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Contenido principal

Ejemplo resuelto: series aritméticas (notación sigma)

Evaluamos la serie aritmética Σ(2k+50) para k=1 a 550. Lo hacemos con la fórmula de la series aritméticas (a₁+aₙ)*n/2.

Transcripción del video

aquí tengo una serie infinita expresada en notación sigma y te invito a que pausa el vídeo ip así puedes encontrar el resultado de esta serie que tenemos aquí la cual se va a evaluar a un número entonces suponiendo que estuviste pensando en eso trabajemos juntos lo que tenemos aquí es una suma desde acá igual a 1 hasta 550 de 2,50 y siempre que intento evaluar una serie me gusta expandir un poco la suma para tener una idea de cómo se ve así que veamos si yo empiezo con camps igual a 1 que me va a quedar bueno pues obtendría 2 que multiplica a 1 más 50 y si acá vale 2 bueno pues obtengo 2 que multiplica a 2 más 50 y que pasa cuando acá vale 3 bueno pues tengo 2 que multiplica a 3 más 50 y bueno así me puedo mantener y mantener y mantener y mantener evaluando términos hasta llegar al último término que es cuando camps toma el valor de 550 cuando k toma el valor de 550 que me queda bueno me queda dos veces dos veces 550 550 más 50 estás de acuerdo entonces veamos de esta primera parte de esta primera parte que obtengo bueno 2 por 1 es 2 más 50 me quedan 52 estás de acuerdo más y después si evaluó este segundo término que me va a quedar de esto dos por dos es cuatro más 50 54 más aquí 20 36 50 56 y así no voy a mantener sumando y sumando y sumando hasta llegar al último término que me queda 2 por 550 lo cual es 1.000 1.100 más 50 sería 1150 entonces esto nos da una buena idea de cómo es esta suma porque vamos a empezar en 52 y después vamos a seguir sumando 2 a cada término sucesivo hasta llegar a 1150 y después vamos a hacer la suma de todos y como cada término sucesivo aumenta en la misma cantidad aumenta en dos de aquí a acá aumentas en dos y así te mantienes entonces podemos reconocer a esto como una serie aritmética esto porque cada vez aumentamos la misma cantidad y la buena noticia es que existe una fórmula para la suma de series aritméticas entonces lo primero que vamos a hacer es aplicar la fórmula pero después vamos a seguir con un poco de intuición para ver el por qué funciona esta fórmula y de hecho en otros vídeos hemos comprobado esta fórmula pero siempre es bueno tener una idea de cómo funciona porque recuerda esta fórmula no surge de la nada entonces la fórmula para la suma de series aritméticas es la siguiente la suma de los primeros en términos de una serie de temática va a ser igual al primer término al primer término último término más el último término esto entre dos y bueno date cuenta que esto esencialmente es tomarme la media aritmética la media aritmética del primer término y el último término o podemos decir que es el promedio en un lenguaje día a día más común podemos decir que es el promedio entre el primer término y el último término y bueno a esto lo voy a multiplicar a esto lo voy a multiplicar por el número de términos entonces si intentáramos aplicarlo a este caso que tenemos aquí donde buscamos obtener la suma de los primeros 550 términos entonces que me va a quedar así que cambiemos de color bueno pues entonces la suma de los primeros 550 términos de bueno esta expresión que tengo aquí va a ser igual al primer término que quedamos que 52 52 más el último término que quedamos que es 1150 la suma de estos dos va a ser dividido entre 2 recuerda es el promedio ya esto habrá que multiplicarlo por la cantidad de términos que tenemos lo cual sabemos que son 550 550 muy bien habrá que multiplicarlo por 550 así que vamos a hacerlo si sumo 52 más 1150 esto es lo mismo que 1200 dos vamos a rectificar lo 250 más 50 100 mil 202 ok esto dividido entre dos ya esto habrá que multiplicarlo por 550 muy bien cuánto va a ser esto ok 1.202 entre 2 estos 601 550 así que lo voy a hacer por aquí a 550 si esto lo multiplicó por 601 que voy a obtener bueno 1 por 550 es 550 después voy a poner un cero aquí en las unidades y voy a multiplicar este por todo esto pero bueno son por ceros 000 y después voy a poner un cero las unidades un cero en las decenas y vamos con las centenas para multiplicar las centenas tengo que hacer la multiplicación de seis por 550 6 por 0 0 6 por 5 es 30 así que voy a poner un ser aquí y 3 aquí 6 por 5 es 30 333 33 ok así que voy a sumar todo esto y voy a obtener mi resultado esto es 0 por aquí va un 5 por aquí a otros 5 después sigue un 0 y después un 3 y otro 3 es decir que mi respuesta es 330 1550 esta suma es igual a 330 1550 ahora bien dije que con un poco de intuición vamos a ver por quién utilizamos esta fórmula y para eso me voy a tomar de nuevo y con calma la suma de sus primeros 550 términos para ver si llegamos al mismo resultado voy a cambiar los colores de nuevo y ahora voy a escribirlo de la siguiente manera para eso déjame bajar un poco la pantalla y vamos a ver lo de la siguiente manera me quiero tomar la suma la suma de los primeros 550 términos de la expresión que teníamos arriba pero sabíamos cuántos esto esto es lo mismo que 52 más 54 más 56 y así me mantenía sumando y sumando sumando hasta llegar al último término el cual si recuerdas eran 1150 muy bien ahora me voy a tomar la misma suma de los primeros 550 términos la voy a notar justo aquí acá abajo la suma de los primeros 550 términos pero esta vez la voy a acomodar de una manera distinta voy a empezar con el último término y después voy a ir sumando todos los términos anteriores hasta llegar al primero es decir el último término es 1150 estás de acuerdo y quién va a ser nuestro penúltimo término bueno nuestro penúltimo término es 1150 menos 2 lo cual 2.148 ok y nuestro antepenúltimo termino bueno ese es 1.148 -2 lo cual es 1.146 estás de acuerdo y después no voy a mantener sumando y sumando y sumando hasta llegar al primer término que sabemos que es 52 ok y porque estoy haciendo todo esto bueno porque si ahora quiero sumar estos dos renglones tanto esta parte derecha como esta parte izquierda que voy a obtener buenos y sumo la parte izquierda de estas dos igualdades voy a obtener dos veces la suma de los primeros 550 términos estás de acuerdo una suma más otras sumas son dos veces esa suma y esto va a ser igual a bueno observa si yo sumo estos dos que voy a obtener si los nuestros dos voy a obtener 52 más 1150 202 estás de acuerdo y si a esto le sumó la suma de estos dos que voy a obtener bueno pues 54 mil 148 es 1200 2 y si a esto le sumó la suma de estos dos que voy a obtener bueno pues 56 mil 146 es 1200 2 y creo que este número te parece muy conocido ahora estoy seguro que ya ves todo claramente porque si yo me mantengo sumando y sumando y sumando puedes seguir obteniendo 1.202 y cuando me tomó en la última suma que es la suma de estos últimos dos términos que voy a obtener bueno 1150 más 52 es mil 202 entonces cuántos 1.202 tengo bueno pues esto va a ser igual a 550 por 1200 2 porque recuerda que tenemos 550 términos es justo lo que dice aquí tenemos 550 veces a 1.202 entonces esto es lo mismo que 550 por 1200 2 y entonces si quiere resolver esto para la suma simplemente tienes que dividir todo esto entre 2 todo esto entre 2 que es lo mismo que todo esto entre 2 que es lo mismo que todo esto entre 2 y bueno este y este se cancelan y ahora si me queda una expresión para la suma la cual es 550 por 1200 dos entre dos que estoy seguro que ya lo habíamos visto es exactamente lo que obtuvimos aquí arriba en fin espero que todo esto te haya dado la intuición de cómo se obtiene esta suma