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Contenido principal

Ejemplo resuelto: series aritméticas (fórmula recursiva)

Evaluamos la suma de los primeros 650 términos en la sucesión definida de forma recursiva como {aᵢ=aᵢ₋₁+11, a₁=4}. Lo hacemos al encontrar el término 650 y usando la fórmula de las series aritméticas (a₁+aₙ)*n/2.

Transcripción del video

en esta ocasión voy a definir recursiva mente una secuencia aritmética así que para empezar vamos a decir que el término y estimo el término y eso va a ser igual al término anterior alterno y es uno menos uno es decir el término anterior a éste más once eso quiere decir que cada término será once veces mayor que el término anterior y ahora tenemos que establecer un caso base así que vamos a decir que en nuestro caso base es decir nuestro primer término me voy a suponer que es 4 va a ser igual a 4 ok ahora lo que quiero hacer en este vídeo es encontrar la suma de los primeros 650 términos de esta secuencia entonces dada nuestra definición recursiva de nuestra secuencia aritmética te reto a que encuentras la suma de los primeros 650 términos de la secuencia déjame escribirlo queremos encontrar la suma de él los primeros 650 términos 650 términos de bueno de esta secuencia entonces dicen encontrar la suma de los primeros 650 términos de la secuencia y como siempre te invito a que pause el vídeo y que te imagines cómo puede funcionar todo esto ok entonces cómo podemos resolver esto bueno en muchos vídeos dimos una idea intuitiva de la suma de las secuencias aritméticas recuerdas y obtuvimos una fórmula para evaluar la suma de la secuencia aritmética a la cual llamaremos sería aritmética y esta serie aritmética o esta suma la denotamos así la suma de los primeros términos esto era igual al primer término más el último término esto dividido entre 2 muy bien el promedio entre el primero y el último término y esto lo multiplicamos por la cantidad de términos esta suma sirve cuando hablamos de una sucesión aritmética es decir una sucesión en la cual el siguiente termino es igual al término anterior más una cantidad fija entonces que hay de esta serie que tengo aquí cuál será su primer término cuál será su último término y bueno cuál es el valor de n bueno pues hasta ahorita sabemos que queremos encontrar la suma de los primeros 650 términos por lo tanto n vale 650 muy bien sabemos también que el primer término es 4 así que este término de kim es 4 y bueno la pregunta es cuánto vale a subíndice n es decir a subíndice 650 lo que estamos buscando es el término 650 de esta sucesión aritmética y pensemos un poco en ello si queremos averiguar ese número observa lo siguiente nuestro primer término estás de acuerdo y después llegamos al siguiente término el cual es 11 unidades mayor que 4 es decir 4 + 11 me da 15 este es mi segundo término y quién es mi tercer término bueno mi tercer términos 15 + 11 de nuevo lo cual me da 26 muy bien y así me voy a mantener sumando y sumando y sumando y sumando hasta llegar al último término el último término es a 650 el término 650 ahora observa que el primer término al segundo término sumaste en una vez 11 del segundo término al tercer término también sumaste 11 y bueno así te vas a mantener sumando 11 sumando 11 hasta que en un punto para llegar al último término también vamos a sumar 11 por última vez pero observa lo siguiente para llegar al segundo término lo que hicimos fue sumar una vez 11 empezamos con el 4 y le sumamos una vez 11 al llegar al segundo término para llegar al tercer término le sumamos el 4 12 veces 11 para llegar al cuarto término tendríamos que sumarle al 4 1 2 3 veces 11 y si queremos llegar al término 650 cuántas veces tenemos que sumar 11 para llegar al término 650 bueno para llegar al término 650 habrá que sumar 11 650 veces menos 1 es decir 600 49 veces veces es muy fácil solo observar lo siguiente cuando empezamos con el primer término bueno si el primer término le sumó una menos una vez 11 bueno uno menos 10 por 11 me queda 0 así que el primer término no le sumamos nada y el segundo término bueno al segundo término le sumas de una vez 11 y al tercer término bueno le sumas t 12 veces 11 y el cuarto término le habrá sumado una tres veces son cero así que al término 650 habrá que sumarle 1 2 3 649 veces 11 y por lo tanto ya podemos saber quién es nuestro término 650 lo voy a escribir por aquí nuestro término a subíndice 650 este tel no quién va a ser bueno pues éste va a ser igual a 4 más 649 veces 11 649 veces 11 al primer término le vamos a sumar 600 49 veces 11 y cuando se esto bueno para eso voy a sacar por acá mi calculadora y vamos a hacerlo 649 veces 11 es lo mismo que 7.139 y si a esto le sumó 4 obtengo 7.143 así que déjame anotarlo esto va a ser igual a 7 mil 140 y tres y de lujo era el último dato que nos faltaba así que lo voy a sustituir aquí esto es lo mismo que 7.143 me voy a tomar la suma de estos dos dividirla entre 2 y multiplicarlo por 650 así que traigamos de nuevo mi calculadora la voy a poner por acá y dice cuatro más siete mil 143 esto es igual y esto entre dos de lujo y si esto lo multiplicamos por 650 me va a dar de resultado dos millones 322 mil 775 vaya número voy a notarlo esta suma esta suma de los primeros 650 términos va a ser igual a 2 millones 322 mil y bueno olvide los demás disculpa mi mala memoria pero lo tengo aquí 775 de lujo 775 y bueno toda esta cantidad de aquí también la podrías obtener haciendo todo esto a mano es más te invito a que lo hagas recuerda que nunca hace daño practicar un poco la aritmética