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Precálculo

Curso: Precálculo > Unidad 4

Lección 7: Sumar y restar expresiones racionales
Matemáticas
Precálculo
Funciones racionales
Sumar y restar expresiones racionales
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Introducción a sumar y restar expresiones racionales

Google Classroom
Aprende cómo sumar o restar dos expresiones racionales para obtener una sola expresión racional.

Temas con los que debes estar familiarizado antes de leer esta lección

Una expresión racional es un cociente de dos polinomios. Por ejemplo, la expresión start fraction, x, plus, 2, divided by, x, plus, 1, end fraction es una expresión racional.
Si no estás familiarizado con expresiones racionales, tal vez quieras revisar nuestra introducción a expresiones racionales.

Lo que aprenderás en esta lección

En esta lección, aprenderás a sumar y a restar expresiones racionales.

Sumar y restar expresiones racionales (denominadores comunes)

Fracciones numéricas

Podemos sumar y restar expresiones racionales de manera similar a la suma y resta de fracciones numéricas.
Para sumar o restar dos fracciones numéricas con el mismo denominador, simplemente sumamos o restamos los numeradores, y escribimos el resultado sobre el denominador común.
=45−15=4−15=35\begin{aligned} &\phantom{=}\dfrac{\blueE4}{\purpleD5}-\dfrac{\blueE1}{\purpleD5} \\\\ &=\dfrac{\blueE{4}-\blueE{1}}{\purpleD 5} \\\\ &=\dfrac{3}{5} \end{aligned}

Expresiones variables

El proceso es el mismo con expresiones racionales:
=7a+3a+2+2a−1a+2=(7a+3)+(2a−1)a+2=7a+3+2a−1a+2=9a+2a+2\begin{aligned} &\phantom{=}\dfrac{\blueE{7a+3}}{\purpleD{a+2}}+\dfrac{\blueE{2a-1}}{\purpleD{a+2}} \\\\ &=\dfrac{(\blueE{7a+3})+(\blueE{2a-1})}{\purpleD{a+2}} \\\\ &=\dfrac{{7a+3}+{2a-1}}{{a+2}} \\\\ &=\dfrac{9a+2}{a+2} \end{aligned}
Dejar los numeradores entre paréntesis es buena práctica, sobre todo cuando se restan expresiones racionales. De esta manera, ¡recordaremos distribuir el signo negativo!
Por ejemplo:
=b+1b2−4−bb2=(b+1)−(4−b)b2=b+1−4+bb2=2b−3b2\begin{aligned} &\phantom{=}\dfrac{\blueE{b+1}}{\purpleD{b^2}}-\dfrac{\blueE{4-b}}{\purpleD{b^2}} \\\\ &=\dfrac{(\blueE{b+1})-(\blueE{4-b})}{\purpleD{b^2}} \\\\ &=\dfrac{b+1-4+b}{{b^2}} \\\\ &=\dfrac{2b-3}{b^2} \end{aligned}

Comprueba tu comprensión

Problema 1
Suma.
start fraction, x, plus, 5, divided by, x, minus, 1, end fraction, plus, start fraction, 2, x, minus, 3, divided by, x, minus, 1, end fraction, equals

Problema 2
Resta.
start fraction, x, plus, 1, divided by, 2, x, end fraction, minus, start fraction, 5, x, minus, 2, divided by, 2, x, end fraction, equals

Sumar y restar expresiones racionales (denominadores diferentes)

Fracciones numéricas

Para entender cómo sumar o restar expresiones racionales con denominadores diferentes, primero examinemos cómo se hace esto con fracciones numéricas.
Por ejemplo, calculemos start fraction, 2, divided by, 3, end fraction, plus, start fraction, 1, divided by, 2, end fraction.
=23+12=23(22)+12(33)=46+36=76\begin{aligned} &\phantom{=}\dfrac{2}{\blueE3}+\dfrac{1}{\tealE2} \\\\ &=\dfrac{2}{\blueE3} \left(\tealE{\dfrac{2}{2}}\right)+\dfrac{1}{\tealE2}\left( \blueE{\dfrac{3}{3}}\right) \\\\ &=\dfrac{4}{6}+\dfrac{3}{6} \\\\ &=\dfrac{7}{6} \end{aligned}
Observa que necesitamos el denominador común 6 para sumar las dos fracciones:
  • El denominador de la primera fracción left parenthesis, start color #0c7f99, 3, end color #0c7f99, right parenthesis requirió un factor start color #208170, 2, end color #208170.
  • El denominador de la segunda fracción left parenthesis, start color #208170, 2, end color #208170, right parenthesis requirió un factor start color #0c7f99, 3, end color #0c7f99.
Cada fracción se multiplicó por un número equivalente a 1.

Expresiones variables

Ahora apliquemos esto en el siguiente ejemplo:
start fraction, 1, divided by, start color #0c7f99, x, minus, 3, end color #0c7f99, end fraction, plus, start fraction, 2, divided by, start color #208170, x, plus, 5, end color #208170, end fraction
Para que los dos denominadores sean iguales, el primero requiere un factor de start color #208170, x, plus, 5, end color #208170, y el segundo un factor de start color #0c7f99, x, minus, 3, end color #0c7f99. Manipulemos las fracciones para lograr esto. Después podremos sumar de la manera usual.
=1x−3+2x+5=1x−3(x+5x+5)+2x+5(x−3x−3)=1(x+5)(x−3)(x+5)+2(x−3)(x+5)(x−3)=1(x+5)+2(x−3)(x−3)(x+5)=1x+5+2x−6(x−3)(x+5)=3x−1(x−3)(x+5)\begin{aligned} &\phantom{=}{\dfrac{1}{\blueE{x-3}}+\dfrac{2}{\tealE{x+5}}} \\\\ &=\dfrac{1}{\blueE{x-3}}{\left(\tealE{\dfrac{x+5}{x+5}}\right)}+\dfrac{2}{\tealE{x+5}}{\left(\blueE{\dfrac{x-3}{x-3}}\right)} \\\\ &=\dfrac{1(x+5)}{(x-3)(x+5)}+\dfrac{2(x-3)}{(x+5)(x-3)} \\\\ &=\dfrac{1(x+5)+2(x-3)}{(x-3)(x+5)} \\\\ &=\dfrac{1x+5+2x-6}{(x-3)(x+5)} \\\\ &=\dfrac{3x-1}{(x-3)(x+5)} \end{aligned}
Observa que el primer paso es posible pues start fraction, x, plus, 5, divided by, x, plus, 5, end fraction, y start fraction, x, minus, 3, divided by, x, minus, 3, end fraction son ambas iguales a 1, y ¡multiplicar por 1 no altera el valor de la expresión!
En los dos últimos pasos volvemos a escribir el numerador. Aunque puedes desarrollar left parenthesis, x, minus, 3, right parenthesis, left parenthesis, x, plus, 5, right parenthesis en el denominador, es usual dejarlo en forma factorizada.

Comprueba tu comprensión

Problema 3
Suma.
start fraction, 3, divided by, x, plus, 4, end fraction, plus, start fraction, 2, divided by, x, minus, 2, end fraction, equals

Problema 4
Resta.
start fraction, 2, divided by, x, minus, 1, end fraction, minus, start fraction, 5, divided by, x, end fraction, equals

¿Qué sigue?

Nuestro siguiente artículo cubre ejemplos más desafiantes de sumar y restar expresiones racionales.
Aprenderás acerca del mínimo común denominador, y por qué es importante usarlo como denominador común al sumar o restar expresiones racionales.

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