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Contenido principal

Dividir expresiones racionales

Cuando dividimos expresiones racionales, multiplicamos el dividendo (la primera expresión) por el recíproco del divisor (la segunda expresión). También podemos ver si podemos recudir el cociente a su mínima expresión. Esto se parece mucho a dividir fracciones, solo que tenemos pensar en el dominio mientras lo hacemos. Creado por Sal Khan.

Transcripción del video

El objetivo de este video es ver si podemos  dividir esta expresión grande y peliaguda,   en la que esencialmente estaremos dividiendo  expresiones racionales, y luego escribirla en   términos simplificados. Si están inspirados,  los animo a pausar el video y trabajar en esto   por su cuenta antes de que lo hagamos juntos. Muy  bien, hagamos esto juntos. Esto es completamente   análogo a dividir fracciones, de modo que si  dividiéramos la fracción 6/25 entre la fracción   15/9 sabemos que podemos reescribir esto como 6/25  ÷ 15/9, que a su vez es lo mismo que 6/25 • 9/15;   y luego podemos factorizar los numeradores y  denominadores, esto es: 2 • 3, esto es 3 • 3,   esto es 5 • 5, esto es 5 • 3. Veamos: 3 en  el numerador, 3 en el denominador, y de hecho   esto es lo más lejos que podemos llegar, así  que tenemos 2 • 3 • 3 = 18 en el numerador;   y luego en el denominador tenemos 5 • 5 • 5 = 125.  De modo que haremos exactamente lo mismo aquí,   pero hay una complicación adicional: tenemos que  realizar un seguimiento de los valores de x que   harían que esta expresión fuera indefinida, porque  a medida que reducimos los términos a su mínima   expresión podríamos perder esa información, y si  perdemos esa información entonces cambiaríamos   la expresión. Así que tenemos que revisar cómo  estamos restringiendo este dominio. En primer   lugar, podemos reescribir esto como x² - 3x -  4, todo esto sobre -3x - 15, y todo eso dividido   entre esto que tenemos aquí: x² - 16 / x² - x  - 30. Ahora, lo siguiente que podemos hacer es   factorizar los numeradores y denominadores, y  pensar en qué valores de x nos pueden meter en   problemas. Entonces, x² - 3x - 4, veamos: -4 •  1 sería -4, y luego -4 y 1 sumarían -3; podemos   escribir esto como (x - 4) (x + 1), reescribámoslo  de esa manera. Y también podemos reescribir lo que   tenemos aquí abajo, podríamos factorizar -3,  así que podríamos escribirlo como -3 (x + 5);   y luego podríamos escribir esto que tenemos aquí,  que es una diferencia de cuadrados como (x + 4)   (x - 4). Y, por último, pero no menos importante,  este de aquí, veamos: si tengo un 5 y un 6,   -6 + 5 = -1, -6 • 5 = -30, entonces va a ser (x  - 6) (x + 5). Ahora, antes de avanzar, la razón   por la que factoricé en este momento es pensar en  los valores de x que nos podrían causar problemas.   Sabemos que cualquier valor de x que haga que  cualquiera de los denominadores sea igual a 0   haría que esto fuera indefinido, así que queremos  restringir nuestro dominio para evitarlo. Sabemos,   por ejemplo, que x no puede ser igual a -5, porque  eso haría que este denominador fuera igual a 0   -déjenme escribir eso aquí-. Entonces, x no puede  ser igual a -5. También sabemos que x no puede   ser igual a 6, x no puede ser igual a 6, y esto  también nos dice que x no puede ser igual a -5,   así que no tengo que volver a escribir eso. Pero  no hemos terminado, hemos descubierto los valores   de x que hacen que estos denominadores sean  iguales a 0, pero recuerden que también estamos   dividiendo entre toda esta expresión que tenemos  aquí. Entonces cualquier cosa que puede hacer que   la expresión completa sea igual a 0 también es  un problema, porque no se puede dividir entre 0,   así que cualquier cosa que haga que este numerador  sea igual a 0 -que es este numerador que   tenemos aquí- también nos haría dividir entre 0.  Entonces, tenemos que restringir aquí, no este   el numerador de aquí, este está bien, podría ser  igual a 0, porque podemos dividir 0 entre otras   cosas. Podemos ver que x no puede ser igual a -4 y  en realidad x no puede ser igual a 4 positivo, así   que ahora hemos restringido completamente nuestro  dominio y podemos continuar. Déjenme encerrar   esto, y continuemos; podemos reescribir todo esto.  Entonces, vamos a tener (x - 4) (x + 1), todo eso   sobre -3 (x + 5), y ahora, en lugar de dividir  entre esto, voy a multiplicar por el recíproco:   por, y sólo voy a tomar el recíproco, (x - 6) (x +  5), todo eso sobre (x + 4) (x - 4). Y una vez más   nuestro dominio está restringido de esta manera.  Veamos: tenemos x -4 en el numerador y x - 4 en el   denominador, x + 5 en el denominador y x + 5 en  el numerador, y ahora podemos decir que esto va   a ser igual a (x + 1) (x - 6), todo esto sobre  -3, -3 (x + 4), equis más cuatro. Por la forma   en que está escrito ahora, está claro que x no  puede ser igual a -4, entonces podemos decir que   esta información ya está aquí en esta expresión,  ahora que la hemos reducido a su mínima expresión.   Pero esta otra información que tenemos aquí  se ha perdido, así que si queremos que esta   expresión sea verdaderamente equivalente  a esta expresión que tenemos aquí arriba,   también tendríamos que decir que, coma, x  no puede ser igual a -5, 6, 4 positivos;   podríamos agregar el -4 de aquí si queremos,  pero ya está en la expresión, por así decirlo.