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Transcripción del video

en este vídeo continuamos viendo las funciones trigonométricas inversas antes que nada les recuerdo brevemente cómo funciona la cosa si vamos por la calle y alguien nos dice oye tú cuánto es el arco seno el arco seno de x cuanto vale esto pues eso para empezar es exactamente lo mismo así nos preguntan cuánto vale la función inversa el seno se pone este menos uno no es que esté elevando el seno a la potencia menos uno no estoy dividiendo entre el seno sino este menos uno hace referencia a la función inversa del seno del valor x cuánto vale eso pues entonces nosotros lo que hacemos es nos preguntamos bueno lo único que está diciendo esta persona es que tengo un ángulo un ángulo que no sé cuánto vale y el seno de ese ángulo es igual a equis así que lo único que tengo que encontrar es este ángulo siguiendo la misma lógica si me preguntan cuánto es la arco tangente arco tangente de un valor x esto cuánto vale de nuevo esto es exactamente lo mismo que la tangente inversa de un valor equis y entonces lo único que tengo que hacer es decir bueno pues si lo que quiero averiguar es el arco tangente de x lo que tengo que hacer es encontrar un ángulo theta tal que la tangente de teta sea igual a hagamos un ejemplo para aclarar las cosas vamos a decir que nos preguntan bueno oye cuánto vale la arco tangente al arco tangente de menos 1 cuánto es esto que es exactamente lo mismo a que me pregunten cuánto vale la tangente a la menos 1 la tangente inversa de menos 1 estas dos cosas son dos variantes de exactamente la misma pregunta y bien antes de atacar esto quiero que recordemos brevemente cómo funciona la tangente de un ángulo supongamos que tengo la tangente de un ángulo teta pues yo sé de la lista de reproducción de trigonometría o de sus clases que esto es lo mismo tangente de teta que tomar el seno de teta y dividirlo entre el coseno de eta entonces como se ve esto en el círculo unitario me voy a poner aquí cgs por ello es también que x y mi círculo unitario se vería algo así entonces si yo tengo un ángulo theta digamos así estoy aquí vale teta entonces la coordenada de este punto sería x en la coordenada la intersección y yo sé que el seno de teta es igual a la coordenada ye coordenada y el coseno beteta es igual a la coordenada x coordenada x que esto de aquí esto de aquí sería el seno de zeta y esto de acá sería el coseno de tetra el coche no detecta de modo que esto si me fijo en la recta roja es el cambio y esto es el cambio en x el avance y el alza entonces si me fijo en la tangente que sería el seno etc entre el seno de tetas sería lo mismo que el alza entre el avance pero que es eso pues eso es precisamente la pendiente de esta recta la pendiente y eso va a ser igual a la tangente de theta tengamos esto en cuenta para resolver la pregunta que nos plantearon entonces cuánto vale de nuevo la arco tangente de menos 1 pues veamos déjenme hago otro dibujo suponer viaje mi otro eje en nuestro círculo unitario y ahora necesito considerar una recta con pendiente menos 1 esa recta es precisamente la recta igual a menos x y se ve algo así ahora bien cuánto vale este ángulo que es lo que quiero encontrar pues para que esta recta tenga pendiente menos 1 esta distancia aquí esta instancia tiene que ser igual a esta distancia me alza tiene que ser igual a menos mi avance en este caso el alza es negativa porque estoy yendo hacia los negativos pero bueno como este ángulo de aquí es recto y estos dos lados son iguales en magnitud estos dos ángulos también tienen que ser iguales y como todos los ángulos de un triángulo suman 180 grados cada uno de ellos debe valer 45 grados déjenme incluso podría copiar el triángulo acá fuera como dos lados son iguales y tengo un ángulo recto entonces este ángulo vale 45 grados de hecho nosotros ya sabemos cuánto vale cada uno de los lados que a uno de los lados valdría raíz de 2 sobre dos creo que esto lo vimos en el vídeo anterior pero si no les queda de ejercicio sencillo entonces este ángulo sería de 45 grados pero como estoy yendo a favor de las manecillas del reloj y me estoy yendo hacia abajo del eje x puedes llamar este ángulo de menos 45 grados menos 45 grados de modo que tengo que la tangente la tangente de menos 45 grados sería la coordenada del punto de intersección entre la coordenada x que es menos raíz de 2 entre 2 / raíz de 2 entre 2 que es menos 1 o dicho de otro modo el arco tangente de menos 1 es igual a 45 grados o si lo quieren poner en radiales incluso lo único que tienen que hacer es tengo 45 grados y tengo irradian es irradian es por cada 180 grados 180 grados grados cancela grados por así decirlo 45 entre 180 a perdón aquí es menos con el 35 que también debería ser menos 45 menos 45 grados menos 45 grados menos 45 grados entre 180 grados es a un cuarto de modo que todo esto me da - y cuartos los cuartos de radiantes bueno pero quizás también nos pasa lo mismo que nos había pasado antes qué sucede si por ejemplo siguió dando la vuelta okay salgo de aquí llegó este ángulo y continúa le doy otra vuelta entonces debería dar la misma tangente no incluso este punto debería darme la misma tangente pues de hecho es cierto pero así como lo hicimos con el cose lo inverso y con el seno inverso tenemos que restringir nuestro rango tengo que restringir el rango de valores que puede tomar de otro modo terminó con una situación así la arco tangente el arco tangente de menos 1 acabo de ver que es menos pi cuartos de radiant es menos pi cuartos ok pero si le sumo cualquier número de vueltas alrededor del círculo unitario se le sumó un 2 pi cualquier número de veces esto también me daría un valor aceptable para el arco tangente a menos de que restrinja mi rango eso es lo que tenemos que hacer porque de otro modo tendríamos que el mismo valor de x larco tangente de digamos menos 1 se va o vale distintas cosas no podemos tener una función multi valuaba esto podríamos decir que es menos pi cuartos de radiales pero que es lo mismo que 2 p - pi cuartos y eso es lo mismo que 4 p - pi cuartos esto no se puede ok entonces tenemos que restringir nuestro rango lo que voy a hacer es decir el arco tangente solo puede tomar valores dentro de esta parte de la circunferencia y ni siquiera puedo incluir los extremos este punto de medios y este punto en menos y medios porque hay la tangente involucra una división por cero la pendiente de una recta vertical no está definida de modo que me escribo todo eso que hemos discutido si tengo que la tangente de teta es igual a equis entonces x puede valer pues x es la pendiente de alguna recta así que x puede valer esencialmente lo que sea es un número que puede estar entre menos infinito e infinito positivo puede valer esencialmente lo que sea pero si lo que quiero es considerar los zetas tales que el arco tangente de x es igual a theta entonces me voy a restringir a que menos y medios menos y medios es menor estricto que teta que es menor que mi medios eso esencialmente cancela estas posibilidades y me dice que para cada x sólo hay un único ángulo en este rango en donde la tangente el arco tangente está bien definida bueno ya solo chequemos nuestro trabajo con la calculadora así que quiero la tangente inversa de menos 1 y me da este valor de aquí 78 que debería ser lo mismo que menos pi cuartos así que cuánto vale menos pi cuartos y me da exactamente lo mismo así que estamos en lo correcto la arco tangente de menos 1 es menos pi cuartos de radiales o lo que es lo mismo menos 45 grados