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Dominio y rango de la función inversa de la tangente

Transcripción del video

nos dicen dado gdx es igual a la tangente de x 3 y sobre 26 encuentra la g inversa de x y quieren que escribamos eso aquí y también quieren que encontremos cuál es el dominio de g inversa de x el dominio de g inversa de x tengo mi pequeño cuaderno de apuntes aquí así que intentemos resolverlo intentamos descifrar lo que es que inversa de x ésta es gx así que que inversa de x déjenme escribo aquí x dado que x es igual a la tangente de x 3 y sobre 26 así que que inversa de x esencialmente puede intercambiar la x con la inversa de x y la gtx por una equis y resolver para que inversa de x puedo escribir eso así x es igual a la tangente inversa sí e inversa de x menos 3 sobre 2 así que resolvamos paraje inversa de x de hecho los invito a que paren el vídeo e intenten obtener el resultado por su cuenta vamos a restar seis de los dos lados para deshacernos de este seis de aquí así que quedaría x - 6 es igual a la tangente inversa de x menos 3 sobre 2 ahora obtengamos la tangente inversa de los dos lados de esta ecuación entonces la tangente inversa del lado izquierdo de la ecuación es la tangente inversa x - 6 y en el lado derecho la tangente inversa de tangente y si bien limitamos el dominio de una manera correcta y hablaremos de eso más adelante será el argumento que tiene la función tangente entonces si limitamos el dominio de manera correcta tangente tangente inversa tangente algo digamos teta será igual a zeta y una vez más si de limitamos el dominio si de limitamos los posibles valores que puede tomar teta en la manera correcta entonces asumamos que estamos haciendo eso entonces la tangente inversa de la tangente simplemente será lo que tenemos aquí adentro va a ser esto va a ser inversa de x menos espn sobre 2 y ahora ya estamos en lo último para obtener g inversa de x simplemente sumamos 3 piña entre 2 a los dos lados entonces obtendremos de hecho déjenme intercambiar los dos lados g inversa x es igual a la tangente inversa de x menos 6 y le estamos sumando tres villa los dos lados así que este lado está ahora de este lado así que es más tres y sobre dos más 3 sobre 2 y ahora dejen de escribir eso para que lo pueda recordar porque lo voy a quitar de mi pantalla así que tan que está inversa de x menos 63 pin sobre 2 dejen de escribir eso entonces se inversa de x será la tangente inversa creo que lo debo describir así la tangente inversa de x menos 6 y si me interpretó correctamente tangente inversa también puede ser arco tangente de x menos 6 más sobre 2 y si lo interpretó correctamente y ahora debemos de pensar cuál es el dominio de ge inversa cuál es el dominio de g inversa de x pensemos en eso un poco más el dominio de g e inversa de x y solamente pensemos en qué es lo que está haciendo la tangente entonces la función tangente si nos imaginamos un círculo unitario si nos imaginamos un círculo unitario este es un círculo unitario podemos imaginarlo como círculo unitario tiramos por el bien de esto que este es un círculo unitario este es el eje x y este es el eje si formas un ángulo theta si forman un ángulo que está aquí la tangente de theta es la pendiente de este rayo terminal del ángulo del rayo terminal del ángulo formado por este rayo y este rayo a lo largo de la positiva del eje x entonces la tangente de teta es la pendiente de aquí es la en 100 de aquí y podemos obtener la tangente de cualquier theta excepto por unos cuantos podemos encontrar la tangente de éste clave este la de este inclusive la pendiente de éste puedes obtener la pendiente aquí pero el punto donde no puedes encontrar la pendiente es cuando la línea se va directamente hacia arriba cuando la línea se va directamente hacia arriba o cuando se va directamente hacia abajo esos son los casos cuando no la puedes encontrar cuando la pendiente se aproxima a infinito positivo o negativo entonces el dominio de la tangente el dominio de la tangente entonces él minute es esencialmente todos los números reales todos los números excepto tú múltiplos de y sobre voy a decir y sobre todos más múltiplos de pib excepto sobre todos más múltiplos de p donde acá puede ser cualquier número entero hasta negativos porque si estás en pie sobre 2 y le sumas pasa directamente a estar acá abajo si agregas otro vas aquí si restas para regresas aquí abajo resta uno más y llegarás de nuevo arriba este es el dominio pero tú puedes dado este dominio tu puedes obtener cualquier número real entonces el rango el rango aquí todos todos los reales porque puedes obtener cualquier pendiente aquí puedes incrementar theta si quieres una pendiente muy alta reducir theta si quieres una pendiente negativa así que puede realmente obtener lo que sea ahora cuando hablas de la tangente inversa cuando hablas de la tangente inversa por convención vas bueno para hacer a la tangente invertible para que no tengas múltiples elementos de tu dominio mapeando al mismo punto del rango porque por ejemplo este ángulo de aquí tiene exactamente la misma pendiente que que este ángulo de aquí y si tú tienes dos te estás mapeando a la misma tangente si no restringe su dominio para que solo tengas una de ellas no se podrá invertir y entonces por convención la convención es que para poder invertir la tangente se tiene que restringir el dominio here el niño en el intervalo d menos sobre 2 sí sobre 2 para poder construir la tangente inversa a la tangente inversa le puedes meter meter cualquier número real por lo que él i de la tangente inversa es dominio esto solamente es por convención porque pudieron escoger pudieron los tres quieren dominio de la tangente de tal manera que hubiera un solo teta en el dominio que mapear a un elemento específico en el rango pero la convención es la tangente inversa puede bueno la convención es restringir el dominio de la tangente entre menos pi sobre dos y sobre dos entonces el dominio de la tangente inversa son todos los reales 22 reales pero su rango está restringido y eso es por convención será d - pie sobre todos y sobre todo sin incluir a las orillas entonces regresemos a nuestra pregunta original que está aquí cuál es el dominio de ge inversa así que veamos el dominio de g inversa e inversa el dominio de esto puedo poner cualquier número real aquí cual cualquier número real y lo que esto va a devolver es algo entre menos pies sobre 2 ipi sobre 2 pero ellos no nos están preguntando el rango de g inversa que de hecho eso hubiera sido una pregunta más interesante nos están preguntando cuál es el dominio de g inversa entonces puedo poner cualquier número real en el lugar de la x entonces pongamos eso aquí el dominio de heim versa de x es infinito negativo a infinito pero realmente y esto es sólo por diversión solamente hay que verificar que tengamos la respuesta correcta y así fue pero sólo por diversión y tengo la curiosidad veamos cuál es el rango de g inversa entonces el rango de esta cosa de aquí va a estar entre menos pi sobre 2 y sobre dos esto es para esta parte de aquí le voy a agregar tres pisos obreros entonces el rango para toda la función el rango para esto de aquí r rango en el lado menor si le agregamos 3 y sobre 2 esto nos va a dar dos pisos obreros lo que va a ser 3000 sobre 2 - y sobre 2 nos da dos pisos sobre 2 lo que es sólo pi y en el otro lado de pi sobre 23 pi sobre 2 será 4 y sobre 2 2 entonces el rango de g inversa es de p2p y es abierto no incluye las fronteras pero en el dominio puedes poner cualquier valor para x y estará definido