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El triángulo de Pascal y la combinatoria

Transcripción del video

lo que quiero hacer en este vídeo es conectar todavía más el teorema del binomio con el triángulo de pascal y con la combinatoria aunque entonces tenemos aquí x más elevado a la tercera potencia y estamos viendo esto nada más como un ejemplo para que sea más fácil entenderlo pero bueno el chiste es que esto es igual a x + d por otra vez x + por otra vez x + y para no estarnos confundiendo con a cuál x me refiero o aquello me refiero a este paréntesis le vamos a llamar el paréntesis 1 a este paréntesis le vamos a llamar el paréntesis 2 ya este el 3 entonces a la hora de ver el desarrollo de este binomio al cubo pues tenemos por aquí un término x porque al cuadrado pero pues al coeficiente de este x por ya al cuadrado tiene que ver con de cuántas formas de estos tres paréntesis puede escoger dos de esos paréntesis para que me den una y cuadrada y que el otro paréntesis me dé esta x de ahí es de donde viene este coeficiente que son las combinaciones de tres en dos porque tenemos tres paréntesis y de esos tres paréntesis queremos escoger dos porque ya la estamos elevando al cuadrado entonces de dos de estos paréntesis tenemos que sacarla y en lugar de la equis porque hay entonces este coeficiente tiene que ser cuántas formas hay de escoger dos elementos de un conjunto de tres elementos y eso es justo lo que este símbolo de las combinaciones de tres en dos representa entonces pues vámonos al triángulo de pascal para ver qué es más o menos la misma idea aunque vamos a tomar el mismo término x porque al cuadrado x porque al cuadrado y bueno a mí con el triángulo de pascal lo que me gusta es pensar que esto es simplemente un mapa y que cada una de estas cosas es un nodo del mapa y que estas líneas indican que d expresión si puedo llegar a esta expresión y bueno para llegar de esta expresión de este nuevo a este nodo lo único que tengo que hacer es multiplicar por una y de hecho por eso lo colorea de azul y de este nodo también podemos llegar a esta expresión y lo único que tenemos que hacer es multiplicar por una equis y por eso lo colorea de rosa entonces en el nivel anterior hay exactamente dos nodos que pueden llegar a este nuevo que nos interesa sin embargo la cantidad de formas de llegar a este nodo son dos y la cantidad de formas de llegar a este nodo es une entonces todas las formas que hay de llegar a este novo pues tiene que ser la suma de dos más uno o sea que hay tres formas de llegar a este nuevo y bueno ahora vamos a conectar este triángulo de pascal con todo lo que estábamos haciendo por acá ok cada que tenemos un nudo y bajamos de nivel tenemos que escoger cuál de los dos caminos tomamos la y yo lo veo es que cuando estamos en un nodo y escogemos alguno de los dos caminos ya sea el rosa o el azul pues estamos escogiendo multiplicar por una equis o multiplicar por una y y eso lo podemos ver en estos paréntesis como que ya llevamos cierto camino recorrido o sea que ya escogimos o está x o está ahí o este x o está ahí y entonces estamos en este punto y ahora estamos escogiendo si nos vamos por el camino rosa es [ __ ] multiplicar por esta x o si nos vamos por el camino azul es [ __ ] multiplicar por ésta y ok entonces saber aquí teníamos los paréntesis numerados así es que vamos a enumerar estos paréntesis también este paréntesis es este paréntesis que es el paréntesis 1 este es el paréntesis 2 y el paréntesis 3 en este término estamos diciendo que hay tres formas de llegar a x porque cuadrada entonces pues vamos a ver cuáles son esos tres caminos podemos empezar por escoger una x y después escoger una y otra y ese es un camino y es equivalente a escoger del primer paréntesis está x lo cual es escoger este camino y en el segundo paréntesis pues escogimos una porque tomamos el camino azul entonces escogimos esta lleve este paréntesis y después volvimos a escoger una y ok y si te fijas para llegar de aquí acá lo que tenemos que hacer es escoger una vez el camino hacia la izquierda y dos veces el camino hacia la derecha ok porque necesitamos nada más una equis que la obtenemos con un camino hacia la izquierda y necesitamos dos ges que son los caminos hacia la derecha los caminos azules entonces otra vez estamos en el mismo problema de antes ok vamos a escoger uno de los dos caminos que es multiplicar por equis o multiplicar por ye y tenemos que hacer eso 3 a ver vamos a ver cuál es otro camino que podemos hacer podemos tomar primero a la derecha multiplicando por y luego multiplicar por equis a la izquierda y volver a multiplicar porque a la derecha y eso es como escoger del primer paréntesis una y del segundo paréntesis una equis y del tercer paréntesis otra vez una y y nada más nos queda una última forma de llegar a este término que es primero multiplicar por una y a la derecha luego volver a multiplicar por una llega a la derecha y finalmente multiplicar por una equis hacia la izquierda y esto es equivalente a del primer paréntesis escoger la y del segundo paréntesis es [ __ ] otra vez la ye y del tercer paréntesis es [ __ ] la equis entonces viendo las matemáticas básicas que hay de fondo estos dos problemas son exactamente la misma cosa de un conjunto de tres elementos escoger dos y esas son las combinaciones de tres en dos o key de tres pasos hacia abajo que tenemos que dar los tres pasos dos de ellos tienen que ser hacia la derecha y uno tiene que ser hacia la izquierda la cantidad de formas de hacer eso la denotamos por las combinaciones de tres en dos que es también igual a la cantidad de formas que hay de escoger dos paréntesis para que esos paréntesis nos den una y cuando tenemos tres paréntesis de los cuales tenemos que escoger si multiplicamos x oye