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Coseno, seno y tangente de π/6 y π/3

Con el círculo unitario y el teorema de Pitágoras, podemos encontrar el seno, el coseno y la tangente exactos de los ángulos π/6 y π/3. Creado por Sal Khan.

Transcripción del video

En este video, vamos a  determinar el valor del seno,   el coseno y la tangente de  dos ángulos muy importantes. Ángulos que verás muy a menudo en trigonometría  y en general en tu vida cotidiana. Me refiero a los ángulos, pi sobre  3 radianes y pi sobre 6 radianes.   Y a veces es útil visualizarlos  según su medida en grados. Veamos,   podemos recordar que pi radianes es  180 grados, entonces para obtener pi   sobre 3 radianes podemos dividir entre tres,  y obtenemos como equivalente 60 grados. Y una vez más, si pi radianes es 180 grados,  al dividir entre seis obtenemos 30 grados. Ahora, vamos a utilizar la definición  del círculo unitario de las funciones   trigonométricas. Como ayuda, repasemos  los triángulos 30-60-90, que supongo   que también podríamos llamar los triángulos  pi sobre seis, pi sobre tres, pi sobre dos. Dibujemos entonces un triángulo 30-60-90  porque va a ser muy útil para establecer   estas funciones trigonométricas utilizando  la definición del círculo unitario. Así que vamos a dibujar a mano  uno de esos triángulos por aquí,   por lo que tal vez no sea tan  perfecto como quisiéramos. Bien, este de aquí es un ángulo recto,   y supongamos que este ángulo mide pi sobre  tres radianes que es lo mismo que 60 grados,   y este de aquí mide pi sobre seis  radianes que es lo mismo que 30 grados. Ahora, supongamos también que el lado más largo,  es decir, la hipotenusa tiene una longitud de   1. Muy bien. Como ayuda para cuánto miden los  otros dos lados, lo que voy a hacer es reflejar   este triángulo sobre este lado de aquí, y  esencialmente construir una imagen espejo. Y dado que este nuevo triángulo es una imagen  espejo, inmediatamente podemos saber algunas   cosas. Sabemos que esta longitud de aquí va  a ser congruente con esta longitud de aquí. Terminemos de dibujar el triángulo  completo, se va a ver algo así. Y una vez más, como es una reflexión,  esta longitud de aquí será también de 1,   este ángulo va a ser pi sobre seis radianes,  y este otro va a ser pi sobre tres radianes. Ahora, ¿qué más sabemos sobre este triángulo  más grande? Bueno, sabemos que es un triángulo   equilátero. Todos los ángulos miden pi sobre  tres radianes, pi sobre tres radianes, pi   sobre tres radianes, y si sumas dos veces  pi sobre seis radianes, vas a obtener pi   sobre tres radianes también, así que es un  triángulo de 60 grados, 60 grados, 60 grados. Y por lo tanto, todos los lados  van a tener la misma longitud,   por lo que tendremos uno, uno y… uno. Y si estos dos lados son congruentes en  los triángulos más pequeños, es decir,   en los triángulos rectángulos más  pequeños, entonces este de aquí debe   tener una longitud de 1/2, y este otro  también debe tener una longitud de ½. Y esto va a ser útil para  calcular esta longitud de aquí. Como tenemos dos triángulos rectángulos,  podemos usar cualquiera de ellos,  pero si usamos este triángulo rectángulo  de abajo, el teorema de Pitágoras nos dice   que ½ al cuadrado, llamemos a este  lado B, así que más B al cuadrado,   sólo estoy aplicando el teorema de Pitágoras,  A al cuadrado más B al cuadrado es igual a C   al cuadrado, donde C es la longitud de la  hipotenusa, es igual a uno al cuadrado. Y así obtenemos que 1/4 más  B al cuadrado es igual a uno y si restamos ¼ de ambos lados, tendremos  que B al cuadrado es igual a tres cuartos, y luego tomamos la raíz principal de ambos lados,   y obtenemos que B es igual a la  raíz cuadrada de tres sobre dos. Así que con esto ya hemos determinado  todas las longitudes de este triángulo 30-60-90. Así que B aquí es igual a  la raíz cuadrada de tres sobre dos. Muy bien. Antes dije que esto sería útil a  medida que avanzamos en las definiciones de seno,   coseno y tangente del círculo unitario.  Y estamos a punto de ver por qué. Así que aquí tengo dos círculos unitarios, y  vamos a usar uno para cada uno de estos ángulos. Primero, vamos a pensar en pi sobre tres radianes.  Pi sobre tres radianes se va a ver algo así. Y el coseno y el seno se pueden  determinar por las coordenadas X   y Y de este punto donde el radio se  interseca con el círculo unitario. Las coordenadas aquí van a ser coseno de pi sobre  tres radianes y seno de pi sobre tres radianes. Otra manera de pensar en esto es que  podemos establecer un triángulo 30,   60, 90 por aquí, así que vamos a dibujar  una perpendicular. Este sería un ángulo   de 90 grados o pi sobre dos radianes. Y  luego este ángulo de aquí… este es 60,   este es 90, entonces este va a ser de  30 grados, o pi sobre seis radianes. Es decir, es exactamente igual a uno  de estos triángulos que tenemos aquí. Y así la coordenada X, que va a ser lo  mismo que el coseno de pi sobre tres,   va a ser la longitud de este lado, justo aquí. Y, ¿cuál es esta longitud? Bueno,  cuando tu hipotenusa es uno,   sabemos que el lado más corto, el lado  opuesto a pi sobre seis radianes, es 1/2. De esta forma, ya podemos decir que el coseno  de pi sobre tres radianes es igual a 1/2. Esto de aquí es 1/2, que es la coordenada X donde  este radio se interseca con el círculo unitario. Ahora, ¿qué pasa con la coordenada Y? ¿A qué  será igual el seno de pi sobre tres radianes? Bueno, la coordenada Y es lo mismo  que la longitud de este lado,   y una vez más, podemos regresar a este triángulo. Si esta longitud es uno, y esta ½,  si esta longitud es uno, y esta ½,   entonces este otro lado va a ser igual  a la raíz cuadrada de tres sobre dos. Entonces el seno de pi sobre  tres radianes va a ser igual   a la raíz cuadrada de tres sobre  dos, así que vamos a escribirlo. El seno de pi sobre tres radianes es igual  a la raíz cuadrada de tres sobre dos. Y esta información es bueno saberla… En general, digo que nunca hay que   memorizar las cosas porque siempre es bueno saber  de dónde se obtienen en caso de que las olvides. Pero si tienes que memorizar algo,  te recomiendo memorices esto. Y luego, por supuesto, a partir de  ellas podemos calcular la tangente. La tangente va a ser simplemente el seno sobre  el coseno, así que déjame escribirlo por aquí.   La tangente de pi sobre tres va a ser igual al  seno, que es la raíz cuadrada de tres sobre dos,   sobre el coseno que es 1/2, me quedó  un poco apachurrado aquí abajo,  por lo que esto va a ser igual a la raíz  cuadrada de tres sobre dos, por dos,  lo que es, simplemente, la raíz cuadrada de tres. Así que ahora vamos a utilizar la misma  lógica para pi sobre seis radianes.  Y de hecho, te invito a que pauses este video  y veas si puedes calcularlo por tu cuenta. Muy bien, ahora vamos a dibujar un radio que forma   un ángulo de pi sobre seis radianes con  un eje X positivo… podría verse así. Así que si eso va a ser pi sobre seis radianes, Es interesante dibujar una perpendicular por aquí  y ver qué tipo de triángulo hemos construido. Este lado tiene una longitud uno, esto es pi  sobre seis radianes, esto es un ángulo recto. Así que, de nuevo, tenemos el mismo patrón. Esto será pi sobre tres radianes. Y así, los lados son exactamente los  mismos que en este triángulo azul   superior aquí. Entonces sabemos que esta  longitud de aquí va a ser 1/2. Y también   sabemos que esta longitud de aquí va a  ser la raíz cuadrada de tres sobre dos. Y eso es útil porque así obtenemos  las coordenadas por aquí. La coordenada X de este punto donde  el radio se interseca con el círculo   unitario es raíz cuadrada de tres sobre  dos, y luego la coordenada Y es ½. Y esto nos dice inmediatamente el valor del coseno  y el seno de pi sobre seis, vamos a escribirlos. Así que esto nos dice que  el coseno de pi sobre seis   es igual a la raíz cuadrada de tres sobre dos. Y el seno de pi sobre seis es igual a 1/2. Observa que en realidad solo intercambiamos  estos dos valores porque ahora el ángulo del   que estamos tomando el seno o coseno es  un ángulo diferente en un triángulo 30,   60, 90, pero seguimos utilizando  la misma medida de esos lados. Y entonces, ¿cuál será el valor de la tangente? La escribiré por aquí. La tangente de pi  sobre seis va a ser el seno sobre el coseno,   sobre la raíz cuadrada de tres sobre dos. Así que esto va a ser igual a ½ por   dos sobre la raíz cuadrada de tres, que es  igual a uno sobre la raíz cuadrada de tres. Ahora bien, a algunas personas no les gustan  los radicales en el denominador, así que puedes   multiplicar el numerador y el denominador por  la raíz cuadrada de tres y obtener lo siguiente:   si multiplicas el numerador y el denominador  por la raíz cuadrada de tres obtienes la   raíz cuadrada de tres sobre tres, que es otra  forma de escribir tangente de pi sobre seis. Pero de cualquier forma, hemos terminado,   es muy útil conocer el coseno, el  seno y la tangente de pi sobre tres   radianes y de pi sobre seis radianes. Y  también es útil saber cómo calcularlos.