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Precálculo
Curso: Precálculo > Unidad 4
Lección 6: Multiplicar y dividir expresiones racionalesMultiplicar expresiones racionales
Cuando multiplicamos expresiones racionales, multiplicamos ambos numeradores y multiplicamos ambos denominadores. También podemos ver si podemos reducir el producto a su mínima expresión. Esto se parece mucho a multiplicar fracciones, solo que tenemos que pensar en el dominio mientras lo hacemos. Creado por Sal Khan.
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Transcripción del video
Aquí tenemos una expresión en la que estamos
multiplicando expresiones racionales, y lo que queremos hacer es multiplicar y después
reducir hasta su mínima expresión. Si te sientes inspirado, te invito a que pauses este video
y lo intentes por tu cuenta. Bien, trabajemos juntos. Multiplicar expresiones racionales como
esta se parece mucho a multiplicar fracciones, por ejemplo, si queremos multiplicar 6/25 • 15/9
podemos resolverlo de muchas formas, podemos simplemente multiplicar 6 por 15 en el numerador
y 25 por 9 en el denominador. Sin embargo, el procedimiento que muchos de nosotros utilizamos
para que sea más fácil reducirlo a su mínima expresión es factorizar, es decir, darnos cuenta
de que 6 = 2 • 3, 9 = 3 • 3, 15 = 3 • 5 y 25 = 5 • 5, y esto nos permite ver que tenemos un 5 en
el numerador y en el denominador; y 5 / 5 = 1, 3 / 3 también es 1, otra vez 3 / 3 es 1, y por lo
tanto sólo nos quedaremos con este 2 y con este 5. Así que esto será igual a 2/5. Vamos a hacer
algo análogo para estas expresiones racionales, vamos a factorizarlas todas tanto en el numerador
como en el denominador, y luego veremos si podemos dividir el numerador y el denominador por lo
mismo. Ahora bien, es importante asegurarnos de conservar el mismo dominio mientras realizamos
todo esto, porque estas expresiones racionales pueden tener valores x que hagan que el
denominador sea igual a 0, e incluso si reducimos a la mínima expresión y nos deshacemos
de ciertas expresiones para que la expresión final sea igual que la expresión original, tenemos
que restringir el dominio de la misma forma. Así que empecemos. Esto será igual a... y vamos
a reescribir todo esto. ¿Cómo factorizamos x² - 9? Bueno, es una diferencia de cuadrados y, por lo
tanto, podemos escribirla como (x + 3) (x - 3), esto entre... y toda esta expresión ¿cómo podemos
factorizarla? Veamos: 5² es 25 y -5 + -5 = -10, así que esto puede factorizarse como: (x - 5) (x
- 5). Y si la idea de factorizar no te resulta familiar, te invito a que revises el tema de
factorización en Khan Academy. Entonces, vamos a multiplicar esto por... Y veamos ¿qué podemos
factorizar de esta expresión en rojo? Bueno, podemos factorizar un 4, así que esto será 4 (x
- 5), lo cual es bastante útil ya que tenemos un x - 5 arriba y otro abajo; y a esto lo dividiremos
entre... y veamos ¿cómo podemos factorizar la expresión azul? 2 + 3 = 5 y 2 * 3 = 6, así
que será (x + 2) (x + 3). Ahora bien, antes de empezar a reducir a la mínima expresión, pensemos
en el dominio. El dominio estará restringido por todos los valores que hagan estos denominadores
igual a 0, es decir, el dominio serán todos los números reales excepto x = 5, es decir, x no puede
ser igual a 5 porque si x es igual a 5 entonces este denominador será 0; además x no puede ser
igual a -2, x no puede ser igual a -2 ya que, si x es igual a -2, este denominador será 0; y por
último, x no puede ser igual a -3, por lo tanto, el dominio está restringido de esta forma. Tenemos
que tener en cuenta estos valores ya que, sin importar qué le hagamos a nuestra expresión, éstas
serán nuestras restricciones en nuestro dominio. Bien, con esto en mente, ya podemos reducir a su
mínima expresión. Así que veamos: tenemos (x + 3) en el numerador y (x + 3) en el denominador, (x
- 5) en el numerador y (x - 5) en el denominador, y creo que es todo lo que podemos reducir, por
lo tanto, cuando multiplicamos los numeradores obtendremos 4 (x - 3) entre, y si multiplicamos
ahora los denominadores obtendremos (x - 5) (x + 2). Y si queremos, podemos presentar el
resultado de esta manera o podemos multiplicar estas expresiones, de cualquier forma hemos
terminado de multiplicar estas expresiones algebraicas. Y no olvidemos que x no puede tomar
ninguno de estos tres valores. Puedes ver que ahora que simplificamos todavía tenemos (x - 5)
en el denominador, en esta expresión reducida, por lo que parece redundante decir que x no puede
ser igual a 5, y también se sigue cumpliendo que x no puede ser igual a -2, ya que todavía tenemos
(x + 2) en el denominador. Observa: esto sigue siendo bastante claro en esta expresión final,
¿cierto? Pero cuando vemos esta expresión, ya no es tan obvio que x ya no pueda ser igual a -3; sin
embargo, para que esta expresión sea completamente equivalente al original, es necesario que tenga el
mismo dominio, por lo que podríamos ser explícitos y decir que x no puede ser igual a -3. Y tal vez
podríamos escribir las otras dos restricciones, pero no es necesario, ya que éstas siguen siendo
muy claras cuando observamos esta expresión final.