Reducir expresiones racionales a su mínima expresión

cuando platicábamos acerca de fracciones hablábamos de simplificar las o bien de ponerlas en forma reducida por ejemplo si teníamos un 3 sextos un 3 sextos entonces el 3 y el 6 tenían un factor en común y por tanto podríamos escribir esto como bueno el 3 simplemente es un 3 pero el 6 lo factorizar vamos como 3 por 2 y ahora podríamos dividir el numerador y el denominador entre 3 para cancelar estos 3 o bien pensar esta fracción como 3 entre 3 por un medio y nos quedaba igual a un medio porque este 3 entre 3 es un 1 para darte otro ejemplo para que quede clarísimo a lo que me refiero por ejemplo también si teníamos no sé 8 entre 24 8 entre 24 entonces podíamos factorizar el denominador y nos quedaba 8 entre 3 por 24 3 por 8 perdón porque 24 3 por 8 y pensando esto como un tercio por 8 entre 8 nos quedaba que la fracción original era igual a un tercio este un tercio y este un medio eran las formas simplificadas o bien reducidas de cada una de estas fracciones bueno resulta que esa misma idea también se aplica en las expresiones racionales en las cuales el numerador y el denominador ya no son números concretos sino que son expresiones que pueden tener variables déjame poner un ejemplo para mostrarte a qué me refiero digamos que tenemos no sé la expresión racional 9 x + 3 dividida dividida entre 12 x 12 x + 4 vale entonces cuál va a ser la idea vamos a factorizar el numerador y el denominador para ver qué nos queda en el numerador podemos factorizar un 3 pues ambos suman dos son múltiplos de 3 nos quedaría 3 x 3 x + + 1 y en el denominador ambos son múltiplos de 4 nos quedaría 4 por 12 entre 4 es 3 esa x queda ahí y 4 entre 4 es 1 entonces observa una vez más el numerador y el denominador tienen cosas en común ahora no es un número sino que es una expresión que tiene la variable x pero aplica exactamente la misma idea que aquí arriba podemos cancelar esta expresión y esta expresión y por lo tanto esto nos quedaría igual a tres cuartos salvo un detallito que ahorita te voy a decir nada más déjame darte un ejemplo un ejemplo aquí abajo un ejemplo adicional para seguir con estas ideas imagínate que ahora nos piden simplificar x al cuadrado menos nueve dividido entre vamos a ponerle 5 x 5 x más 15 más 5 x + 15 bueno otra vez vamos a factorizar el numerador y el denominador el numerador es una diferencia de cuadrados y por lo tanto se puede factorizar como como x menos 3 x x + 3 x + 3 y en el denominador ambos son múltiplos de 5 sacamos el 5 y nos queda 5 x + 15 en 35 que es 3 vale entonces observa arriba y abajo tenemos un x 3 de forma que podemos cancelar los pero tenemos que ser cuidadosos este es el detallito que te decía osea esta expresión si es igual a x menos 3 en 3 x menos 3 entre 5 entre 5 pero siempre y cuando pidamos una condición adicional por qué pues porque hay que ser cuidadosos que al cancelar este x + 3 y este x + 3 no estemos cancelando un cero porque porque si x más 3 fuera 0 entonces estaríamos dividiendo entre 0 entonces esta expresión que es la misma que ésta no estaría definida es decir es decir esta expresión es igual a x menos 3 entre 5 siempre y cuando siempre y cuando pidamos la condición adicional de que x sea distinto a menos tres a menos tres para que el denominador no se anule no se vuelva a cero entonces eso es algo muy importante sale esta expresión y esta expresión por sí mismas no son equivalentes porque esta la podemos evaluar en menos tres y ésta no no está definida pero esta expresión con todo esto con todo y la condición x distinto a menos 3 si son equivalentes entonces ahí sí son equivalentes vale bueno entonces vamos hacia arriba para para volver a ver cuál sería la condición que tenemos que cuidar aquí lo que cancelamos fue un 3 x + 1 arriba y abajo entonces hay que cuidar que eso no sea cero es decir tenemos que pedir que que x sea distinto de de menos un tercio menos un tercio vale no hay que irse con la cinta o sea si quisiéramos graficar ye igual a 9 x + 3 entre 12 x 4 podríamos irnos con la tentación de simplificar y decir que la gráfica es exactamente la misma que la gráfica de g igual a 13 a tres cuartos pero no la gráfica de ye igual a tres cuartos es una línea horizontal tres cuartos a la altura tres cuartos está definida en todos los reales pero esta expresión tiene problemas con x igual a menos un tercio porque en el denominador tenemos un cero vale entonces está si es equivalente a esta siempre y cuando pidamos la condición adicional x distinto de menos un tercio menos un tercio bueno creo que ahí no se ve muy bien pero aquí está escrita sale es esto de acá bueno vamos a hacer otro problema para seguir pues agarrando estas ideas este va a ser un poquito más complicado y dice lo siguiente dice simplifica x al cuadrado x al cuadrado más 6 x 5 6 x + 5 está más interesante está más padre entre x al cuadrado menos x no lo va a poner menos 2 - x2 muy bien entonces misma idea actualizamos numerador y denominador y cancelamos siendo cuidadosos vamos a factorizar el numerador cómo le hacemos para factorizar una expresión cuadrática donde el primer coeficiente es 1 pues tenemos que buscar dos números que sumados nos den 6 y que multiplicados nos den 5 está fácil son 5 y 1 entonces se factorizar como x + 5 x x + 1 x + 1 vamos con el denominador otra vez vamos a factorizar lo y ahora hay que buscar dos números que sumados nos den menos 1 y multiplicados nos den menos 2 entonces sería x son como dos y uno solo que el más grande debe ser negativo para que aquí nos quede menos entonces sería x 2 x x más 1 bueno puedes verificar haciendo la multiplicación para ver que en efecto queda esto de acá pero observa una vez más nos queda x + 1 en el numerador y en el denominador entonces podemos cancelar lo podemos cancelarlo y esto y es igual a déjame quitar el paréntesis a x 5 dividido entre x2 pero cuidando que nunca dividamos entre 0 es decir que esta cancelación se puede hacer y para eso necesitamos que x sea distinto de menos 1 vale entonces otra vez esta expresión y esta expresión son equivalentes siempre y cuando pidamos x distinto de menos 1 si no pedimos eso y nos quedamos nada más con esta de acá pues no son equivalentes porque ésta se puede evaluar en menos 1 y esta de acá no se puede evaluar en menos 1 vale entonces tenemos que pedir las dos para que sean equivalentes muy bien bueno vamos a hacer un último que está un poquito más complicado porque ahora la factorización no queda tan fácil y dice lo siguiente lo voy a hacer en color lo voy a hacer con dos colores para que sea más claro lo que estamos haciendo lo voy a hacer con este naranja brillante entonces vamos a ponerle 3 x cuadrada 3 x cuadrada más 3 x -18 y eso lo vamos a dividir entre con este color rosa vamos a ponerle aquí abajo 2 x al cuadrado 2 x al cuadrado más 5 x menos 3 creo que es como morado bueno no importa vale entonces tenemos que factorizar el numerador y el denominador ahora es un poquito más complicado porque el coeficiente principal no es 1 pero podemos factorizar por agrupamiento vamos a hacer eso aquí a la derecha entonces tenemos que factorizar 3 lo voy a hacer un poco más acá 3x al cuadrado más 3x menos 18 y la idea de factorizar por agrupamiento es que ahora tenemos que buscar números a ive tales que a más b sea el coeficiente lineal o sea 3 y que a por b sea el producto de los coeficientes de los extremos y 3 x menos 18 es menos 54 a ver nuestro nuestro tan fácil pero pero a ver este de aquí es múltiplo de 9 y está la diferencia 3 creo que 9 y 6 funcionan y ya nada más hay que elegir los signos y igual a 9 y b igual a menos 6 igual a menos 6 funcionan sí 96 es 39 por menos 6 654 muy bien entonces la idea de factorizar por agrupamiento es que ahora este 3x lo separamos en dos sumandos en un 9 x y un menos 6 x entonces déjame poner el 9 x con el 3x cuadrada porque tienen el mismo signo entonces nos quedaría 3 x 4 + 9 x menos 6 x 18 digo pude haber puesto el 6 acá porque también es múltiplo de 3 pero como los dos son múltiplos de 3 me voy a guiar por el signo vale bueno entonces este 9 x con este menú 6x estos 2 de acá son exactamente lo mismo que este 3x así que no he cambiado nada pero ahora tenemos la ventaja de que aquí podemos factorizar un 3x podemos ponerlo como 3x x x + 3 sale hacer la multiplicación y queda esto y aquí podemos factorizar un 6 pues ambos son múltiplos de 6 menos 6 por x más 3 18 entre 6 estrés y menos entre menos es más ok mirad esto está padre funciona nuestra factorización por agrupamiento aquí queda x + 3 y aquí también entonces distribuyendo esto nos quedaría 3x menos 6 x x muy bien entonces esa es la factorización del numerador deja la copia aquí arriba esto es igual a 3 x menos 63 x menos 6 x x + 3 con un poco de suerte en el denominador también vamos a tener algunos de estos factores déjame factorizar lo aquí a la derecha entonces nos quedaría bueno lo voy a copiar 2 x cuadrada más 5 x menos 3 ahora buscamos a ivette al que la suma sea el coeficiente lineal que acompaña a la equis o sea 5 y que el producto sea el producto de los de los extremos de los coeficientes extremos 2 x menos 3 es menos fish entonces qué números sumados dan 5 y multiplicados dan menos 6 pues 6 y menos uno entonces igual a 6 b igual a menos 1 funciona vale 6 menos 15 6 x menos 1 es menos 6 separamos esto este 5x lo partimos en un 6 x y de un menos x el 6 lo voy a poner con el 2 porque es múltiplo de dos entonces nos quedaría 2x al cuadrado más 6 x - x - x menos 3 factor izamos de aquí un 2x vamos a factorizar un 2x nos queda 2x x x + 3 y aquí voy a factorizar un menos uno por x más 3 excelente ay quedó el x + 3 que también aparece acá estos son muy buenas noticias este 2 x 1 y este menos 1 se pueden factorizar o más bien de distribuir 2 x menos 1 x x + 3 y entonces la factorización del denominador queda como 2 x menos 12 x menos 1 x x + 3 uf muchísimo trabajo verdad pero bueno finalmente llegamos a nuestro resultado aquí podemos cancelar el x + 3 con el x 3 y entonces esta expresión es igual a 3 x menos 6 entre 2 x 1 y hay que recordar la cosa que es bien importante que para poder hacer esta cancelación necesitamos pedir que x o sea distinto de menos le tenemos que pedir que x 3 no sea 0 muy bien espero que te hayan gustado estos problemas y que ésta pues este vídeo de simplificar expresiones racionales te sea de utilidad nos vemos hasta la próxima