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Contenido principal

Sine equation algebraic solution set

Solve a sine equation with an infinite number of solutions. Use trig identities to represent the whole solution set. Creado por Sal Khan.

Transcripción del video

El objetivo de este video es determinar el conjunto de soluciones para la siguiente ecuación. Así que queremos encontrar todos los valores de X que satisfagan esta ecuación, y recuerda, estamos trabajando con radianes. Y como siempre, te invito a pausar este video y ver si puedes resolverlo por tu cuenta antes de que lo trabajemos juntos. Muy bien, trabajemos juntos. Tu intuición sería correcta si lo que quieres es despejar el seno de X sobre cuatro. El primer paso sería restar 11 de ambos lados. Si lo hacemos vamos a obtener que 8 por el seno de X sobre cuatro es igual a tres, simplemente restamos 11 de ambos lados. Ahora para despejar el seno, dividiremos ambos lados entre ocho y así obtenemos que el seno de X sobre cuatro es igual a 3/8. Muy bien, pero antes de seguir avanzando, vamos a pensar si esta es la solución general, es decir, si vamos a encontrar todo el conjunto de soluciones. Y para eso permíteme dibujar un círculo unitario por aquí. Así que ese es mi eje X. Ese es mi eje Y. A continuación, dibujamos un círculo. Y si tenemos un ángulo theta justo aquí, sabemos que el seno de theta es igual a la coordenada Y del punto donde este radio interseca al círculo unitario. Y también sabemos que si sumamos un número arbitrario de 2 pi por aquí o si restamos un número arbitrario de 2 pi, le damos la vuelta completa al círculo unitario y regresamos a donde empezamos, por lo que el seno de theta sería el mismo. Por lo tanto, sabemos que el seno de theta más cualquier múltiplo entero de 2 pi va a ser igual al seno de theta. Así que vamos a generalizarlo un poco. En lugar de seno de x/4 igual a 3/8, podemos escribir que el seno de X sobre cuatro más cualquier múltiplo entero de dos pi va a ser igual a 3/8 donde n es cualquier número entero. Incluso podría ser menos uno o menos dos, y por supuesto podría ser cero, uno, dos, tres, etc. Entonces, si ahora despejamos X, ¿esto nos dará el conjunto de soluciones más general? Bueno, también debemos recordar que si tengo theta por aquí y el valor de su seno por acá, entonces hay otro punto en el círculo unitario donde obtengo el mismo valor para el seno. Y ese punto estaría justo aquí. ¡Observa! La coordenada Y sería la misma. Una forma de pensar en esto es que si empezamos en pi radianes, que sería justo aquí y restamos theta, obtenemos el mismo valor para el seno. Así que este ángulo de aquí, se podría ver como pi menos theta. Y podrías seguir probando para cualquier theta, incluso para algún ángulo ubicado en el segundo cuadrante, en el tercer cuadrante o en el cuarto cuadrante, el valor del seno de pi menos theta va a ser el mismo. Por lo tanto, también sabemos que el seno de pi menos theta es igual al seno de theta. Así que déjame escribir otra expresión por aquí. Es decir no solo el seno de X sobre cuatro es igual a 3/8. También podemos escribir que el seno de pi menos X sobre cuatro, porque X sobre cuatro es la theta de aquí, es igual a 3/8. Y, por supuesto, también podemos usar el otro principio de que podemos sumar 2 pi o restar dos pi de esto, un número arbitrario de veces, y su seno seguirá siendo igual a 3/8. Así que podemos escribirlo de esta forma el seno de pi menos X sobre cuatro más un múltiplo entero de dos pi, que va a ser igual a 3/8. Y si resolvemos ambas expresiones, entonces la combinación o la unión me daría el conjunto de soluciones más amplio. Así que vamos a hacerlo. Por aquí, vamos a tomar el seno inverso de ambos lados. Así obtenemos que X sobre cuatro más dos pi n es igual al seno inverso de 3/8. Ahora podemos restar dos pi n de ambos lados. Así obtenemos que X sobre cuatro es igual al seno inverso de 3/8 menos dos pi n. Y si lo piensas, dado que n puede ser cualquier número entero, este signo negativo que está delante del 2 realmente no importa. Incluso podría ser un signo positivo. Y ahora vamos a multiplicar ambos lados por cuatro. Obtenemos que X es igual a cuatro por el seno inverso de 3/8 – 8 pi n. Y luego si resolvemos esta parte de azul por aquí usando la misma idea, podemos tomar el seno inverso de ambos lados. Así obtenemos que pi menos X sobre cuatro más dos pi n es igual al seno inverso de 3/8. Y entonces veamos, puedo restar pi de ambos lados y restar dos pi n de ambos lados. Obtenemos que –X sobre cuatro es igual al seno inverso de 3/8 menos pi menos dos pi n. Y multiplico ambos lados por –4. Así, obtenemos que X es igual a –4 por el seno inverso de 3/8 más cuatro pi más ocho pi n. Y como mencioné, la unión de ambos nos da todo el conjunto de soluciones a nuestra ecuación original de aquí.