Series geométricas con notación sigma

en el último vídeo vimos que una progresión geométrica o también conocida como sucesión geométrica es una sucesión que se obtiene de multiplicar cada número por un número fijo para ir obteniendo el número consecutivo y a ese número fijo le llamamos proporción común y de hecho teníamos un ejemplo aquí que pintamos en rojo ahí teníamos que empezamos con el número 3 y después nuestra proporción común sería el 2 así que 3 por 2 nos da 6 para obtener el siguiente número habría que multiplicar 6 por 2 lo cual nos daba 12 y así podemos seguir indefinidamente para obtener toda la sucesión muy bien y algo que quizás no mencioné es que la proporción común puede ser incluso un número negativo por ejemplo si tú tienes el número 1 y digamos que nuestra proporción común es el menos 3 entonces 1 x menos 3 nos da -3 si queremos obtener el siguiente tendríamos que multiplicar menos 3 x menos 3 y eso nos da 9 para obtener el siguiente multiplicamos 9 por menos 3 y eso es menos 27 ya para terminar si multiplicamos menos 27 por menos 3 nos da 81 y así podemos seguir tanto como queramos verdad así que en este vídeo lo que quiero hacer es enfocarme en qué pasa si queremos sumar los términos de una progresión geométrica muy bien entonces por razones más o menos obvias a esto es a lo que le vamos a conocer como serie geométrica serie y métrica que es una serie geométrica es simplemente sumar todos los términos de una progresión geométrica por ejemplo si quisiéramos calcular la serie o si si quisiéramos calcular la serie de esta progresión geométrica geométrica perdón tendríamos 1 y luego sumamos menos tres después sumamos el siguiente término que es 9 y luego sumamos menos 27 seguimos sumando 81 y así nos seguimos con todos los términos entonces esto sería una serie geométrica porque estamos sumando los términos de una progresión geométrica si nosotros quisiéramos calcular la serie geométrica de esta progresión roja entonces tendríamos 3 + 6 más 12 más 24 48 y así seguimos con todos los términos entonces estos dos son ejemplos de una serie geométrica algo que deberíamos abordar es bueno como representamos una serie geométrica ok en general vamos a tener lo siguiente tenemos nuestro número que incluso habíamos denotado con a empezamos con un número a y sumamos a poner que es el siguiente término verdad r va a ser nuestra proporción común el siguiente término sería a por r cuadrada verdad es re cuadrada porque multiplicamos este término por r podemos seguir con un tercer término digamos a por r al cubo y podemos seguir con otro término a por r elevado a la 4 y así seguir sumando indefinidamente muy bien entonces si nosotros quisiéramos calcular la serie geométrica o más bien la suma geométrica porque vamos a tener una serie geométrica finita qué pasa si tenemos una progresión geométrica finita y sumamos todos términos entonces tendríamos una especie de serie geométrica pero finita que termina en algún punto digamos cuando elevamos ere a la n entonces si tomamos una progresión geométrica y los sumamos vamos queremos queremos representar esto en términos por ejemplo de la notación con la letra griega sigma así que como representaríamos esto bueno algo que hay que notar quizás debería darte una pausa antes para que lo pienses tú y que puedas después verificar con lo que terminemos haciendo en este vídeo si si coincide con lo que tú pensaste entonces para lograrlo uno podría pensar que aquí está siendo x r elevado a la cero y aquí podría uno pensar que a está multiplicando a r elevado a la 1 y si te das cuenta en cada uno de los términos estamos incrementando el exponente de nuestra proporción común entonces cómo quedaría esto esto sería la suma utilizando nuestra letra griega sigma mayúscula y el exponente que empieza en cero y termina en n de quien pues estamos sumando a x r&r va cambiando de exponente entonces aquí elevamos a la k entonces puedes darte tu cuenta que a medida que vamos cambiando la k nos va dando justo estos términos y esto es una muy buena forma de representar una serie geométrica al menos en el caso finito para poder hacerlo nuestra proporción común tiene que ser un número distinto de cero y que como ya vimos incluso puede ser negativo