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Contenido principal
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El triángulo de Pascal y el desarrollo binomial

Transcripción del video

en el vídeo pasado utilizamos el teorema del binomio para desarrollar además de a la 4 y fue pues un poquito tedioso pero ojalá que te haya gustado habría sido mucho más útil si hubiéramos calculado una potencia más grande como además ve a la 8 pero lo que quiero hacer este video es enseñarte que hay otra forma de hacer esto y se trata de utilizar el triángulo de pascal y si tenemos tiempo veremos por qué estas dos ideas están tan relacionadas entonces en lugar de a desarrollar además ve a la 4 utilizando esta fórmula del teorema del binomio voy a calcularlo usando el triángulo de pascal y algunos de los patrones que vimos que seguían el desarrollo de un binomio entonces déjame volver a escribir lo que queremos desarrollar déjame escribir por aquí el binomio que queremos desarrollar ve a la cuarta potencia y lo que voy a hacer es construir el triángulo de pascal y para eso empezamos con un 1 por aquí y bueno este triángulo de pascal básicamente lo que hace es que en cada nivel vamos a estar contando la cantidad de formas que hay de llegar a cada uno de los nodos de ese nivel entonces empezamos aquí con un 1 y pues hay dos caminos que uno puede tomar y llegamos a dos nuevos distintos en el primer nivel este es el nivel cero y después pues no nos interesa quedarnos nada más en el nivel 1 o sea queremos llegar hasta el nivel 4 entonces vamos a agregar otro nivel y aquí pues tenemos una sola forma de llegar a este nodo empezamos por aquí nos vamos para acá y para acá ok sin embargo para llegar a este nodo tenemos dos formas distintas empezamos por aquí nos vamos para acá y luego para qué empezamos por aquí nos vamos a este nodo y llegamos de este lado a este nuevo entonces hay dos formas de llegar a este nuevo y finalmente hay una sola forma de llegar a este último nodo entonces pues agreguemos otro nivel a ver tenemos por aquí uno dos tres cuatro nuevos y para llegar a este nodo hay una sola forma en que seguir todo este camino entonces hay una forma para llegar a este nodo pues podemos seguir este camino para conseguir este otro camino esa es la segunda forma y podemos seguir este último camino entonces hay tres formas de llegar a este nodo y lo mismo va a pasar por aquí o sea tenemos una forma dos formas y tres formas y para llegar a este nodo tenemos únicamente una forma sin embargo todavía no llegamos al nivel asociado con este binomio a la cuarta potencia ok por que este nivel está asociado con tomar un binomio y elevarlo a la potencia cero este nivel que es el nivel uno está asociado con tomar un binomio y elevarlo a la potencia 1 estos van a ser los coeficientes este nivel a la potencia 2 este nivel a la potter 3 entonces tenemos que ver el siguiente nivel para ver cuáles van a ser los coeficientes de este binomio a la cuarta potencia cuántas formas hay de llegar a este nuevo pues sólo podemos seguir este camino entonces hay una sola forma cuántas formas hay de llegar a este nodo pues tenemos este camino también tenemos este camino este otro camino y esas son cuatro formas distintas que hay para llegar a este nodo vamos a hacer algo más interesante que es decir ok hay tres formas de llegar a este nuevo y hay otras tres formas de llegar a este otro nodo entonces tiene que haber tres más tres seis formas de llegar a este nuevo ok me imagino que con un poquito de tiempo puedes deducir por qué para encontrar la cantidad de formas de llegar a este nuevo simplemente tenemos que sumar la cantidad de formas de llegar a estos dos nodos entonces la cantidad de formas de llegar a este nodo también va a ser tres más uno que es cuatro y la cantidad de formas de llegar a este nodo pues es otra vez simplemente un 1 entonces estos cada uno de estos niveles son los coeficientes que tenemos que poner cuando desarrollamos un binomio como estos que este es el coeficiente cuando elevamos un binomio a la potencia cero estos son los coeficientes cuando elevamos un binomio a la potencia 1 ok de hecho lo podemos ver si tenemos este binomio elevado a la potencia 1 es simplemente este binomio y el coeficiente de la a es un 1 y el coeficiente de la b es también un 1 son estos unos de aquí que hay por aquí estos son los coeficientes cuando elevamos el binomio al cuadrado y los coeficientes son 1 por a cuadrada más 2 por apruebe más 1 por b cuadrada y bueno estos son los coeficientes cuando elevamos el binomio a la tercera potencia y todos son los coeficientes cuando elevamos el binomio a la cuarta potencia entonces vamos a escribirlos por aquí tenemos un 1 y luego un 4 luego un 6 luego otro 4 y luego un 1 y como vimos en el vídeo pasado las potencias de a y las potencias debe seguían como que cierto patrón no la empezaba con la potencia a la cual estábamos elevando el binomio o sea a la 4 y después iba disminuyendo su potencia entonces por aquí nos toca a la 3 luego al cuadrado a la 1 y bueno tenemos que poner a alastair aunque sabemos que esto es simplemente un 1 y las veces lo que hacían era empezar como un 1 o sea ve a la 0 y después y subiendo la potencia a la cual estaban elevadas entonces aquí nos queda véala ve al cuadrado ve a la 3 y la 4 y después nada más tenemos que sumar todos estos términos ok esta es la expansión del binomio además de a la 4 y podemos ver que nos quedó exactamente igual que en el vídeo pasado cierto o sea este término de aquí es equivalente a este término de acá o sea esta ve a la 0 es simplemente un 1 y este otro término de aquí también es equivalente a este término de acá y lo mismo pasa con el resto de estos términos aunque entonces con este triángulo de pascal encontramos otra forma de encontrar el desarrollo de un binomio a la potencia 4 ahora una pregunta muy interesante es por qué funciona todo esto del triángulo de pascal o sea porque nos quedó el mismo resultado y bueno te sugiero que le pongas una pausa y piensas al respecto así es que bueno para ver por qué obtenemos el mismo resultado desarrollando el binomio y usando los coeficientes del triángulo de pascal pues vamos a necesitar usar unas potencias más chicas por ejemplo el binomio al cuadrado entonces vamos a ver a más b al cuadrado y bueno además b al cuadrado es simplemente ah a más be be great además ve por además ve y esta multiplicación de aquí pues lo que tenemos que hacer es tomar este por éste que es a cuadrada y bueno esa es la única forma que hay de obtener a cuadrada cierta o sea de todos los términos que vamos a obtener este es el único que tiene a cuadrada y lleva este coeficiente pero bueno sigamos multiplicando luego tenemos que multiplicar esta a por esta vez y nos queda a por b y después tenemos que multiplicar esta vez por esta a y pues nos queda otra vez a b cierto entonces tenemos por ahí otro a por b y finalmente multiplicamos esta vez por esta vez y nos queda b cuadrada y esto es algo muy muy muy interesante porque a ver otra vez cuántas formas hay de obtener un cuadrado pues hay simplemente una forma multiplicar está por esta y yo tenemos al cuadrado así es que hay una sola forma de obtener a cuadrada por otro lado cuántas formas hay de obtener be cuadrada pues también hay solamente una no tenemos que multiplicar esta vez de este paréntesis por esta vez de este paréntesis y obtenemos be cuadrada pero pues hay únicamente una forma de obtener be cuadrada sin embargo a la hora de preguntarnos cuántas formas hay de obtener a por b pues hasta aquí podemos ver que hay dos formas de obtener a por b no podemos tomar esta a y multiplicarlo por esta vez o podemos tomar esta vez y multiplicarla por esta a mccray hay dos formas de obtener a por b y este polinomio es igual a una forma de obtener a cuadrada o sea a cuadrada nada pues tenemos dos formas dos formas de obtener a por b entonces el coeficiente va a hacer 2 porque estamos sumando dos de estos términos porque hay dos formas de obtener este término entonces tenemos dos por a o por b más pues una sola forma de obtener de cuadrada entonces de cuadrada entonces mira tienen exactamente los mismos coeficientes tenemos aquí 121 y aquí tenemos 1 2 1 y lo mismo pasa para todas las demás potencias ya que hay si tomamos un binomio y lo elevamos a la tercera potencia sus coeficientes van a ser 1 3 3 1 aunque ellas y como lo hicimos en este ejemplo por game porque hay una sola forma de obtener a al cubo que es tomar todas las de todos los paréntesis y multiplicar las también sucede que hay una sola forma de obtener ve al cubo que es tomar de cada paréntesis la b y multiplicar las y bueno como vimos en el vídeo pasado hay tres formas de obtener a cuadrada por b y tres formas de obtener a por be cuadrada aunque hay en particular para obtener a cuadrada por ver lo que tenemos que hacer es escoger de los tres posibles paréntesis uno que sea el que va a aportar la b y los otros dos van a aportar as entonces tendremos a cuadrado por b pero pues tenemos tres formas de escoger qué paréntesis es el que nos va a dar la b bueno espero que esto te haya parecido interesante