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Precálculo
Curso: Precálculo > Unidad 2
Lección 7: Ecuaciones sinusoidales- Resolver ecuaciones sinusoidales de la forma sin(x)=d
- Conjunto de soluciones de ecuaciones algebraicas de coseno
- Conjunto de soluciones de ecuaciones de coseno en un intervalo
- Conjunto de soluciones algebraicas de ecuaciones de seno
- Resolver cos(θ)=1 y cos(θ)=-1
- Resuelve ecuaciones sinusoidales (básico)
- Resuelve ecuaciones sinusoidales
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Conjunto de soluciones de ecuaciones algebraicas de coseno
Resuelve una ecuación de coseno con un número infinito de soluciones. Usa identidades trigonométricas para representar el conjunto solución completo. Creado por Sal Khan.
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Transcripción del video
El objetivo de este video
es determinar el conjunto de soluciones para la siguiente ecuación,
– 6 por el coseno de 8x más 4 es igual a 5. Y como siempre, te invito a que
pongas en pausa este video y lo intentes por ti mismo antes
de que lo resolvamos juntos. Recuerda que queremos determinar todo el
conjunto de soluciones, no solo una solución. Muy bien, ahora trabajemos juntos. Para empezar, es importante despejar el coseno
de 8x, y una buena forma de hacerlo sería, en primer lugar, restar cuatro de ambos lados,
lo que nos daría - 6 por el coseno de 8x, y como he restado 4 a la izquierda nos
quedaremos con 0, este 4 se cancela, y luego si restamos 4 de 5,
obtendremos 1 de este lado. Y ahora puedo multiplicar ambos
lados de esta ecuación por -1/6, así tendremos un 1 como coeficiente del
coseno, por eso multiplicaremos todo por -1/6. Del lado izquierdo solo nos quedará el
coseno de 8x y del lado derecho tendremos -1/6. Si continuamos, podemos tomar el coseno inverso
de –1/6, y dividir el resultado entre 8, así obtendría una solución, pero este es
un buen momento para hacer una segunda pausa y asegurarnos de que estamos
encontrando todas las soluciones. Bien, vamos a refrescar nuestra memoria
repasando algunas identidades. Y para ayudarnos con estas identidades, voy a
dibujar rápidamente un círculo unitario. Este es el eje x, este es el eje y, por lo que haré un rápido dibujo a mano de
un círculo unitario que podría verse así, no es tan bonito, (risas), pero nos ayudará a
pensar en todos los ángulos cuyo coseno es -1/6. Así que –1/6 podría estar por aquí. Y
puedes ver que podría existir un ángulo como este que nos llevaría justo allí,
déjame dibujarlo, dibujaré el radio. Sabemos que el coseno de un ángulo
es la coordenada x del punto donde el radio definido por ese ángulo
interseca al círculo unitario. Pero también vemos que hay otra posibilidad,
si tomamos el negativo de ese ángulo, podríamos llegar justo aquí y
también obtendríamos el mismo coseno. Así que podríamos tomar el negativo de ese
ángulo, e ir en esa dirección. Y ahí es donde obtenemos la identidad que dice que el
coseno de –theta es igual al coseno de theta. Y así, si el coseno de 8x es igual a
menos 1/6, utilizando esta identidad, también sabemos que el coseno del
negativo también será igual a –1/6. Lo escribiré aquí: el coseno de
–8x también va a ser igual a –1/6. Ahora, ya hemos ampliado nuestro conjunto de
soluciones porque esto nos va a dar otro valor x que nos permitirá llegar al resultado
que queremos, pero ¿hemos terminado? Bueno, hay otra cosa que debemos tener en cuenta.
Digamos que tengo algún ángulo aquí, donde, ya sabemos que si tomo el coseno obtengo –1/6,
pero luego si sumamos 2 pi, de nuevo llegamos al mismo lugar, y el coseno es, una vez más, –1/6,
y así sucesivamente, podemos sumar 2 pi de nuevo. Es decir, básicamente podemos sumar 2
pi un número entero arbitrario de veces. Entonces podría reescribir esto aquí
como coseno, en lugar de solo 8x, es 8x más un múltiplo entero de dos
pi, que también va a ser igual a -1/6. Y los mismo ocurre para -8x, podemos decir
coseno de -8x más un múltiplo entero de dos pi, n va a ser algún número entero en ambas
situaciones, será igual también a -1/6. Y ahora podemos sentirnos bastante
seguros de que estamos considerando todas las soluciones cuando
resolvemos la ecuación. Así que ahora, en ambos casos, vamos a tomar el
coseno inverso de -⅙ para calcular x por aquí. Si tomáramos el coseno inverso de ambos
lados, podríamos obtener que 8x más dos pi por algún entero arbitrario n
es igual al coseno inverso de -1/6. Entonces para despejar x, podemos
restar dos pi n de ambos lados. Así obtenemos que 8x es igual al coseno
inverso de -1/6 menos dos pi n. Ahora, es interesante notar que el signo de este
término dos pi n en realidad no importa mucho, porque n podría ser un número entero negativo,
pero vamos a quedarnos con este – dos pi n. Y así, simplemente dividimos ambos lados entre 8, y obtendremos que x es igual a ⅛ por el
coseno inverso de –⅙ menos pi sobre cuatro n. Y ahora podemos hacer exactamente lo mismo
en el otro caso, lo llamaré el caso amarillo, donde si tomo el coseno inverso, obtengo –8x
más dos pi n es igual al coseno inverso de –1/6. Y ahora puedo restar dos pi n de ambos lados, por lo que obtenemos que -8x es igual
al coseno inverso de -⅙ menos dos pi n. Ahora puedo multiplicar ambos lados por
–1/8, o dividir ambos lados ENTRE –ocho, y obtengo que x es igual a –⅛ por el
coseno inverso de –⅙ más pi sobre cuatro n. Y vamos a detenernos aquí por ahora, donde al menos algebraicamente
conocemos el conjunto de soluciones, y este es el conjunto de soluciones completo
si se toma la combinación de ambas expresiones. En un próximo video, usaremos
una calculadora para resolver, y pensaremos en las soluciones que se
ajustan a un intervalo determinado.