blueE2\cdot\goldE3}{\left(\dfrac{\greenE2}{\greenE2}\right)} \\\\ &=\dfrac{9}{12}+\dfrac{2}{12} \\\\ &=\dfrac{11}{12} \end{aligned}
Observa que el denominador común utilizado en este ejemplo no fue el producto de los dos denominadores individuales (24). Más bien fue el mínimo común múltiplo de 4 y 6 (12).
El mínimo común múltiplo de los denominadores de dos o más fracciones se llama mínimo común denominador.

Expresiones variables

Apliquemos este razonamiento para realizar la siguiente suma:
start fraction, 2, divided by, left parenthesis, x, minus, 2, right parenthesis, left parenthesis, x, plus, 1, right parenthesis, end fraction, plus, start fraction, 3, divided by, left parenthesis, x, plus, 1, right parenthesis, left parenthesis, x, plus, 3, right parenthesis, end fraction
Primero encontremos el mínimo común denominador:
2(x−2)(x+1)⏟Requiereun factor (x+3)+3(x+1)(x+3)⏟Requiereun factor (x−2)\underbrace{\dfrac{2}{\blueE{(x-2)}\greenE{(x+1)}}}_{\begin{aligned} &\scriptsize\text{Requiere} \\ &\scriptsize\text{un factor } \\ &\scriptsize \purpleD{(x+3)} \end{aligned}}+\underbrace{\dfrac{3}{\greenE{(x+1)}\purpleD{(x+3)}}}_{\begin{aligned} &\scriptsize\text{Requiere} \\ &\scriptsize\text{un factor } \\ &\scriptsize \blueE{(x-2)} \end{aligned}}
Entonces el mínimo común denominador es start color #0c7f99, left parenthesis, x, minus, 2, right parenthesis, end color #0c7f99, start color #0d923f, left parenthesis, x, plus, 1, right parenthesis, end color #0d923f, start color #7854ab, left parenthesis, x, plus, 3, right parenthesis, end color #7854ab.
Podemos sumar las dos expresiones racionales como sigue:
=2(x−2)(x+1)+3(x+1)(x+3)=2(x−2)(x+1)(x+3x+3)+3(x+1)(x+3)(x−2x−2)=2(x+3)(x−2)(x+1)(x+3)+3(x−2)(x+1)(x+3)(x−2)=2(x+3)+3(x−2)(x−2)(x+1)(x+3)=2x+6+3x−6(x−2)(x+1)(x+3)=5x(x−2)(x+1)(x+3)\begin{aligned} &\phantom{=}\dfrac{2}{\blueE{(x-2)}\greenE{(x+1)}}+\dfrac{3}{\greenE{(x+1)}\purpleD{(x+3)}} \\\\ &=\dfrac{2}{\blueE{(x-2)}\greenE{(x+1)}}{\left(\purpleD{\dfrac{x+3}{x+3}}\right)}+\dfrac{3}{\greenE{(x+1)}\purpleD{(x+3)}}{\left(\blueE{\dfrac{x-2}{x-2}}\right)} \\\\ &=\dfrac{2(x+3)}{(x-2)(x+1)(x+3)}+\dfrac{3(x-2)}{(x+1)(x+3)(x-2)} \\\\ &=\dfrac{2(x+3)+3(x-2)}{(x-2)(x+1)(x+3)} \\\\ &=\dfrac{2x+6+3x-6}{(x-2)(x+1)(x+3)} \\\\ &=\dfrac{5x}{(x-2)(x+1)(x+3)} \end{aligned}

Comprueba tu comprensión

Problema 2
Suma.
El numerador debe desarrollarse y simplificarse. El denominador debe desarrollarse o factorizarse.
start fraction, 1, divided by, x, left parenthesis, x, minus, 6, right parenthesis, end fraction, plus, start fraction, 3, divided by, left parenthesis, x, plus, 1, right parenthesis, left parenthesis, x, minus, 6, right parenthesis, end fraction, equals

Problema 3
Resta.
El numerador debe desarrollarse y simplificarse. El denominador debe desarrollarse o factorizarse.
start fraction, 3, x, divided by, 2, left parenthesis, x, minus, 1, right parenthesis, end fraction, minus, start fraction, 4, divided by, left parenthesis, x, minus, 1, right parenthesis, left parenthesis, x, plus, 2, right parenthesis, end fraction, equals

Problema de desafío
Suma.
El numerador debe desarrollarse y simplificarse. El denominador debe desarrollarse o factorizarse.
start fraction, 2, divided by, x, squared, minus, 1, end fraction, plus, start fraction, 1, divided by, x, squared, minus, 3, x, minus, 4, end fraction, equals

¿Por qué utilizar el mínimo común denominador?

Quizá te preguntes por qué es tan importante utilizar el mínimo común denominador para sumar o restar expresiones racionales.
Después de todo, esto no es indispensable, y es simple utilizar otros denominadores con fracciones numéricas.
Por ejemplo, en la siguiente tabla se calcula start fraction, 3, divided by, 4, end fraction, plus, start fraction, 1, divided by, 6, end fraction con dos denominadores comunes diferentes; una con el mínimo común denominador (12) , y la otra con el producto de los dos denominadores (24).
Mínimo común denominador (12)Denominador común (24)
 34+16=34(33)+16(22)=912+212=111212\begin{aligned}~\dfrac{3}{4}+\dfrac{1}{6}&=\dfrac{3}{\blueE4} {\left(\dfrac{\goldE3}{\goldE3}\right)}+\dfrac{1}{\greenE6}{\left(\dfrac{\purpleD2}{\purpleD2}\right)}\\\\&=\dfrac{9}{12}+\dfrac{2}{12}\\\\&=\dfrac{11}{12}\\\\&\phantom{\dfrac{1}{2}}\end{aligned}34+16=34(66)+16(44)=1824+424=2224=1112\begin{aligned}\dfrac{3}{\blueE4}+\dfrac{1}{\greenE6}&=\dfrac{3}{\blueE4}\left(\greenE{\dfrac{6}{6}}\right)+\dfrac{1}{\greenE6}\left(\blueE{\dfrac{4}{4}}\right)\\\\&=\dfrac{18}{24}+\dfrac{4}{24}\\\\&=\dfrac{22}{24}\\\\&=\dfrac{11}{12}\end{aligned}
Observa que usar 24 como denominador en común requirió más trabajo. Los números eran más grandes y hubo que simplificar la fracción resultante.
Esto también ocurrirá si no utilizas el mínimo común denominador al sumar o restar expresiones racionales.
Sin embargo, con expresiones racionales este proceso es mucho más difícil, pues ¡los numeradores y denominadores serán polinomios en lugar de enteros! Tendrás que realizar aritmética con polinomios de mayor grado y luego factorizarlos para simplificar la fracción.
Todo este trabajo extra se puede evitar si se utiliza el mínimo común denominador para sumar o restar expresiones racionales.

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