Usar identidades trigonométricas de suma de ángulos: manipular expresiones

estamos aquí aplicando fórmulas de suma de ángulos entonces bueno aquí se nos dice que teta está entre 0 y pi y se nos pide escribir una fórmula para seno de teta en términos de coste no de dos tetas entonces bueno te invito a que a que lo intentes a que pongas pausa el vídeo y bueno suponiendo que ya lo hiciste vamos a continuar con este ejercicio yo aquí tengo una copia del ejercicio ya lista entonces bueno vamos a trabajar sobre esto ok coseno de dos tetas yo sé algo sobre la fórmula de para la suma de ángulos de hecho yo sé que el coste no de la suma de dos ángulos es igual a esta fórmula el coste no de alfa más beta el coste no de alfa más beta esto está formulada bueno esto es igual al coseno del primer ángulo coseno de alfa por el coseno de beta coseno de beta - el seno del primer ángulo - seno de alfa por el seno del segundo ángulo por el seno de beta entonces el coseno de alfa más beta es igual al coseno de alfa por coseno de beta - seno de alfa por el seno de beta ahora se nos pide que escribamos el seno de teta en términos de coste no de dos zetas y quienes coseno de dos t está bueno veamos la fórmula que escribir en coseno de alfa más beta para que nos sirve porque nos puede ayudar esto o keiko seno de dos tetas es simplemente el coseno de dos veces teta o sea que está más zeta ajá entonces bueno el coste no de teta más que está usando la fórmula que conocemos para sumar dos ángulos esto esto es igual al coste no del primer ángulo por el coseno del segundo ángulo menos el seno del primer ángulo por el seno del segundo ángulo entonces coste no de teta por josé no de teta - seno de teta menos lo escribo con los mismos colores por eso tardó bastante pero ok ahorita sale esto entonces seno de teta hay me equivoqué ahí si se nota que ese no verdad entonces seno de teta por el seno de teta ham por seno de teta ahí está ok perfecto vamos a seguir simplificando esto entonces ok esto es igual coseno de teta por ccoo seno de teta es simplemente coseno cuadrado de teta después restamos tenemos menos seno de teta por seno de teta es esto es igual a seno cuadrado de teta seno cuadrado de teta entonces ya escribimos a coseno de dos teta en términos de coseno cuadrado de teta y seno cuadrado de teta pero queremos escribirlo en términos de seno de teta entonces si podemos expresar a coseno cuadrado de teta en términos de seno sabemos por la identidad pitagórica que coseno cuadrado de teta más seno cuadrado de teta esto es igual a 1 ajá esto es igual a 1 o podemos decir que coseno cuadrado de teta simplemente el resto de ambos lados de la ecuación seno cuadrado del teeti me queda uno menos seno cuadrado de teta entonces coseno cuadrado de teta es igual a uno menos seno cuadrado de teta lo voy a sustituir aquí tengo que que coseno de dos teta es igual a uno escribo uno menos seno cuadrado de teta 1 - seno cuadrado de teta - lo que tengo en amarillo seno cuadrado de teta entonces menos seno cuadrado de teta ahora observa que aquí tenemos este término dos veces entonces tenemos que coseno de dos teta esto es igual a 1 pongo 1 menos dos veces seno cuadrado de teta dos veces seno cuadrado de teta entonces ya con esto voy a multiplicar ambos lados por un menos uno para cambiar el orden tengo que menos coste no de dos teta es igual a dos senos cuadrado de teta - 1 - 1 y ahora lo que voy a hacer es sumar a ambos lados de la ecuación un 1 entonces lo que obtengo acá lo voy a hacer lo que obtengo es 1 - coseno de dos tetas coste no de dos tetas eso es igual a dos seno cuadrado de teta dos seno cuadrado de teta ahora voy a dividir ambos lados de la ecuación entre 2 entonces debido a este lado entre dos y debido a este lado entre dos de esa manera me deshago yo de este 2 con este eso se cancela y tengo que seno cuadrado de teta es igual a 1 menos coste no de 2 detrás sobre 2 o lo que es lo mismo seno de teta es igual a más menos la raíz cuadrada de uno de uno menos coseno de dos tetas coseno de dos tetas esto sobre 2 y ahora la pregunta es cuál voy a considerar la positiva o la negativa veamos aquí tenemos información que está está entre 0 y p entonces lo que haré es dibujar un círculo unitario o bueno entonces dibujo el círculo unitario ok aquí está 0 radiales y acá está pin radiales ajá entonces te da está entre entre el primero y el segundo cuadrante porque aquí está theta entre 0 y pi entonces bueno por ejemplo el ángulo theta podría ser este ángulo oeste pero no puede ser éste éste no puede ser entonces lo borro ahora sabemos que el seno el seno de un ángulo esta es la es la coordenada y entonces ok aquí ese aquí estaría por ejemplo el el ángulo y sabemos que está en el primero el segundo cuadrante no puede estar en el tercero y en el cuarto cuadrante así que la raíz será positiva entonces lo escribo acá abajo en déjame voy un poco hacia abajo ahí ok entonces seno de teta seno de teta será igual a la raíz principal será igual a la raíz positiva de 11 menos coseno de dos tetas todo esto bueno sobre 2 sobre 2 ahora vamos a ver si obtuvimos bien la respuesta entonces aquí voy a escribir raíz cuadrada abro paréntesis y adentro voy a poner 1 - menos coseno de 2 de tal y esto esto sobre 2 veamos si tenemos que la respuesta carita feliz perfecto entonces estamos en lo correcto nos vemos