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Contenido principal

Proof of the tangent angle sum and difference identities

Using the sine and cosine of the sum or difference of two angles, we can prove: tan(x+y)=(tan(x)+tan(y))/(1+tan(x)tan(y)). Creado por Sal Khan.

Transcripción del video

En este video voy a suponer que ya sabes   algunas cosas que hemos visto  y demostrado en otros videos: El seno de x más y es igual al  seno de x por coseno de y más   y luego se intercambian los cosenos y  los senos, coseno de x por seno de y, Y luego tenemos que el coseno de  x más y es igual al coseno de x   por coseno de y menos el seno de x por seno de y. Hemos demostrado todo esto en otros videos. Además escribí algunas propiedades del coseno  y del seno que hemos estudiado en otros videos. Coseno de –x es igual a coseno de x  y seno de –x es igual a –seno de x. Y además, por supuesto, la  definición de la tangente:   la tangente de un ángulo es el  seno sobre coseno de ese ángulo. Ahora que hemos repasado todo esto,  queremos llegar a una fórmula para la   tangente de x más y que esté expresada  sólo con tangente de x y tangente de y. De forma análoga a lo que hicimos  aquí para el seno y el coseno. Bueno, de inmediato podemos reconocer que la  tangente de x más y, según la definición de   tangente, va a ser lo mismo que el seno  de x más y sobre el coseno de x más y. ¿Y eso a qué va a ser igual? Bueno, sabemos que el seno de x más y  se puede expresar así. Así que vamos a   escribirlo. Esto es lo mismo que seno de  x coseno de y, más coseno de x seno de y. Todo esto entre…. y para que podamos  ahorrarnos un poco de espacio,   voy a poner esta línea aquí abajo, porque en  un segundo vamos a escribir en esta parte. Así que tenemos toodo esto entre el coseno  de x más y, que es esta expresión en la que   solo usamos cosenos de x y cosenos  de y, y senos de x y senos de y. Así que vamos a escribirlo por aquí. Tenemos  coseno de x coseno de y menos seno de x seno de y. Ahora queremos expresar todo  esto usando tangentes de x y de   y. Y sabemos que la tangente  es el seno sobre el coseno. Así que, ¿qué tal si dividimos tanto  el numerador como el denominador entre   alguna expresión que nos ayude a expresar  el numerador y el denominador con tangentes? Y voy a ir al grano. Así que en el numerador, lo  que puedo hacer es… y ojo,   voy a hacer esto primero en el numerador, y  luego haré lo mismo en el denominador también. Voy a dividir el numerador  entre coseno de x coseno de y. Y por supuesto, no puedo simplemente dividir  el numerador entre coseno de x coseno de y,   ya que cambiaría el valor de  la esta expresión racional.  Tengo que hacer lo mismo  para el denominador también. Sé que esta es una fracción de  aspecto muy complejo por aquí,   pero se va a simplificar en un segundo. Así que también voy a dividir el  denominador entre coseno de x coseno de y. Y ahora veamos si podemos  simplificar la expresión. En el numerador, podemos ver que este  coseno de y se cancela con este coseno   de y. Y así ese primer término se  convierte en seno de x sobre coseno   de x. Y así el numerador va a ser igual al seno  de x sobre el coseno de x que es tangente de x. Y luego para el segundo término de aquí,   podemos ver que el coseno de x  se cancela con este coseno de x. Así que nos queda el seno de y sobre el coseno  de y, que es, por supuesto, la tangente de y. Así que más tangente de y Y a todo esto lo dividimos entre… Y ahora podemos observar el denominador. En el primer término, podemos ver  que el coseno de x se cancela con   el coseno de x y el coseno de y  se cancela con el coseno de y. Así que, en este primer término de aquí, cuando  se divide entre este coseno de x coseno de y,   solo nos queda uno y después tenemos el menos. Y ahora este segundo término es interesante. Tenemos el seno de x sobre el coseno de x,   y el seno de y sobre el coseno de y.  Así que el seno de x sobre el coseno   de x de allí es tangente de x, y luego el seno  de y sobre el coseno de y es la tangente de y. Así que esto va a ser tangente  de x por tangente de y. Y así, hemos llegado a una  expresión para la tangente   de x más y que depende solo de la  tangente de x y la tangente de y. Ahora la siguiente pregunta es: bueno,  esto es genial para la tangente de x más y,   pero ¿qué pasa con la tangente de x menos y? Bueno, aquí sólo tenemos que recordar  un poco lo que hemos visto antes. Déjame escribirlo por aquí.  La tangente de -x es igual   al seno de -x sobre el coseno  de -x y ¿a qué va a ser igual? El seno de -x es lo mismo   que -seno de x, -seno de x, y luego el  coseno de -x es igual que el coseno de x. Bueno, esto es sólo el negativo de la  tangente de x. Así que esto es –tangente de x. Y la razón por la que es útil es porque puedo  reescribir esto como la tangente de x más -y. Así que en todas partes donde tenemos y  por aquí, podemos reemplazarla con -y. Así que esto va a ser igual a la  tangente de x más la tangente de -y,   todo eso sobre 1 menos la tangente  de x por la tangente de -y. Bien, sabemos que la tangente de  -y es lo mismo que –tangente de y. Lo mismo por aquí, y luego menos  por menos convertiría esto en más. Y así, sólo para escribir todo claramente, sabemos  que la tangente de x menos y puede escribirse como   tangente de x menos tangente de y todo eso  sobre 1 más tangente de x por tangente de y.