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Demostración de la fórmula para series aritméticas finitas

Transcripción del video

en el último vídeo demostramos que la suma de todos los enteros positivos hasta n se puede expresar como n por ende más uno entre dos y lo demostramos por inducción ahora lo que quiero hacer en este vídeo es mostrar que hay una demostración más sencilla para ello pero que no es por inducción sólo para que veas que la inducción no es la única forma de demostrar este resultado ok entonces vamos a empezar como teníamos en el vídeo anterior definiendo nuestra función sdn sdn era la suma de todos los enteros positivos hasta entonces era uno más dos más tres y así sucesivamente sumamos hasta n hecho bueno podemos sumar en el -1 y luego sumamos hasta n ahora bien si yo yo en realidad de esta suma al apodo reescribir voy a reescribir sdn la suma ahora empezando con n y terminando no es decir voy a poner n más en menos uno más en -2 y así voy sumando hasta dos más uno ok simplemente esta suma es exactamente la misma de arriba pero reescrita ahora en orden descendente entonces fíjense qué es lo que pasa si yo sumo estas dos o más pues en realidad sólo tengo dos veces la suma de todos los enteros hasta n verdad ok ahora si yo sumo del lado derecho qué es lo que ocurre qué es lo que ocurre estos primeros dos términos voy a ir los agrupando de esta forma me dan enemas 1n más uno muy bien ahora qué pasa si yo sumo estos dos términos en el -1 +2 tengo dos más en menos uno que no es otra cosa más que dos más en el -1 entonces 2 - 1 es1 y si le sumamos n me queda en +1 entonces estos dos sumados me dan n más o no qué pasa ahora si yo sumo estos este par go n -2 y les sumó 3 entonces eso simplemente me da otra vez tiene más uno entonces si nos damos cuenta en realidad estamos sumando muchísimo senén n más uno por ejemplo estos dos otra vez tengo en el -1 +2 pues es en marzo 1 y ahora tengo n más uno aquí ny1 pues suma dos medallas en amazon tiene más uno entonces tengo puros el lema sólo si sumamos dos veces o bueno si sumamos la zona raro pero si sumamos la zoma consigo misma en realidad tengo muchos enigmas unos ahora la pregunta es cuántos tiene más unos tengo cuántos de estos tengo y en realidad tengo aquí 123 en el -1 hasta en realidad tengo n veces en el -1 verdad entonces esto se repite n veces muy bien entonces lo que tenemos es que dos veces nuestra suma va a ser igual a n veces en realidad tengo n veces en más o no verdad así lo puede expresar ahora si dividimos entre dos de ambos lados si dividimos entre dos de ambos lados lo que voy a tener es que esto se cancelan y tengo que la suma de los primeros en enteros va a ser igual a n por ende más uno sobre dos y llegué justamente a la fórmula que había llegado en el vídeo anterior así que aquí hay una demostración una prueba en donde no tuvimos que usar inducción esto fue una demostración puramente algebraica