Problemas verbales de series geométricas finitas: una hipoteca

en este vídeo quiero ver la matemática que hay detrás de un préstamo hipotecario y bueno de hecho no será tanto un vídeo de finanzas más bien es un vídeo mucho más matemático será interesante porque nos enfocaremos en algo que al menos yo me he preguntado ya por mucho tiempo y bueno tú sabes sacamos estos préstamos para comprar casas digamos que sacas un préstamo de 200 mil pesos doscientos mil pesos y bueno está asegurado este préstamo por tu casa y bueno lo pagarás en un lapso de 30 años lo que es equivalente a 360 meses porque bueno normalmente haces dos pagos cada mes el interés normalmente se compone mensualmente y digamos que estás pagando un 6% en intereses estos son mis intereses anuales que también se componen mensualmente entonces 6% dividido entre 12 hablamos de el punto cinco por ciento entonces es el punto cinco por ciento 5% al mes y bueno normalmente cuando tienes un préstamo así tu agente hipotecario o tu banquero va a meter estos números en algún programa de cómputo y te dicen ok muy bien mira a tu pago será de 1200 al mes y si pagas esos 1200 al mes continuamente por 360 meses al final de sus 360 meses habrás pagado a tus 2 200 mil pesos más cualquier interés que se haya acumulado eso te van a decir así que bueno ya habrás pagado y genial pero estos números no no es tan sencillo llegar a ellos mira bueno te voy a mostrar un ejemplo de cómo funciona una hipoteca así que iniciamos con que tienes un préstamo de 200 mil pesos no haces pago alguno por qué harás tu primer pago hasta dentro de un mes así que esta cantidad será agravada por el punto cinco por ciento hablamos del primer día en el primer día te dan el préstamo y después se va agravando por el punto cinco por ciento así que punto cinco por ciento como decimal equivale a 0.005 así que en un mes con intereses esto habrá crecido a 200.000 por 1.005 así que 200.000 por 1.005 luego pagará 2200 así que será menos 1200 y así queda en este primer mes y después para el mes siguiente sea lo que sea que sobre será otra vez agravado por el punto 5 % entonces por 1.005 luego el próximo mes regresarás y pagarás estos 1.200 otra vez entonces menos 1200 y esto pasará 360 veces 360 veces así va hasta 360 veces los seguirás haciendo y al final tendrás una enorme expresión como por 360 paréntesis de hecho y todo será igual a 0 porque después de tu último pago habrás terminado de pagar la casa pero va a haber como en general cómo llegamos a este a este pago el adecuado a este número llamémosle p hay alguna forma matemática para averiguarlo para hacerlo hay que ponernos más abstractos digamos que el el es igual a la cantidad de préstamo cantidad de préstamo y digamos que if i es el interés mensual interés mensual baja ahora n n es el número de meses número de meses con los que estamos tratando por último p es igual al pago mensual así que p es igual al pago mensual tu pago hipotecario mensual alguno del cual es interés y otra parte es el pago principal pero es la misma cantidad que pagarás cada mes para pagar ese préstamo más los intereses así que es el pago mensual esta misma expresión si la escribo en términos abstractos inicias con una cantidad de préstamo esta es l y después de un mes se compone a lo multiplicas por uno más y uno más y en estas situaciones 1.005 luego pagas un pago mensual así que menos p y eso es al final de un mes luego tienes también una cantidad sobrante de tu préstamo y eso se acumula al siguiente mes luego pagadas nuevamente y esto se se repite y se repite 360 veces o bueno en este caso n veces porque estamos en abstracto el mundo abstracto de finanzas así que bueno para para que se entienda se va a repetir en exceso bueno tendríamos que poner en el paréntesis en el paréntesis y después de hacer esto en fs es todo será igual a cero entonces bueno me pregunta la principal por la cual yo hago este vídeo es cómo resolvemos para p sabemos la cantidad de préstamos la tasa de es mensual sabemos la cantidad de meses como sabemos a que es igual p no parece ser una expresión algebraica sencilla así que hay que ver cómo le vamos a hacer veamos si podemos acomodarlo de una manera generalizada entonces iniciamos con un ejemplo sencillo con n igual a 1 quien es igual a 1 entonces nuestra situación se va a ver algo así sacas tu préstamo lo compone xa un mes sería uno más y luego pagas tu pago mensual esto representa una hipoteca que se paga en un mes así que después de ese pago habrás liquidado tu préstamo eres libre entonces resolveremos para penn así que igual a cero y resolvemos para pepe es igual a l por uno más y si divides ambos lados por uno más y tenemos p sobre uno más y es igual a él y bueno dirás tuve ya resolví este para p o sea porque haces eso de dl porque resuelves para l lo hago porque quiero mostrarte un patrón a que que surgirá aquí mágicamente con n igualados inicias con tu cantidad de préstamo que se compone para un mes haces tu pago y luego lo que sobra sobra cierta cantidad eso se compone a un mes haces tu segundo pago está hipoteca y necesita dos pagos y ya terminaste hiciste los pagos principales y los pagos de interés ahora hay que resolver para p entonces voy a colorear las p es bueno esta p de color rosa sumó pesa ambos lados así que está verde esta p verde será igual a todo este asunto entonces bueno vamos a hacer esto sí que se ve mucho pero no lo es tanto en p es igual a l por uno más y menos la p color rosa aunque son la misma p sólo quiero mostrarte que sucede algebraica mente uno más y ahora si divides ambos lados por uno más y vas a obtener que sobre uno más y es igual a todo esto l por uno más y menos para perros y está y ya entonces ahora sumemos pe a ambos lados sumando la p color rosa a ambos lados de la ecuación obtenemos temas p sobre uno más y es igual a l por uno más y ahora divido a ambos lados por uno más y entonces te va a quedar la p color rosa sobre 11 más y bueno la masa p verde pero estamos dividiendo entre uno más y entonces nos va a quedar uno más y al cuadrado así que uno más y al cuadrado es igual a l igual a él y bueno como puedes ver algo interesante estar aquí ocurriendo te recomiendo los vídeos de valor presente aquí tomas un pago los descuentos por tu tasa de interés mensual y obtienes la cantidad de préstamos aquí tomas cada uno de tus pagos los descuentos lo divides entre uno más la tasa de interés elevado a la potencia que corresponde al número de meses lo que hace es esencialmente es tomar el valor presente de tus y una vez más obtienes tu cantidad de préstamos y lo que vas a hacer aunque tal vez quieras hacerlo por ti solo si quieres practicar un poco tu álgebra si lo haces con un igual a tres y bueno no lo voy a hacer por el tiempo pero con n igual a 3 él es igual a p sobre 1 más y más p sobre 1 más y al cuadrado pero no más y al cuadrado más p sobre 1 más y al cubo esto lo obtienes con el igual a 3 hazlo y verás que si es el mismo procedimiento que hicimos acá habrá que hacer algo de álgebra pero de qué sale sale no tomara tanto tiempo en general te he mostrado que que podemos escribir la cantidad de préstamo como el valor presente de todos los pagos podríamos decir en general que la cantidad de préstamo la cantidad de préstamo generalizando esto a n podríamos decir que es igual a bueno aquí voy a factorizar las pes entonces pongo p por 1 sobre 1 más y más 1 sobre 1 más y esto al cuadrado más y así seguirá hasta n veces uno sobre uno más y a la n cierro paréntesis y bueno esto ahora quizás bueno lo reconozcas observa lo bien ahora cierra los ojos voy a escribir el nombre de esto esto es magia no lo sabrás todavía qué emoción qué emoción esto es una no voy a decir nombres ok ya abre los ojos esto es una serie geométrica guau qué bonito sí exacto a que no te lo esperabas entonces esto podemos saber la suma total entonces bueno esta es la suma de uno sobre uno más y donde uno más y lo elevamos a la jota aquí y es desde jota igual a 1 hasta aquí está uno esto es elevado a la 1 entonces igual a uno hasta jota igual a n y eso es exactamente esta serie geométrica veamos hay una manera si existe una manera sencilla de resolver esto porque bueno no lo queremos hacer 360 veces no no no es demasiado aunque si obtendríamos un número que igual se divide entre l y resuelve es para p solo para simplificar la matemática voy a escribir aquí una definición digamos que r es igual a uno sobre uno más y llamaré a toda esta suma la voy a llamar a todo esto ese y si decimos que es igual a cada uno de estos términos entonces éste será igual será igual a esto será r a la primera potencia y acá será r al cuadrado como lo puedes ver tú aquí en estos dos entonces escribo más r al cuadrado y bueno así se va a seguir r el cubo más más más más hasta r n y bueno te mostraré ahora un pequeño truco yo siempre olvido de estas fórmulas así que una buena manera de obtener una suma de una serie geométrica esto lo puedes usar para encontrar la suma de una serie geométrica infinita aquí aquí es una serie finita entonces multiplicamos r por s igual si multiplicamos cada uno de estos poderes edad r por r sería ir al cuadrado r al cuadrado por r sería r al cubo y así te vas a seguir más y luego ya aquí ahora acá falta un término aquí sería r a la n 1 y ese x r sería r a la n iv r a la n por r sería r más r a la n más uno todos estos se multiplican por r y como puedes ver los puse bajo el mismo exponente ahora lo que podríamos hacer es restar estos términos verdes de estos términos morados entonces si si decimos s - r por s que obtenemos s - r por s estoy restando esta de esta otra línea r a la 10 pues eso ahí no hay nada o sea ahí no hay nada entonces ahí sería herrera 1 pero luego el r al cuadrado menos r al cuadrado ahí es 0 y se van cruzando estos se van cancelando todos se van a cancelar claro menos este ere a la n 1 este es el último término ese no se cancela qué lindo truco verdad o vaya que sí entonces menos ere a la n más uno y factor izando aquí una s obtenemos s por 1 - r hay factores de la s eso es igual a ere a la 1 - r a la n 1 y obtienes aquí la suma esta suma es igual ese es igual a r sin poner aquí el 1 como exponente r nada más así que es r - r a la n 1 sobre 1 - r 1 - r a esto equivale nuestra suma definiendo a r de esta manera ahora podemos reescribir toda esta fórmula a podemos decir que nuestro préstamo que l es igual a nuestro pago mensual el cual en este caso voy a poner en verde así que esto es x r - r a la n 1 sobre 1 - r y cierro paréntesis ahora bien si yo quiero si yo quiero resolver para p voy a multiplicar ambos lados por el inverso de eso y obtengo que p es igual a lp es igual a él por el inverso de esto entonces por el inverso es 1 r por 1 - r sobre r - r a la n 1 donde r r es esto de aquí y hemos terminado así es como puedes resolver para tu pago hipotecario a ver a hay que aplicarlo ok para que quede más claro digamos que tu préstamo es igual a 200 mil pesos y que tu tasa de interés es del 6% aquí es 6% anual lo cual es punto 5% al mes punto 5% al mes es igual a 0.005 eso es la tasa mensual y digamos que es un préstamo a 30 años 30 años que son 360 meses y bueno hagamos el experimento lo primero que queremos saber es el valor de nuestra r entonces bueno hay que ver cuál es el valor de nuestra r así que bueno veamos r es uno sobre uno más y dónde y es así que uno dividido por uno más siglo cual es punto 005 entonces uno más y lo cual es punto cero 0 5 eso es nuestra tasa de interés mensual y bueno cierro el paréntesis lo cual es igual a punto 99 5 es el valor de nuestra r esta calculadora no no guarda datos así que la voy a bajar para poder escribirlo así que dejar la rastro era es igual a haber bueno ya sabemos a cuánto vale eres igual apuntó bueno mejor lo pongo con 000 puntos 99 5 lo acabamos de usar es esto de acá y bueno estoy perdiendo un poco de precisión pero creo que estará bien al fin y al cabo solamente quiero darte la idea así que cuál será la cantidad de pago multiplicamos nuestra cantidad de préstamo que son 200 mil pesos aquí tengo 200 mil pesos así está 200 mil x 1 - r así que es 11 - punto 995 / así que así que cierro paréntesis r lo cual es punto 1995 abro paréntesis así que punto 9 95 y después menos punto 9 95 otra vez elevado a la ns 360 entonces será 360 más uno elevado al a 361 eso no lo puedo hacer mi cabeza no tengo ese superpoder pero la calculadora así entonces cierro paréntesis y el resultado es este si lo haces con un poco más de precisión te saldrá un poco menos que esto entonces será 1200 aproximadamente y ya con esto pudimos saber el valor del pago hipotecario así que p es igual a 1200 p es igual a 1200 elegante no crees los cálculos fueron muy elegantes y averiguamos algo con lo que nos topamos día a día además de tu sorpresa y bueno ya sabemos las matemáticas que hay detrás de todo esto