Contenido principal
Precálculo
Curso: Precálculo > Unidad 4
Lección 6: Multiplicar y dividir expresiones racionalesDividir expresiones racionales
Cuando dividimos expresiones racionales, multiplicamos el dividendo (la primera expresión) por el recíproco del divisor (la segunda expresión). También podemos ver si podemos recudir el cociente a su mínima expresión. Esto se parece mucho a dividir fracciones, solo que tenemos pensar en el dominio mientras lo hacemos. Creado por Sal Khan.
¿Quieres unirte a la conversación?
Sin publicaciones aún.
Transcripción del video
El objetivo de este video es ver si podemos
dividir esta expresión grande y peliaguda, en la que esencialmente estaremos dividiendo
expresiones racionales, y luego escribirla en términos simplificados. Si están inspirados,
los animo a pausar el video y trabajar en esto por su cuenta antes de que lo hagamos juntos. Muy
bien, hagamos esto juntos. Esto es completamente análogo a dividir fracciones, de modo que si
dividiéramos la fracción 6/25 entre la fracción 15/9 sabemos que podemos reescribir esto como 6/25
÷ 15/9, que a su vez es lo mismo que 6/25 • 9/15; y luego podemos factorizar los numeradores y
denominadores, esto es: 2 • 3, esto es 3 • 3, esto es 5 • 5, esto es 5 • 3. Veamos: 3 en
el numerador, 3 en el denominador, y de hecho esto es lo más lejos que podemos llegar, así
que tenemos 2 • 3 • 3 = 18 en el numerador; y luego en el denominador tenemos 5 • 5 • 5 = 125.
De modo que haremos exactamente lo mismo aquí, pero hay una complicación adicional: tenemos que
realizar un seguimiento de los valores de x que harían que esta expresión fuera indefinida, porque
a medida que reducimos los términos a su mínima expresión podríamos perder esa información, y si
perdemos esa información entonces cambiaríamos la expresión. Así que tenemos que revisar cómo
estamos restringiendo este dominio. En primer lugar, podemos reescribir esto como x² - 3x -
4, todo esto sobre -3x - 15, y todo eso dividido entre esto que tenemos aquí: x² - 16 / x² - x
- 30. Ahora, lo siguiente que podemos hacer es factorizar los numeradores y denominadores, y
pensar en qué valores de x nos pueden meter en problemas. Entonces, x² - 3x - 4, veamos: -4 •
1 sería -4, y luego -4 y 1 sumarían -3; podemos escribir esto como (x - 4) (x + 1), reescribámoslo
de esa manera. Y también podemos reescribir lo que tenemos aquí abajo, podríamos factorizar -3,
así que podríamos escribirlo como -3 (x + 5); y luego podríamos escribir esto que tenemos aquí,
que es una diferencia de cuadrados como (x + 4) (x - 4). Y, por último, pero no menos importante,
este de aquí, veamos: si tengo un 5 y un 6, -6 + 5 = -1, -6 • 5 = -30, entonces va a ser (x
- 6) (x + 5). Ahora, antes de avanzar, la razón por la que factoricé en este momento es pensar en
los valores de x que nos podrían causar problemas. Sabemos que cualquier valor de x que haga que
cualquiera de los denominadores sea igual a 0 haría que esto fuera indefinido, así que queremos
restringir nuestro dominio para evitarlo. Sabemos, por ejemplo, que x no puede ser igual a -5, porque
eso haría que este denominador fuera igual a 0 -déjenme escribir eso aquí-. Entonces, x no puede
ser igual a -5. También sabemos que x no puede ser igual a 6, x no puede ser igual a 6, y esto
también nos dice que x no puede ser igual a -5, así que no tengo que volver a escribir eso. Pero
no hemos terminado, hemos descubierto los valores de x que hacen que estos denominadores sean
iguales a 0, pero recuerden que también estamos dividiendo entre toda esta expresión que tenemos
aquí. Entonces cualquier cosa que puede hacer que la expresión completa sea igual a 0 también es
un problema, porque no se puede dividir entre 0, así que cualquier cosa que haga que este numerador
sea igual a 0 -que es este numerador que tenemos aquí- también nos haría dividir entre 0.
Entonces, tenemos que restringir aquí, no este el numerador de aquí, este está bien, podría ser
igual a 0, porque podemos dividir 0 entre otras cosas. Podemos ver que x no puede ser igual a -4 y
en realidad x no puede ser igual a 4 positivo, así que ahora hemos restringido completamente nuestro
dominio y podemos continuar. Déjenme encerrar esto, y continuemos; podemos reescribir todo esto.
Entonces, vamos a tener (x - 4) (x + 1), todo eso sobre -3 (x + 5), y ahora, en lugar de dividir
entre esto, voy a multiplicar por el recíproco: por, y sólo voy a tomar el recíproco, (x - 6) (x +
5), todo eso sobre (x + 4) (x - 4). Y una vez más nuestro dominio está restringido de esta manera.
Veamos: tenemos x -4 en el numerador y x - 4 en el denominador, x + 5 en el denominador y x + 5 en
el numerador, y ahora podemos decir que esto va a ser igual a (x + 1) (x - 6), todo esto sobre
-3, -3 (x + 4), equis más cuatro. Por la forma en que está escrito ahora, está claro que x no
puede ser igual a -4, entonces podemos decir que esta información ya está aquí en esta expresión,
ahora que la hemos reducido a su mínima expresión. Pero esta otra información que tenemos aquí
se ha perdido, así que si queremos que esta expresión sea verdaderamente equivalente
a esta expresión que tenemos aquí arriba, también tendríamos que decir que, coma, x
no puede ser igual a -5, 6, 4 positivos; podríamos agregar el -4 de aquí si queremos,
pero ya está en la expresión, por así decirlo.