Problemas verbales de series geométricas: columpio

nos dicen un mono se balancea en un árbol en su primera oscilación hace un arco de 24 metros en cada oscilación siguiente hace un arco de un medio la longitud de la oscilación anterior bien veamos qué pasa aquí si tenemos aquí el punto superior de la cuerda donde el mono se balancea déjame dibujar a mi pequeño mono entonces la primera oscilación se desplaza 24 metros en un arco como este este arco es de 24 metros y en la siguiente oscilación va de regreso pero hace un arco de la mitad de la longitud de la oscilación anterior así que va en sentido contrario pero la segunda vez que se balancea tiene una oscilación de la mitad tal vez por aquí entonces serían 12 metros y en la siguiente oscilación sería la mitad de eso tal vez se ve algo así son 6 metros y todo esto tiene sentido esto es consistente con nuestra experiencia balanceando no sé árboles para los que se hayan con limpiado alguna vez así que veamos que nos preguntan en el primer inciso qué expresión nos da la longitud total del balanceo del mono después de sus primeras en oscilaciones bueno pausa el vídeo e intenta encontrar la respuesta correcta y techo expresado de dos maneras distintas expresarlo como una serie geométrica y expresa lo como la suma de un asociación geométrica si fuera posible evaluar la serie bien vamos a trabajar juntos nos dicen que la primera oscilación del mono se desplaza a 24 metros ok en la segunda oscilación y es que de hecho quise darte una pista cuando te dije que expreses esta distancia como una serie geométrica porque en la segunda oscilación es la mitad de estos 24 metros podría simplemente escribir un 12 aquí pero un medio es un número interesante ya que es mi razón común débil serie geométrica cada siguiente oscilación tendrá un arco que tendrá la mitad de la longitud del arco de la oscilación anterior es decir será 24 por un medio y el siguiente arco será la mitad de la anterior es decir 24 por un medio por un medio o dicho de otra manera 24 por un medio elevado a la segunda potencia así que aquí tenemos los tres primeros arcos y observa que en este momento estamos elevando la segunda potencia entonces la longitud de las primeras n oscilaciones será todo de esta suma hasta sumar a 24 por un medio elevado a la potencia y ten cuidado no es la potencia n es la potencia n menos 1 puedes pensar que después de dos oscilaciones escribimos 24 por un medio elevado la primera potencia después de tres oscilaciones escribimos 24 por un medio elevado la segunda potencia y así que después de en oscilaciones será un medio elevado en la potencia n menos 1 ahora bien no sólo queremos tener esta expresión también te pedí que la evalúe y la forma de evaluarla es pensar en la fórmula para series geométricas finitas que hemos aprendido y demostrado en vídeos anteriores déjame escribir qué nos dice nos dice que la suma de los primeros n términos igual am y bueno es igual a a donde es el primer término que en este caso es 24 entonces tengo a menos a por r donde r es la razón común que en este caso es un medio elevado a la potencia n una forma de recordar esto es pensar en la diferencia del primer término menos el primer término de la sucesión que aún no incluimos o puedes pensarlo como el primer término después de éste y bueno todo esto entre 1 - la razón común hay otra forma de escribir esto mismo a veces factorizar la app y obtenemos am que multiplica a 1 - r elevado a la n entre 1 - r y estas dos expresiones son equivalentes bueno pero ahora usemos la de hecho vamos a usar esta segunda forma de escribir la fórmula esto será igual a nuestro primer término que es 24 que multiplica a 1 - la razón común que es un medio elevado a la n como nos piden la longitud total después de sus primeras en los citaciones dejar y esto es / 1 - nuestra razón común 1 - un medio y ahora podemos dejarlas y yo podemos simplificar un poco en nuestro denominador tengo 1 menos un medio que es un medio y 24 dividido por un medio es 48 así que esto se simplifica en 48 que multiplica a 1 menos un medio elevado a la n cualquiera de estas dos son respuestas correctas y la segunda pregunta nos dice cuál es la distancia total que se ha metido el mono después de su 25a para oscilación redondea tu respuesta final al metro entero más cercano bien pausa el vídeo e intenta encontrar la respuesta bueno podemos usar esta expresión de aquí para obtener la respuesta sabemos que después de completar 25 oscilaciones n es igual a 25 entonces reemplazar a n con 25 y me quedara 48 que multiplica a 1 o menos un medio elevado a la 25 y bueno un medio elevado a la 25 será un número muy muy pequeño será muy cercano a 0 y por lo tanto todo esto será muy cercano a 48 metros pero veamos con cuidado el resultado y recuerda habrá que redondear lo al metro entero más cercano muy bien vamos a traer nuestra calculadora y primero encontremos el resultado de un medio elevado a la 25 eso es lo mismo que 0.5 elevado a la 25 que como predije es un número muy pequeño después realizaré esta diferencia así que le pondré un signo negativo y la suma de uno observa obtuvimos algo muy cercano a 1 así que sigue vigente mi predicción y si multiplicamos esto por 48 y lo redondeamos al metro entero más cercano regresamos a 48 metros así que lo escribiré el resultado de esta segunda pregunta es 48 metros y hemos terminado