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Desarrollar binomios sin el triángulo de Pascal

Transcripción del video

lo que quiero hacer en este vídeo es enseñarte una especie de truco para encontrar la expansión de binomios a alguna potencia y lo que quiero que hagas cuando termines este vídeo es que pienses cuál es la relación entre este truco y el teorema del binomio y el triángulo de pascal del cual hemos estado hablando entonces empecemos tenemos aquí un binomio elevado a la séptima potencia y si desarrollamos este binomio a las 7 lo que vamos a obtener son 8 términos como sé que son 8 términos pues porque siempre tienen la misma cantidad de términos que el exponente más 1 ok cuando tenemos el binomio elevado a la 1 tenemos dos términos equis y ya cuando elevamos el binomio al cuadrado seguro te acuerdas que hay tres términos ok entonces aquí cuando desarrollamos x más llega a las 7 vamos a tener ocho términos déjame pongo por aquí ocho casillas estos no son los términos son simplemente casillas 1 2 3 4 5 6 7 y 8 y ahora vamos a poner las equis empezamos con equis de las 7 y en cada término el exponente de la equis va bajando un número ok entonces aquí tenemos x a la 6 x a las 5 x a la 4 x a la 3 x a la 2 x a la podríamos poner x a la 1 pero simplemente equis y por aquí tenemos x el acero pero eso es simplemente un 1 que se va a multiplicar con alguna y entonces vamos a dejarlo así ahora vamos con las leyes empezamos con la cero pero llega la 0 es 1 entonces se queda simplemente le quita las 7 y después el exponente de la y va aumentando de uno en uno entonces aquí tenemos ya a la 1 que simplemente ya y al cuadrado y al cubo y a la 4g a las 5 y a las seis y finalmente ya a la 7 ok es muy fácil verificar que estemos bien porque la suma de los dos exponentes tiene que ser igual a 7 que hay aquí tenemos 16 igual a 7 52 igual a 7 y puedes verificar cada uno de estos y ahora si vamos a la parte más interesante de este vídeo que es calcular los coeficientes de cada uno de estos términos lo que hay empezamos por aquí y el coeficiente de este término es simplemente un 1 cierto y ahora sí vamos a ver el algoritmo que tenemos que seguir ok para encontrar este coeficiente lo que hacemos es tomar el exponente de la x del término anterior que en este caso es un 7 y luego lo multiplicamos por el coeficiente del término anterior que en este caso es un 1 por 1 y dividimos entre el número de casilla del término anterior que además coincide con el exponente al cual estamos elevando en este término la aie ok pero para no confundirnos vamos a pensar únicamente en el término anterior entonces tenemos que dividir entre el número de casilla del término anterior que es un 1 así es que para encontrar el coeficiente de este término tomamos el exponente de la equis del término anterior que es este 7 lo multiplicamos por el coeficiente del término anterior que es este 1 y dividimos entre el número de casilla del término anterior y nos queda pues 7 por 1 entre 1 nos queda un 7 bueno vamos con el término siguiente ahora queremos calcular este coeficiente entonces tenemos por aquí que el exponente del término anterior es un 6 tomamos un 6 multiplicamos por el coeficiente del término anterior que es un 7 y dividimos entre el número de casilla del término anterior que es un 2 entonces nos queda 6 por 7 42 entre 2 21 20 1 entonces como puedes ver esto requiere de práctica para obtener agilidad vamos con el coeficiente de este término este coeficiente tomamos el exponente de la equis del término anterior que en este caso es un 5 multiplicamos por el coeficiente del término anterior que es 21 y dividimos entre el número de casilla del término anterior o sea dividimos entre 3 y nos queda 5 por 21 entre 3 esto es 5 por 7 35 y podríamos seguir haciendo un montón de cuentas o podríamos recordar que estos coeficientes serían cierto patrón y ese patrón es que eran simétricos ok aquí el coeficiente de llega a las 7 es un 1 y el coeficiente de x porque a las 6 siempre va a ser igual al coeficiente de x a la 6 por llegar a 1 y ese coeficiente 7 entonces este coeficiente tiene que ser un 7 este coeficiente tiene que ser igual a este coeficiente que es 21 y este coeficiente tiene que ser igual a este coeficiente que es 35 y así de rápido encontramos la expansión de x más llega a las 7 claro que todos estos términos están sumando