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Contenido principal

Cosine equation solution set in an interval

Given the algebraic solution set for a cosine equation, find which solutions fall within an interval. Creado por Sal Khan.

Transcripción del video

En un video anterior, establecimos el conjunto  de soluciones para la siguiente ecuación. Y vimos que todas las x que pueden satisfacer esta   ecuación son una combinación  de estas x y estas x de aquí. La razón por la que me refiero a cada uno de   ellos como numerosas x es que  para cualquier valor entero de   n, obtendrás otra solución. Para cualquier  valor entero de n, obtendrás otra solución. Lo que quiero hacer en este video es  mostrarlo de un modo más concreto.   Y la forma en que vamos a hacerlo es  explorando todos los valores de x que   satisfacen esta ecuación que se encuentran en  el intervalo cerrado de -pi sobre dos a cero. Así que, como siempre, te invito a  que pongas en pausa este video y lo   intentes por ti mismo antes  de que lo resolvamos juntos. Muy bien, ahora trabajemos juntos. La primera cosa útil es que tenemos estas   expresiones algebraicas. Tenemos  cosas escritas en términos de pi. Vamos a aproximarlas usando decimales.  Incluso aproximemos –pi sobre dos. Veamos,   si pi es aproximadamente 3.14, la mitad  de eso es aproximadamente 1.57, así que   podríamos decir que esto es aproximadamente  el intervalo cerrado de -1.57 a cero. - 1.57 no es exactamente - pi sobre dos,   pero espero que sea adecuado para lo  que estamos tratando de hacer por aquí. Y ahora veamos si podemos escribir las diferentes   partes de estas expresiones como  decimales o al menos aproximarlas. Así que esto podría reescribirse así:   x es aproximadamente, si calculamos  1/8 por el coseno inverso de -1/6,   te invito a verificar esto por tu cuenta en una  calculadora, se obtiene aproximadamente 0.22. Y luego pi sobre cuatro es aproximadamente  0.785. Así que esta expresión sería   aproximadamente 0.22 menos 0.785 n, donde  n podría ser cualquier número entero. Y luego, aquí a la derecha tenemos que  x podría ser aproximadamente igual a,   bueno si esto equivale a aproximadamente 0.22,   entonces esto es lo mismo pero negativo.  Por lo que va a ser aproximadamente -0.22. Y luego tenemos más la aproximación  de pi sobre cuatro, que es 0.785n. Y ahora podemos probar con diferentes valores  para n y ver si estamos empezando por encima o por   debajo de este intervalo, y luego ver cuáles de  los valores de x realmente caen en este intervalo. Así que, ¿por qué no hacemos  una pequeña tabla por aquí?,   tenemos a n por aquí y  tenemos el valor de x por acá.  Cuando n es cero, bueno, entonces no vemos este  término, y sólo obtenemos aproximadamente 0.22. Ahora vamos a comparar eso con el intervalo. El  límite superior de ese intervalo es cero. Así que   esto no se encuentra en el intervalo.  Entones esto es muy alto y recuerda,   queremos hallar las x que se  encuentran en ese intervalo. Por lo tanto, queremos encontrar valores  inferiores. Pero como estamos restando 0.785n,   usaremos valores enteros positivos de n  para disminuir este valor de 0.22 de aquí. Ahora, cuando n es igual a  uno, restaríamos 0.785 de eso,   y voy a redondear todo esto a la centésima  más cercana, por lo que esto nos llevaría   a -0.57, lo cual se encuentra en el  intervalo. Así que esto se ve bien.  Esta sería una solución en  ese intervalo justo aquí. Ahora, ¿qué pasa cuando n=2? Si restamos  0.785 de nuevo, obtenemos -1.35,   que también se encuentra en el intervalo. Es  mayor que -1.57, así que esto también se ve bien. Después si restamos 0.785 de nuevo, cuando  n es igual a tres, eso nos daría -2.14.  Bueno, esto está fuera del intervalo  porque está por debajo del límite   inferior. Así que este valor es  muy bajo. Al usar esta expresión,   encontramos dos valores de x que se  están en el intervalo que nos importa. Ahora vamos a utilizar estos valores de  x aquí y para eso voy a hacer otra tabla. Así que, tenemos a n y luego tenemos  nuestros valores de x. Empecemos con n   igual a cero porque es fácil de calcular,  este término se va, y tendríamos -0.22,   que, en efecto, está en este intervalo aquí.  Es inferior a cero, y mayor que -1.57,  por lo que cae en este intervalo. Pero ahora para explorar realmente,   tenemos que ir en ambas direcciones.  Tenemos que aumentar o disminuir. Si queremos aumentar, podríamos tener una  situación en la que n es igual a uno. Si n   es igual a uno, vamos a sumar 0.785 a esto. Ahora,  inmediatamente sabemos que esto va a ser un valor   positivo, si lo calculamos, sería 0.57, que es  mayor que cero, por lo que esto es muy alto. Ahora podemos intentar tener valores  más pequeños que -0.22 usando valores   negativos para n. Por lo tanto, si n es igual  a -1, significa que estamos restando 0.785 de   este valor de aquí, lo que nos llevaría a -1.01. Y de lujo, este valor está en nuestro intervalo. Y ahora vamos a restar 0.785 de nuevo. Para  n igual a -2. Si vuelvo a restar 0.785,   podría redondear a -1.79, que es menor que -1.57,   por lo que está fuera de nuestro  intervalo, ya que es muy bajo. Así que los valores de x que están en  nuestro intervalo que satisfacen esta   ecuación son estos dos de aquí.  Y este y este, y hemos terminado.