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Contenido principal
Tiempo actual: 0:00Duración total:7:58

Identidades de senos y cosenos: simetría

CCSS.Math:
HSF.TF.A.4

Transcripción del video

exploremos un poco más el círculo unitario empecemos considerando un ángulo teta y supongamos para fines de este vídeo que todos los ángulos se miden en radiales este ángulo que tenemos aquí llamémoslo teta y ahora reflejamos este que podemos llamar el radio terminal del ángulo vamos a reflejarlo a través del eje xy del eje y pongamos las etiquetas a los ejes empecemos con el reflejo a través de la parte positiva del eje x para esto bajamos una recta perpendicular al eje x y encontramos el punto de intersección con el círculo unitario a la misma distancia obtenemos así este rayo que estoy dibujando en azul obtenemos este rayo que tenemos aquí ahora cuál es el ángulo que se forma entre el rayo y la parte positiva del eje x empezando por la parte positiva del eje x bien usando la convención de que al girar a partir de la parte positiva el eje x en sentido contrario a las manecillas del reloj se forma un ángulo positivo aquí el ángulo es en sentido de las manecillas del reloj en vez de ir hacia arriba va hacia abajo así es que por la convención ángulo de menos z ahora vamos a reflejar este rayo original que tenemos en verde a través de la parte positiva del eje y así es que a partir de este punto cruzamos la parte positiva del eje y de manera perpendicular encontramos este punto de intersección y a partir de ahí vamos a construir este rayo aquí está lo mejor que pude hacer este rayo y cuál será la medida de este ángulo que tenemos aquí cuál será la medida de ese ángulo en radiales sabemos que si vamos de la parte positiva del eje x a la parte negativa del eje x el ángulo mide y radiales pues estamos recorriendo media circunferencia ahora como este ángulo de aquí sabemos que es igual al ángulo original theta el ángulo que queremos mide entonces piqué es la media vuelta menos eta y menos teta y aquí podemos checar que pi menos teta más te está estos dos son ángulos suplementarios y su suma nos da y menos teta teta es igual a piedad yanes o 180 grados vamos a reflejar este rayo a través de la parte negativa del eje x encontramos entonces el reflejo que sería este rayo que tenemos aquí este sería el reflejo y cuánto mide entonces este ángulo todo este ángulo cuánto mide bueno sabemos que la media vuelta al círculo mide i y este pedazo de aquí me de teta así es que el ángulo completo mide y más z este ángulo este ángulo de aquí que estoy marcando mide y más teta déjame escribirlo aquí abajo este ángulo mide y más teta radiales ahora que ya hemos considerado estas diversas simetrías del ángulo theta veamos cómo se relacionan senos y cosenos ya sabemos que las coordenadas de este punto son seno de teta perdón la coordenada en x es coseno de teta y la coordenada en yes seno de teta otra manera de ver esto es que este valor en el eje x es coseno beteta mientras que este valor en el eje y el seno de teta ahora consideremos este punto aquí abajo por la misma razón y estas son las definiciones de las funciones trigonométricas en el círculo unitario en este punto dado que el ángulo es menos theta las coordenadas son coseno de - teta seno de menos teta seno de menos teta y aquí aplicamos lo mismo la coordenada de este punto es coseno del ángulo y el ángulo aquí es pi - teta es todo este ángulo que tenemos aquí coseno de pi menos teta seno depp y menos theta seno de eta ahora vayamos a este punto a este punto de acá y creo que ya te estás dando cuenta a dónde queremos llegar las coordenadas son coseno de ti más te está o te está más pi es lo mismo coseno de pima z seno de ti más te está y cómo se relacionan estas coordenadas entre sí observa que aquí del lado derecho la coordenada en x es la misma es este valor que tenemos aquí por lo cual entonces coseno de teta es igual a coseno de - zeta vamos a escribir aquí este resultado coseno de teta es igual es igual a oa poner con este azul es igual a coseno de menos teta y este resultado es realmente interesante qué pasa con el seno vemos que aquí se no detecta corresponde a este valor en y qué pasa con 0 - teta corresponde al mismo valor de ye pero con el signo contrario los valores son iguales pero de signo opuesto el resultado que obtenemos por esto es que el seno de menos teta es igual - el seno de teta menos el seno de teta si te mueves hacia arriba o hacia abajo del eje x vas a obtener el valor contrario para el seno veamos ahora estos dos puntos cómo se relaciona bien podemos ver que el pse no es igual el seno de pi menos teta es igual al seno de teta escribamos lo por aquí el seno de teta es igual a el seno de vie - teta y qué pasa con los cosenos vemos que los cosenos son opuestos los valores que tienen las coordenadas en x son iguales pero se encuentran en direcciones opuestas con respecto al origen por lo que ccoo seno de teta es igual a menos coseno de aquí ya mezcle colores no déjame ponerlo mejor con el color adecuado coseno de teta es igual a menos coseno depp y menos teta finalmente veamos cómo se relaciona esté aquí el coseno la coordenada en x es negativa y el seno también es negativo hemos reflejado ambas coordenadas a través del origen escribamos eso acá el xenón seno de eta más pique lo mismo que el seno de eta esto es igual - seno de teta este s 9 teta este es menos seno de eta que es el seno desde está más pío pimas teta y el co seno de eta más pi es igual el coche no detecta más p es igual a menos el coche no de teta menos el coche no de teta y así podríamos continuar relacionando este con este oeste con este de acá y seguir obteniendo resultados así de interesantes te invito a que te tomes un tiempo y lo pruebes por tu cuenta y veas como todos estos se pueden relacionar basados en la simetría y las reflexiones que se dan a través de los ejes x sigue