Contenido principal
Precálculo
Curso: Precálculo > Unidad 2
Lección 7: Ecuaciones sinusoidales- Resolver ecuaciones sinusoidales de la forma sin(x)=d
- Conjunto de soluciones de ecuaciones algebraicas de coseno
- Conjunto de soluciones de ecuaciones de coseno en un intervalo
- Conjunto de soluciones algebraicas de ecuaciones de seno
- Resolver cos(θ)=1 y cos(θ)=-1
- Resuelve ecuaciones sinusoidales (básico)
- Resuelve ecuaciones sinusoidales
© 2023 Khan AcademyTérminos de usoPolítica de privacidadAviso de cookies
Conjunto de soluciones de ecuaciones de coseno en un intervalo
Dado el conjunto de soluciones algebraicas de una ecuación de coseno, encuentra qué soluciones caen dentro de un intervalo. Creado por Sal Khan.
¿Quieres unirte a la conversación?
- hay algo que no entiendo porque necesariamente tiene que ser el intervalo [-pi/2,0(1 voto)
- Justo venía a realizar esa pregunta.(1 voto)
Transcripción del video
En un video anterior, establecimos el conjunto
de soluciones para la siguiente ecuación. Y vimos que todas las x que pueden satisfacer esta ecuación son una combinación
de estas x y estas x de aquí. La razón por la que me refiero a cada uno de ellos como numerosas x es que
para cualquier valor entero de n, obtendrás otra solución. Para cualquier
valor entero de n, obtendrás otra solución. Lo que quiero hacer en este video es
mostrarlo de un modo más concreto. Y la forma en que vamos a hacerlo es
explorando todos los valores de x que satisfacen esta ecuación que se encuentran en
el intervalo cerrado de -pi sobre dos a cero. Así que, como siempre, te invito a
que pongas en pausa este video y lo intentes por ti mismo antes
de que lo resolvamos juntos. Muy bien, ahora trabajemos juntos. La primera cosa útil es que tenemos estas expresiones algebraicas. Tenemos
cosas escritas en términos de pi. Vamos a aproximarlas usando decimales.
Incluso aproximemos –pi sobre dos. Veamos, si pi es aproximadamente 3.14, la mitad
de eso es aproximadamente 1.57, así que podríamos decir que esto es aproximadamente
el intervalo cerrado de -1.57 a cero. - 1.57 no es exactamente - pi sobre dos, pero espero que sea adecuado para lo
que estamos tratando de hacer por aquí. Y ahora veamos si podemos escribir las diferentes partes de estas expresiones como
decimales o al menos aproximarlas. Así que esto podría reescribirse así: x es aproximadamente, si calculamos
1/8 por el coseno inverso de -1/6, te invito a verificar esto por tu cuenta en una
calculadora, se obtiene aproximadamente 0.22. Y luego pi sobre cuatro es aproximadamente
0.785. Así que esta expresión sería aproximadamente 0.22 menos 0.785 n, donde
n podría ser cualquier número entero. Y luego, aquí a la derecha tenemos que
x podría ser aproximadamente igual a, bueno si esto equivale a aproximadamente 0.22, entonces esto es lo mismo pero negativo.
Por lo que va a ser aproximadamente -0.22. Y luego tenemos más la aproximación
de pi sobre cuatro, que es 0.785n. Y ahora podemos probar con diferentes valores
para n y ver si estamos empezando por encima o por debajo de este intervalo, y luego ver cuáles de
los valores de x realmente caen en este intervalo. Así que, ¿por qué no hacemos
una pequeña tabla por aquí?, tenemos a n por aquí y
tenemos el valor de x por acá. Cuando n es cero, bueno, entonces no vemos este
término, y sólo obtenemos aproximadamente 0.22. Ahora vamos a comparar eso con el intervalo. El
límite superior de ese intervalo es cero. Así que esto no se encuentra en el intervalo.
Entones esto es muy alto y recuerda, queremos hallar las x que se
encuentran en ese intervalo. Por lo tanto, queremos encontrar valores
inferiores. Pero como estamos restando 0.785n, usaremos valores enteros positivos de n
para disminuir este valor de 0.22 de aquí. Ahora, cuando n es igual a
uno, restaríamos 0.785 de eso, y voy a redondear todo esto a la centésima
más cercana, por lo que esto nos llevaría a -0.57, lo cual se encuentra en el
intervalo. Así que esto se ve bien. Esta sería una solución en
ese intervalo justo aquí. Ahora, ¿qué pasa cuando n=2? Si restamos
0.785 de nuevo, obtenemos -1.35, que también se encuentra en el intervalo. Es
mayor que -1.57, así que esto también se ve bien. Después si restamos 0.785 de nuevo, cuando
n es igual a tres, eso nos daría -2.14. Bueno, esto está fuera del intervalo
porque está por debajo del límite inferior. Así que este valor es
muy bajo. Al usar esta expresión, encontramos dos valores de x que se
están en el intervalo que nos importa. Ahora vamos a utilizar estos valores de
x aquí y para eso voy a hacer otra tabla. Así que, tenemos a n y luego tenemos
nuestros valores de x. Empecemos con n igual a cero porque es fácil de calcular,
este término se va, y tendríamos -0.22, que, en efecto, está en este intervalo aquí. Es inferior a cero, y mayor que -1.57,
por lo que cae en este intervalo. Pero ahora para explorar realmente, tenemos que ir en ambas direcciones.
Tenemos que aumentar o disminuir. Si queremos aumentar, podríamos tener una
situación en la que n es igual a uno. Si n es igual a uno, vamos a sumar 0.785 a esto. Ahora,
inmediatamente sabemos que esto va a ser un valor positivo, si lo calculamos, sería 0.57, que es
mayor que cero, por lo que esto es muy alto. Ahora podemos intentar tener valores
más pequeños que -0.22 usando valores negativos para n. Por lo tanto, si n es igual
a -1, significa que estamos restando 0.785 de este valor de aquí, lo que nos llevaría a -1.01.
Y de lujo, este valor está en nuestro intervalo. Y ahora vamos a restar 0.785 de nuevo. Para
n igual a -2. Si vuelvo a restar 0.785, podría redondear a -1.79, que es menor que -1.57, por lo que está fuera de nuestro
intervalo, ya que es muy bajo. Así que los valores de x que están en
nuestro intervalo que satisfacen esta ecuación son estos dos de aquí.
Y este y este, y hemos terminado.