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Precálculo

Curso: Precálculo > Unidad 4

Lección 1: Reducir expresiones racionales a su mínima expresión
Matemáticas
Precálculo
Funciones racionales
Reducir expresiones racionales a su mínima expresión
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Reducir expresiones racionales a su mínima expresión

Google Classroom
Aprende qué significa reducir una expresión racional a su mínima expresión, ¡y cómo hacerlo!

Temas con los que debes estar familiarizado antes de leer esta lección

Una expresión racional es un cociente de dos polinomios. El dominio de una expresión racional incluye a todos los números reales, excepto aquellos que hagan que su denominador sea igual a cero.
Por ejemplo, el dominio de la expresión racional start fraction, x, plus, 2, divided by, x, plus, 1, end fraction es: todos los números reales, excepto start text, negative, 1, end text, o sea x, does not equal, minus, 1.
Si esto es nuevo para ti, recomendamos que leas nuestra Introducción a las expresiones racionales.
También debes saber cómo factorizar polinomios para esta lección.

Lo que aprenderás en esta lección

En este artículo aprenderemos a reducir expresiones racionales a su mínima expresión con varios ejemplos.

Introducción

Una expresión racional se reduce a su mínima expresión si el numerador y el denominador no tienen factores en común.
Podemos reducir expresiones racionales a su mínima expresión de una manera parecida a como reducimos las fracciones numéricas a su mínima expresión.
Por ejemplo, start fraction, 6, divided by, 8, end fraction reducida a su mínima expresión es start fraction, 3, divided by, 4, end fraction. Observa cómo cancelamos un factor común de 2 del numerador y el denominador:
68=2⋅32⋅4=2⋅32⋅4=34\begin{aligned} \dfrac68&= \dfrac{2\cdot 3}{2\cdot 4} \\\\ &= \dfrac{\tealE{\cancel{2}}\cdot 3}{\tealE{\cancel{2}}\cdot 4} \\\\ &= \dfrac{3}{4} \end{aligned}

Ejemplo 1: Reducir start fraction, x, squared, plus, 3, x, divided by, x, squared, plus, 5, x, end fraction a su mínima expresión

Paso 1: factoriza el numerador y el denominador
¡La única manera de ver si el numerador y el denominador comparten factores comunes es factorizarlos!
start fraction, x, squared, plus, 3, x, divided by, x, squared, plus, 5, x, end fraction, equals, start fraction, x, left parenthesis, x, plus, 3, right parenthesis, divided by, x, left parenthesis, x, plus, 5, right parenthesis, end fraction
Paso 2: lista los valores restringidos
En este punto es útil observar si hay algunas restricciones para x. Estas se trasladarán a la expresión simplificada.
Como la división entre 0 es indefinida, aquí vemos que start color #0c7f99, x, does not equal, 0, end color #0c7f99 y start color #7854ab, x, does not equal, minus, 5, end color #7854ab.
start fraction, x, left parenthesis, x, plus, 3, right parenthesis, divided by, start color #0c7f99, x, end color #0c7f99, start color #7854ab, left parenthesis, x, plus, 5, right parenthesis, end color #7854ab, end fraction
Paso 3: cancela factores comunes
Ahora observa que el numerador y el denominador tienen un factor común de x. Este se puede cancelar.
x(x+3)x(x+5)=x(x+3)x(x+5)=x+3x+5\begin{aligned} \dfrac{\tealE x(x+3)}{\tealD x(x+5)}&=\dfrac{\tealE {\cancel {x}}(x+3)}{\tealE{\cancel x}(x+5)} \\\\ &=\dfrac{x+3}{x+5} \end{aligned}
Paso 4: respuesta final
Recuerda que la expresión original está definida para x, does not equal, 0, comma, minus, 5. La expresión reducida debe tener las mismas restricciones.
Debido a esto, debemos notar que x, does not equal, 0. No necesitamos notar que x, does not equal, minus, 5, pues esto ya se entiende por la expresión.
En conclusión, la forma reducida se escribe así:
start fraction, x, plus, 3, divided by, x, plus, 5, end fraction para x, does not equal, 0

Una observación sobre expresiones equivalentes

Expresión originalExpresión reducida
start fraction, x, squared, plus, 3, x, divided by, x, squared, plus, 5, x, end fractionstart fraction, x, plus, 3, divided by, x, plus, 5, end fraction para x, does not equal, 0
Las dos expresiones de arriba son equivalentes. Esto significa que sus salidas son iguales para todos los valores posibles de x. La siguiente tabla ilustra esto para x, equals, 2.
Expresión originalExpresión reducida
Evaluación en start color #7854ab, x, equals, 2, end color #7854ab(2)2+3(2)(2)2+5(2)=1014=2⋅52⋅7=2⋅52⋅7=57\begin{aligned}\dfrac{(\purpleD{2})^2+3(\purpleD{2})}{(\purpleD{2})^2+5(\purpleD{2})}&=\dfrac{10}{14}\\\\&=\dfrac{\purpleD{{2}}\cdot 5}{\purpleD{{2}}\cdot 7}\\\\&=\dfrac{\purpleD{\cancel{2}}\cdot 5}{\purpleD{\cancel{2}}\cdot 7}\\\\&=\dfrac{5}{7}\end{aligned}2+32+5=57=57=57=57\begin{aligned}\dfrac{\purpleD{2}+3}{\purpleD{2}+5}&=\dfrac{5}{7}\\\\&\phantom{=\dfrac57}\\\\&\phantom{=\dfrac57}\\\\&\phantom{=\dfrac57}\end{aligned}
NotaEl resultado ya está reducido a su mínima expresión al cancelar un factor común start color #7854ab, 2, end color #7854ab.El resultado ya está reducido a su mínima expresión porque el factor de x (en este caso start color #7854ab, x, equals, 2, end color #7854ab), ya estaba cancelado cuando redujimos la expresión a su mínima expresión.
Por esta razón, las dos expresiones tienen el mismo valor para la misma entrada. Sin embargo, los valores que hacen que la expresión original sea indefinida, son excepciones a esta regla. Observa que este es el caso para start color #7854ab, x, equals, 0, end color #7854ab.
Expresión originalExpresión reducida (sin restricción)
Evaluación en start color #7854ab, x, equals, 0, end color #7854ab(0)2+3(0)(0)2+5(0)=00=indefinida\begin{aligned}\dfrac{(\purpleD{0})^2+3(\purpleD{0})}{(\purpleD{0})^2+5(\purpleD{0})}&=\dfrac{0}{0}\\\\&=\text{indefinida}\end{aligned}0+30+5=35indefinida\begin{aligned}\dfrac{\purpleD{0}+3}{\purpleD{0}+5}&=\dfrac{3}{5}\\\\&\phantom{\text{indefinida}}\end{aligned}
Como las dos expresiones deben ser equivalentes para todas las entradas posibles, debemos requerir que x, does not equal, 0 en la expresión reducida.

Alerta sobre una idea errónea

Observa que no podemos cancelar x en la siguiente expresión. Esto porque ¡son términos, y no factores en los polinomios!
start fraction, x, plus, 3, divided by, x, plus, 5, end fraction, does not equal, start fraction, 3, divided by, 5, end fraction
Esto es evidente si vemos un ejemplo numérico. Por ejemplo, supongamos que start color #7854ab, x, equals, 2, end color #7854ab.
start fraction, start color #7854ab, 2, end color #7854ab, plus, 3, divided by, start color #7854ab, 2, end color #7854ab, plus, 5, end fraction, does not equal, start fraction, 3, divided by, 5, end fraction
Por regla general, solo podemos cancelar ¡si el numerador y el denominador están en forma factorizada!

Resumen del proceso para reducir a la mínima expresión

  • Paso 1: Factorizar el numerador y el denominador.
  • Paso 2: Enumerar los valores restringidos.
  • Paso 3: Cancelar los factores comunes.
  • Paso 4: Reducir a la mínima expresión y observar los valores restringidos no implícitos en la expresión.

Comprueba tu comprensión

Problema 1
Reduce start fraction, 6, x, plus, 20, divided by, 2, x, plus, 10, end fraction a su mínima expresión.
Escoge 1 respuesta:

Problema 2
Reduce start fraction, x, cubed, minus, 3, x, squared, divided by, 4, x, squared, minus, 5, x, end fraction a su mínima expresión.
para x, does not equal
  • Tu respuesta debe ser
  • un entero, como 6
  • una fracción propia simplificada, como 3, slash, 5
  • una fracción impropia simplificada, como 7, slash, 4
  • un número mixto, como 1, space, 3, slash, 4
  • un decimal exacto, como 0, point, 75
  • un múltiplo de pi, como 12, space, start text, p, i, end text o 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text

Ejemplo 2: Reducir start fraction, x, squared, minus, 9, divided by, x, squared, plus, 5, x, plus, 6, end fraction a su mínima expresión

Paso 1: factoriza el numerador y el denominador
start fraction, x, squared, minus, 9, divided by, x, squared, plus, 5, x, plus, 6, end fraction, equals, start fraction, left parenthesis, x, minus, 3, right parenthesis, left parenthesis, x, plus, 3, right parenthesis, divided by, left parenthesis, x, plus, 2, right parenthesis, left parenthesis, x, plus, 3, right parenthesis, end fraction
Paso 2: lista los valores restringidos
Como la división entre 0 es indefinida, aquí vemos que start color #0c7f99, x, does not equal, minus, 2, end color #0c7f99 y start color #7854ab, x, does not equal, minus, 3, end color #7854ab.
start fraction, left parenthesis, x, minus, 3, right parenthesis, left parenthesis, x, plus, 3, right parenthesis, divided by, start color #0c7f99, left parenthesis, x, plus, 2, right parenthesis, end color #0c7f99, start color #7854ab, left parenthesis, x, plus, 3, right parenthesis, end color #7854ab, end fraction
Paso 3: cancela factores comunes
Observa que el numerador y el denominador tienen un factor común de start color #208170, x, plus, 3, end color #208170. Este se puede cancelar.
(x−3)(x+3)(x+2)(x+3)=(x−3)(x+3)(x+2)(x+3)=x−3x+2\begin{aligned} \dfrac{(x-3)\tealE{(x+3)}}{(x+2)\tealE{(x+3)}}&=\dfrac{(x-3)\tealE{\cancel{(x+3)}}}{(x+2)\tealE{\cancel{(x+3)}}} \\\\ &=\dfrac{x-3}{x+2} \end{aligned}
Paso 4: respuesta final
Escribimos la forma reducida de esta manera:
start fraction, x, minus, 3, divided by, x, plus, 2, end fraction para x, does not equal, minus, 3
La expresión original requiere que x, does not equal, minus, 2, comma, minus, 3. No necesitamos notar que x, does not equal, minus, 2, pues esto ya se entiende por la expresión.

Comprueba tu comprensión

Problema 3
Reduce start fraction, x, squared, minus, 3, x, plus, 2, divided by, x, squared, minus, 1, end fraction a su mínima expresión.
Escoge 1 respuesta:

Problema 4
Reduce start fraction, x, squared, minus, 2, x, minus, 15, divided by, x, squared, plus, x, minus, 6, end fraction a su mínima expresión.
para x, does not equal
  • Tu respuesta debe ser
  • un entero, como 6
  • una fracción propia simplificada, como 3, slash, 5
  • una fracción impropia simplificada, como 7, slash, 4
  • un número mixto, como 1, space, 3, slash, 4
  • un decimal exacto, como 0, point, 75
  • un múltiplo de pi, como 12, space, start text, p, i, end text o 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text

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