Dividir expresiones racionales

El objetivo de este video es ver si podemos  dividir esta expresión grande y peliaguda,   en la que esencialmente estaremos dividiendo  expresiones racionales, y luego escribirla en   términos simplificados. Si están inspirados,  los animo a pausar el video y trabajar en esto   por su cuenta antes de que lo hagamos juntos. Muy  bien, hagamos esto juntos. Esto es completamente   análogo a dividir fracciones, de modo que si  dividiéramos la fracción 6/25 entre la fracción   15/9 sabemos que podemos reescribir esto como 6/25  ÷ 15/9, que a su vez es lo mismo que 6/25 • 9/15;   y luego podemos factorizar los numeradores y  denominadores, esto es: 2 • 3, esto es 3 • 3,   esto es 5 • 5, esto es 5 • 3. Veamos: 3 en  el numerador, 3 en el denominador, y de hecho   esto es lo más lejos que podemos llegar, así  que tenemos 2 • 3 • 3 = 18 en el numerador;   y luego en el denominador tenemos 5 • 5 • 5 = 125.  De modo que haremos exactamente lo mismo aquí,   pero hay una complicación adicional: tenemos que  realizar un seguimiento de los valores de x que   harían que esta expresión fuera indefinida, porque  a medida que reducimos los términos a su mínima   expresión podríamos perder esa información, y si  perdemos esa información entonces cambiaríamos   la expresión. Así que tenemos que revisar cómo  estamos restringiendo este dominio. En primer   lugar, podemos reescribir esto como x² - 3x -  4, todo esto sobre -3x - 15, y todo eso dividido   entre esto que tenemos aquí: x² - 16 / x² - x  - 30. Ahora, lo siguiente que podemos hacer es   factorizar los numeradores y denominadores, y  pensar en qué valores de x nos pueden meter en   problemas. Entonces, x² - 3x - 4, veamos: -4 •  1 sería -4, y luego -4 y 1 sumarían -3; podemos   escribir esto como (x - 4) (x + 1), reescribámoslo  de esa manera. Y también podemos reescribir lo que   tenemos aquí abajo, podríamos factorizar -3,  así que podríamos escribirlo como -3 (x + 5);   y luego podríamos escribir esto que tenemos aquí,  que es una diferencia de cuadrados como (x + 4)   (x - 4). Y, por último, pero no menos importante,  este de aquí, veamos: si tengo un 5 y un 6,   -6 + 5 = -1, -6 • 5 = -30, entonces va a ser (x  - 6) (x + 5). Ahora, antes de avanzar, la razón   por la que factoricé en este momento es pensar en  los valores de x que nos podrían causar problemas.   Sabemos que cualquier valor de x que haga que  cualquiera de los denominadores sea igual a 0   haría que esto fuera indefinido, así que queremos  restringir nuestro dominio para evitarlo. Sabemos,   por ejemplo, que x no puede ser igual a -5, porque  eso haría que este denominador fuera igual a 0   -déjenme escribir eso aquí-. Entonces, x no puede  ser igual a -5. También sabemos que x no puede   ser igual a 6, x no puede ser igual a 6, y esto  también nos dice que x no puede ser igual a -5,   así que no tengo que volver a escribir eso. Pero  no hemos terminado, hemos descubierto los valores   de x que hacen que estos denominadores sean  iguales a 0, pero recuerden que también estamos   dividiendo entre toda esta expresión que tenemos  aquí. Entonces cualquier cosa que puede hacer que   la expresión completa sea igual a 0 también es  un problema, porque no se puede dividir entre 0,   así que cualquier cosa que haga que este numerador  sea igual a 0 -que es este numerador que   tenemos aquí- también nos haría dividir entre 0.  Entonces, tenemos que restringir aquí, no este   el numerador de aquí, este está bien, podría ser  igual a 0, porque podemos dividir 0 entre otras   cosas. Podemos ver que x no puede ser igual a -4 y  en realidad x no puede ser igual a 4 positivo, así   que ahora hemos restringido completamente nuestro  dominio y podemos continuar. Déjenme encerrar   esto, y continuemos; podemos reescribir todo esto.  Entonces, vamos a tener (x - 4) (x + 1), todo eso   sobre -3 (x + 5), y ahora, en lugar de dividir  entre esto, voy a multiplicar por el recíproco:   por, y sólo voy a tomar el recíproco, (x - 6) (x +  5), todo eso sobre (x + 4) (x - 4). Y una vez más   nuestro dominio está restringido de esta manera.  Veamos: tenemos x -4 en el numerador y x - 4 en el   denominador, x + 5 en el denominador y x + 5 en  el numerador, y ahora podemos decir que esto va   a ser igual a (x + 1) (x - 6), todo esto sobre  -3, -3 (x + 4), equis más cuatro. Por la forma   en que está escrito ahora, está claro que x no  puede ser igual a -4, entonces podemos decir que   esta información ya está aquí en esta expresión,  ahora que la hemos reducido a su mínima expresión.   Pero esta otra información que tenemos aquí  se ha perdido, así que si queremos que esta   expresión sea verdaderamente equivalente  a esta expresión que tenemos aquí arriba,   también tendríamos que decir que, coma, x  no puede ser igual a -5, 6, 4 positivos;   podríamos agregar el -4 de aquí si queremos,  pero ya está en la expresión, por así decirlo.