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Contenido principal

Cosine equation algebraic solution set

Solve a cosine equation with an infinite number of solutions. Use trig identities to represent the whole solution set. Creado por Sal Khan.

Transcripción del video

El objetivo de este video  es determinar el conjunto   de soluciones para la siguiente ecuación,  – 6 por el coseno de 8x más 4 es igual a 5. Y como siempre, te invito a que  pongas en pausa este video y lo   intentes por ti mismo antes  de que lo resolvamos juntos. Recuerda que queremos determinar todo el  conjunto de soluciones, no solo una solución. Muy bien, ahora trabajemos juntos. Para empezar, es importante despejar el coseno  de 8x, y una buena forma de hacerlo sería,   en primer lugar, restar cuatro de ambos lados,  lo que nos daría - 6 por el coseno de 8x,   y como he restado 4 a la izquierda nos  quedaremos con 0, este 4 se cancela,   y luego si restamos 4 de 5,  obtendremos 1 de este lado. Y ahora puedo multiplicar ambos  lados de esta ecuación por -1/6,   así tendremos un 1 como coeficiente del  coseno, por eso multiplicaremos todo por   -1/6. Del lado izquierdo solo nos quedará el  coseno de 8x y del lado derecho tendremos -1/6. Si continuamos, podemos tomar el coseno inverso  de –1/6, y dividir el resultado entre 8,   así obtendría una solución, pero este es  un buen momento para hacer una segunda   pausa y asegurarnos de que estamos  encontrando todas las soluciones. Bien, vamos a refrescar nuestra memoria  repasando algunas identidades. Y para   ayudarnos con estas identidades, voy a  dibujar rápidamente un círculo unitario. Este es el eje x, este es el eje y,   por lo que haré un rápido dibujo a mano de  un círculo unitario que podría verse así,   no es tan bonito, (risas), pero nos ayudará a  pensar en todos los ángulos cuyo coseno es -1/6. Así que –1/6 podría estar por aquí. Y  puedes ver que podría existir un ángulo   como este que nos llevaría justo allí,  déjame dibujarlo, dibujaré el radio. Sabemos que el coseno de un ángulo  es la coordenada x del punto donde   el radio definido por ese ángulo  interseca al círculo unitario. Pero también vemos que hay otra posibilidad,  si tomamos el negativo de ese ángulo,   podríamos llegar justo aquí y  también obtendríamos el mismo coseno. Así que podríamos tomar el negativo de ese  ángulo, e ir en esa dirección. Y ahí es   donde obtenemos la identidad que dice que el  coseno de –theta es igual al coseno de theta. Y así, si el coseno de 8x es igual a  menos 1/6, utilizando esta identidad,   también sabemos que el coseno del  negativo también será igual a –1/6. Lo escribiré aquí: el coseno de  –8x también va a ser igual a –1/6. Ahora, ya hemos ampliado nuestro conjunto de  soluciones porque esto nos va a dar otro valor   x que nos permitirá llegar al resultado  que queremos, pero ¿hemos terminado? Bueno, hay otra cosa que debemos tener en cuenta.  Digamos que tengo algún ángulo aquí, donde,   ya sabemos que si tomo el coseno obtengo –1/6,  pero luego si sumamos 2 pi, de nuevo llegamos   al mismo lugar, y el coseno es, una vez más, –1/6,  y así sucesivamente, podemos sumar 2 pi de nuevo.  Es decir, básicamente podemos sumar 2  pi un número entero arbitrario de veces. Entonces podría reescribir esto aquí  como coseno, en lugar de solo 8x,   es 8x más un múltiplo entero de dos  pi, que también va a ser igual a -1/6. Y los mismo ocurre para -8x, podemos decir  coseno de -8x más un múltiplo entero de dos pi,   n va a ser algún número entero en ambas  situaciones, será igual también a -1/6. Y ahora podemos sentirnos bastante  seguros de que estamos considerando   todas las soluciones cuando  resolvemos la ecuación. Así que ahora, en ambos casos, vamos a tomar el  coseno inverso de -⅙ para calcular x por aquí. Si tomáramos el coseno inverso de ambos  lados, podríamos obtener que 8x más dos   pi por algún entero arbitrario n  es igual al coseno inverso de -1/6. Entonces para despejar x, podemos  restar dos pi n de ambos lados. Así   obtenemos que 8x es igual al coseno  inverso de -1/6 menos dos pi n. Ahora, es interesante notar que el signo de este  término dos pi n en realidad no importa mucho,   porque n podría ser un número entero negativo,  pero vamos a quedarnos con este – dos pi n. Y así, simplemente dividimos ambos lados entre 8,   y obtendremos que x es igual a ⅛ por el  coseno inverso de –⅙ menos pi sobre cuatro n. Y ahora podemos hacer exactamente lo mismo  en el otro caso, lo llamaré el caso amarillo,   donde si tomo el coseno inverso, obtengo –8x  más dos pi n es igual al coseno inverso de –1/6. Y ahora puedo restar dos pi n de ambos lados,   por lo que obtenemos que -8x es igual  al coseno inverso de -⅙ menos dos pi n. Ahora puedo multiplicar ambos lados por  –1/8, o dividir ambos lados ENTRE –ocho,   y obtengo que x es igual a –⅛ por el  coseno inverso de –⅙ más pi sobre cuatro n. Y vamos a detenernos aquí por ahora,   donde al menos algebraicamente  conocemos el conjunto de soluciones,   y este es el conjunto de soluciones completo  si se toma la combinación de ambas expresiones. En un próximo video, usaremos  una calculadora para resolver,   y pensaremos en las soluciones que se  ajustan a un intervalo determinado.