Desarrollo binomial y combinatoria

lo que quiero hacer en este vídeo es dar un poco de intuición acerca de por qué el teorema del binomio está tan involucrado con la combinatoria en especial porque los coeficientes de los términos son las combinaciones de un exponente en otro exponente y aquí estamos empezando con un ejemplo muy sencillo que es x + a la tercera potencia lo cual es simplemente x + 9 por x + d por x + y ya sabemos perfectamente cómo se ve la expansión de este binomio al cubo generalmente empezamos escogiendo una equis de cada uno de los paréntesis y multiplicando los y nos queda x al cubo y si escogimos 3x escogimos una equis de cada paréntesis entonces en ningún paréntesis escogimos una y así es que no escogimos ni una sola y y entonces nos preguntamos cuántas formas hay de escoger de tres paréntesis tres paréntesis ni una sola y ni una sola llegue y esto de aquí las combinaciones de tres en cero es el coeficiente del término x la tres por llegar a cero y bueno todos sabemos que hay exactamente una forma de de cada paréntesis es [ __ ] una equis y esto es equivalente a de todos los paréntesis no escoger ni una sola ya que es lo que queremos porque tenemos aquí ya a las cero y las combinaciones de tres en cero si son iguales a 1 y esto es lo que obtendríamos si hiciéramos la extensión de esta multiplicación aunque tendríamos un solo término que tiene x al cubo y ahora vamos con el siguiente término que tiene x cuadrada porque a la 1 aunque hay entonces tenemos aquí tres canastas con un adicional de cada uno y de esas tres canastas tenemos que escoger un elemento de cada una de tal forma que tengamos dos equis y una y y eso es equivalente a tomar las combinaciones de tres en uno aunque aquí estamos diciendo tal cual tenemos un conjunto de tres canastas y vamos a escoger a una sola canasta que puede ser esta esta o esta de tal forma que esa sea la canasta elegida para que saquemos de ahí la aie y en el resto de las canastas vamos a sacar puras x entonces esa canasta de la cual sacamos la y puede ser esta esa es una forma o puede ser que saquemos la lleve esta canasta y saquemos puras x de estos dos paréntesis esa es la segunda forma o puede ser que saquemos la aie de esta canasta y de estas dos canastas saquemos puras equis y esa es la tercera forma entonces se hay y las combinaciones de tres en uno es igual a tres formas de sacar la multiplicación de a la 1 por x al cuadrado también lo podemos pensar como que tienes tres amigos pero sólo uno de ellos va a ser tu mejor amigo entonces pues hay tres formas de escoger a ese mejor amigo bueno vamos con el siguiente término ahora tenemos ya al cuadrado por equis a la 1 y cuántas formas tenemos que hacer este producto pues tenemos 3 paréntesis 3 paréntesis y tenemos que escoger dos de esos paréntesis dos de esos paréntesis para de ellos sacar dos jets y en el otro vamos a sacar una equis ok puede ser que de este paréntesis saquemos una y de este paréntesis saquemos otra y y de este paréntesis saquemos una equis y eso nos da una forma de hacer este producto de equis porque al cuadrado o podemos escoger esta y esta x y esta otra y y eso también nos da x porque al cuadrado esta es la segunda forma o podemos escoger esta x de este paréntesis y escoger que este paréntesis nos dé una i este otro paréntesis nos de otra y esa es la última forma de hacer el producto de x porque al cuadrado entonces de 3 paréntesis escogemos que dos de ellos nos den una i y el tercero nos dé una equis y por eso hay las combinaciones de tres en dos formas de hacer este producto que también lo podemos ver como que estás lleno de paseo con tus amigos y tú te estás sentando en medio del coche y hay dos lugares a tu lado entonces de tus tres amigos quiénes son los dos que se van a sentar a tu lado todo el trayecto claro si no te importa quién está a la derecha y quién está a la izquierda pero bueno vamos con el último término de esta expansión del binomio al cubo finalmente cuántas formas hay de escoger de los tres paréntesis trelles aunque hoy tenemos tres paréntesis y tenemos que escoger 33 pues hay simplemente una forma de escoger 13 es no todos los paréntesis nos tienen que dar una y y si de todos si escogemos una y entonces no vamos a tener ni una sola equis y pues hay una sola forma de escoger de cada paréntesis una y ok y las combinaciones de tres en tres es igual a 1 si es que todo está muy bien y por eso es que tenemos estas combinaciones de tres en tantos en el teorema del binomio lo que hay aquí tenemos las combinaciones de tres en tres porque de cada uno de los tres paréntesis que tenemos aquí que multiplicar tenemos que escoger que tres de esos paréntesis nos dan una y y el resto nos dé una equis ok pero si de tres paréntesis tenemos que escoger tres paréntesis pues simplemente hay una sola forma de hacer eso y lo mismo para acá tenemos aquí ya al cuadrado entonces de tres paréntesis tenemos que escoger el segundo término o sea la y en dos de ellos únicamente y pues hay tres formas de hacer eso lo mismo para que de tres paréntesis tenemos que escoger el segundo término únicamente en uno de los tres paréntesis entonces hay exactamente tres formas de hacer eso y finalmente de tres paréntesis no escoger ningún paréntesis hay exactamente una forma de hacer eso