If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Si estás detrás de un filtro de páginas web, por favor asegúrate de que los dominios *.kastatic.org y *.kasandbox.org estén desbloqueados.

Contenido principal
Tiempo actual: 0:00Duración total:7:47

Fórmula de la serie aritmética

Transcripción del video

vamos a comprobar que lo que dije en el vídeo pasado pues sea real por lo tanto vamos a tomar una sucesión aritmética cualquiera la que ustedes se les ocurra o mejor aún la más general y vamos a ver si podemos encontrar su serie entonces yo tengo aquí mi primer término que es am ya a lo que hacíamos para encontrar el segundo término era sumarle de esa es la definición de una sucesión aritmética y por lo tanto si yo quiero encontrar el tercer término lo que tengo que hacer es sumarle a través de entonces me queda a más 2 dm y así etcétera etcétera hasta llegar al término n pero como encontramos el término n bueno este es el primer término este es el segundo término y date cuenta de algo le agregamos una d este es el tercer término y date cuenta de algo llevamos aquí dos veces de para el cuarto término vamos a agregarle tres veces de iu para llegar al término n lo que hay que hacer es sumarle n menos 1 veces d es decir siempre le agregamos d pero en esta ocasión para cualquier término le agregamos n menos 1 vez estén para el término 32 para el término 21 para el término 10 etcétera muy bien esta es mi sucesión aritmética más general que puede haber ahora vamos a buscar su serie y como encontramos su serie pues para esto voy a utilizar el color amarillo que no encuentro por aquí es que muchas veces cambiar de color es lo más difícil de este vídeo aquí está mi color amarillo entonces tengo las series aritméticas lo que estamos buscando es la serie o la suma de los primeros n términos de esta sucesión aritmética y como lo encontramos pues vamos a ir sumando tengo el término 1 más el término 2 más el término 3 que es a más 2 d más el término etcétera etcétera y hasta el último término que es a más en el -1 por d y voy a hacer la misma lógica el mismo truco que utilicé en el vídeo pasado en el qwest acabamos la serie de los primeros en en números naturales voy a utilizar lo mismo y lo que hacía era escribir otra vez esta suma pero al revés por lo tanto voy a empezar con el último término el cual es a más n menos 1 por d entonces me queda a más n 1 por d y después a esto le tengo que agregar un término pero era del final al principio es decir a más n 2 x de este es mi penúltimo término y después el antepenúltimo término es decir a más n 3 por d fíjate que lo que estoy haciendo es reducir en 1 lo que está dentro del paréntesis más etcétera etcétera etcétera hasta el primer término el cual es el término inicial es decir a muy bien y yo escribí a estas dos sumas porque que creen voy a sumar las de nuevo lo mismo que hicimos en el vídeo pasado entonces la serie de los primeros en términos más la serie de los primeros en los términos pues es dos veces la serie de los primeros n términos ahora me voy a fijar en los primeros dos suman dos de estas series voy a hacer otra vez la operación pero vertical a más a más en el -1 por de me queda dos veces a por en el -1 por de muy bien hasta aquí en el problema vamos a ver mis segundos sumando me queda más de más y más en m2 por de y esto es lo mismo que 2a y después aquí tengo d en dos por tres y esto es lo mismo que n uno por de date cuenta de esto fíjate vamos a hacerlo aquí arriba tengo de más n 2 x de d es lo mismo que uno de m entonces si yo factor hizo la de que me va a quedar me queda n 2 más 1 y todo esto por de tiene menos dos más uno es lo mismo que en menos uno que multiplica a d es decir lo que les contaba en el -1% entonces me queda dos más en el -1 por de n menos uno por día y ahora me voy a fijar en mi tercer sumando tengo a más dos de más en m3 por de a massa son 2 am y 2 de más n 3 por d pues tengo 2 de ella aquí tengo en m3 de que me queda pues me va a quedar en el -1 por de otra vez en el -1 por de m más etcétera etcétera etcétera pero date cuenta que cada uno de estos etcétera es lo mismo ya encontramos el patrón dos más en el -1% y en los últimos dos suman dos verticales tengo dos + n 1 por d es decir que ya vimos aquí claramente el patrón que se cumple y cuántas veces sumamos esto cuántos dos a más n 1 x de tenemos en mi afirmación es que son n de estos sumandos pues si te das cuenta los tenemos n veces fíjate tenemos 1 2 3 etcétera etcétera etcétera y este era mi término n por lo tanto tenemos en a veces esta cantidad es decir que 2 veces la serie de los primeros en de términos es igual a n veces todo esto que encontramos 2 am más n 1 x de esta expresión que yo tenía aquí 2 a por n 1 por d y bueno ahora qué es lo que va a pasar si yo paso dividiendo el 2 o dicho de otra manera / ambos lados de la ecuación entre 2 pues me quedan n que va a multiplicar a dos más en menos uno por d a todo esto y todo esto hay que dividirlo entre dos porque estaba pasando el 2 dividiendo y aquí ya tengo una expresión para encontrar la suma de los primeros n términos de cualquier sucesión médica que se me ocurra sin embargo la vez pasada no llegamos a esta expresión llegamos a una expresión que tal vez es más cómoda si yo no tengo el último término es decir tiene el problema no me pone en último término pues puedo yo aplicar esta fórmula que tengo aquí y entonces no necesito el último término tengo a n tengo a 2 am y tengo la razón pero si yo quisiera encontrar la suma como la encontramos la vez pasada como el promedio del último término más el término final como lo sacó recuerdan la vez pasada tenía este promedio x n como llegó de aquí allá son iguales estas dos expresiones esta y ésta serán lo mismo porque llegamos a una fórmula para encontrar la serie de los primeros n términos sin embargo hasta ahorita no he llegado a a que la expresión que vimos en el vídeo pasado sea correcta sea factible y suena bastante lógico porque lo que estamos escribiendo aquí es tomar el primer término sumarle el último término promediar estos dos términos y después multiplicarlo por n es decir multiplicar esta cantidad por n esto y la respuesta es que si lo único que hay que hacer es maniobrar un poco la expresión que tenemos aquí arriba vamos a hacerlo tengo que sn voy a ponerlo aquí abajo sn es igual y lo único que voy a hacer es abrir un poco esta expresión que tengo aquí tengo 2 am pero 2 a lo puedo escribir como a más a más n 1 por d y todo esto todo esto que está aquí lo podemos dividir entre 2 y que creen aquí ya se nota más lo que les decía porque a quién tenemos aquí a es igual al término inicial justo así empezamos este vídeo recuerdan está aquí arriba y en el término n es decir mi último término es igual a más n 1 x 10 lo pueden ver aquí arriba así es cómo definimos el término n por lo tanto la suma de estos dos dividido entre 2 es el promedio del primer término más el último término es decir justo lo que veíamos en el vídeo pasado y está genial porque ya ven no les mentían pues no solamente encontramos una expresión para la serie sino que encontramos dos expresiones para los primeros en términos de cualquier sucesión aritmética