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Demostración de la fórmula para series aritméticas finitas

Transcripción del video

en el último vídeo demostramos que la suma de todos los enteros positivos hasta n se puede expresar como n por n 1 entre 2 y lo demostramos por inducción ahora lo que quiero hacer en este vídeo es mostrar que hay una demostración más sencilla para ello pero que no es por inducción solo para que veas que la inducción no es la única forma de demostrar este resultado ok entonces vamos a empezar como teníamos en el vídeo anterior definiendo nuestra función sdn sdn era la suma de todos los enteros positivos hasta entonces era uno más 2 + 3 y así sucesivamente sumamos hasta n de hecho bueno podemos sumar en n 1 y luego sumamos hasta n ahora bien si yo yo yo en realidad de esta suma la puedo reescribir voy a reescribir sdn la suma ahora empezando con n y terminando en 1 es decir voy a poner n + n menos uno más en m2 y así voy sumando hasta dos más uno ok simplemente esta suma es exactamente la misma de arriba pero reescrita ahora en orden descendente entonces fíjense qué es lo que pasa si yo sumo estas dos formas pues en realidad sólo tengo dos veces la suma de todos los enteros hasta n verdad ok ahora si yo sumo del lado derecho qué es lo que ocurre qué es lo que ocurre estos primeros dos términos voy a ir los agrupando de esta forma me dan n1n1 muy bien ahora qué pasa si yo sumo estos dos términos en el menos 12 tengo 2 n 1 que no es otra cosa más que dos más n 1 entonces dos menos uno es uno y si le sumamos n me queda n 1 entonces estos dos sumados me dan n más uno que pasa ahora si yo sumo estos este par tengo en m2 y le sumó 3 entonces eso simplemente me da otra vez n 1 entonces si nos damos cuenta en realidad estamos sumando muchísimos n n 1 por ejemplo estos 2 otra vez tengo n menos 12 pues es n 1 y ahora tengo n 1 aquí ny1 pues suma 2 me dan n1n1 entonces tengo puros n 1 si si sumamos dos veces o bueno si sumamos la sección a raro pero si sumamos la suma consigo misma en realidad tengo muchos en unos ahora la pregunta es cuántos en unos tengo cuántos de estos tengo y en realidad tengo aquí 2 3 n 1 hasta en realidad tengo n veces n menos 1 verdad entonces esto se repite n veces muy bien entonces lo que tenemos es que 2 veces nuestra suma va a ser igual a n veces en realidad tengo n veces n más o no verdad así lo puedo expresar ahora si dividimos entre 2 de ambos lados si dividimos entre 2 de ambos lados lo que voy a tener es que estos se cancelan y tengo que la suma de los primeros en enteros va a ser igual a n por n 1 sobre 2 y llegué justamente a la fórmula que había llegado en el vídeo anterior así que aquí hay una demostración una prueba en donde no tuvimos que usar inducción esto fue una demostración puramente algebraica