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Tiempo actual: 0:00Duración total:8:35

Encontrar valores trigonométricos al usar identidades de suma de ángulos

CCSS.Math:
HSF.TF.C.9

Transcripción del video

lo que voy a intentar hacer en este vídeo es calcular el valor de seno de 7 piso b 12 sin usar calculadora para empezar visualicemos 7 piso sobre 12 en el círculo unitario el rayo inicial se ubica sobre la parte positiva del eje x xi aquí tenemos que esto es y medios que equivale a 6 y sobre 12 así es que tomamos un doceavo de pi más para obtener el ángulo de 7 pido sea voz este es el ángulo que nos piden este es el ángulo de 7 pi doceavos radiales y el seno de este ángulo por la definición del círculo unitario corresponde a la coordenada en donde este radio de longitud 1 es el círculo unitario intersecta precisamente con el círculo de tal manera que el seno de este ángulo es exactamente la longitud de este de este segmento de este segmento que estoy dibujando aquí en magenta y te invito a que pongas pausa el vídeo e intentes usar todas tus capacidades de trigonometría para calcular el seno de 7 pidos ya vos básicamente la longitud de este segmento en magenta supongo que ya lo intentaste y si pensaste lo mismo que yo pensaste en este pequeño ángulo que voy a dibujar aquí déjame dibujarlo claramente este sería el lado magenta que nos interesa este día el lado magenta aquí tendríamos la hipotenusa esté la hipotenusa que sabemos que vale 1 este sería el ángulo recto y aquí tendríamos este ángulo lo conocemos este ángulo ya sabemos que todo este ángulo es 6 pido si a vos por lo cual este es p sobre 12 y sobre 12 no pi sobre 16 así es que podemos usar nuestras funciones trigonométricas para encontrar este cateto adyacente a pi sobre 12 recordamos que la función coseno nos puede servir el coseno de un ángulo es el cateto adyacente sobre la hipotenusa de tal manera que aquí el coseno depp y sobre 12 es este lado en magenta sobre uno o equivalente mente este lado en magenta mide coseno de pi sobre 12 hemos encontrado que el seno de 7 piso b 12 es lo mismo que el coseno de pi sobre 12 pero eso no me ayuda como voy a encontrar el coche no x sobre 12 sin una calculadora así es que en vez de pensarlo de esta manera veamos si podemos descomponer este ángulo en un par de ángulos de los cuales conozcamos senos y cosenos y cuáles son esos los ángulos especiales de los triángulos rectángulos por ejemplo estamos familiarizados con el triángulo 30 60 90 el triángulo 30 60 90 que es más o menos así y esto es lo mejor que me sale a mano aquí lo tenemos lo necesitamos en radiales este ángulo en vez de 30 grados lo ponemos como y sextos radiales este ángulo de aquí es de pi tercios radiales y este por supuesto es el ángulo recto la hipotenusa mide 1 el cateto opuesto y sextos que es el cateto más pequeño mide la mitad de la hipotenusa esto es me de un medio mientras que el cateto mayor que es el opuesto pi tercios mide raíz de tres veces el cateto menor es decir mide raíz de tres sobre dos ya hemos usado estos triángulos anteriormente para calcular sen y cosenos de treinta y sesenta grados ahora los vamos a usar para calcular sean y coseno de pi tercios y pi sextos radiales también conocemos el triángulo 45 45 90 es un triángulo rectángulo isósceles es un triángulo rectángulo isósceles no esté este no me parece isósceles déjame déjame extender un poco más aquí la hipotenusa para que si sea isósceles ahí está más o menos ahí está un triángulo rectángulo y sociales cuya hipotenusa mide 1 y el valor de los catetos es raíz de 2 sobre 2 el valor de la hipotenusa que en este caso es raíz de dos sobre 2 en vez de denominar los ángulos con 45 grados sabemos que esto equivale a pi sobre 4 y sobre 4 radiales así es que si tenemos ángulos de y sextos pi tercios o pi cuartos puede usar estos triángulos ya sea usando la definición clásica de soca tohá o usando el círculo unitario para establecer cuál es el seno el coseno e inclusive la tangente de estos ángulos pero entonces cómo puede descomponer 7 pi 2 ya bosch como una combinación de pi sextos pi tercios o pi cuartos para ver esto vamos a escribir y sextos pi tercios y pi cuartos usando 12 como denominador tenemos que y sextos es igual a 2 y 12 a 2 mientras que peter cios es igual a 4 p 12 a 2 y finalmente pi cuartos y cuartos es igual a 32 ya vos ahora veamos dos más cuatro no es 72 397 pero 43 77 así es que puede usar este y este 4 pisos ya vos +3 pido si a vos es igual a 7 pido si a vos esto lo puede escribir como esto es igual a seno de 3 pido si a vos + 4 y 12 años lo cual es igual a seno de ti cuartos lo voy a poner con otro color y cuartos más seno de cuatro pisos ya bosque es pi tercios y tercios y ahora podemos usar la fórmula para el seno de una suma de ángulos la cual nos permite expresar esto como la suma de productos de senos y cosenos de estos ángulos hagamos entonces eso esto es igual a esto es igual a el seno el seno de cuartos que multiplica al coseno de peters josh que multiplica al coseno de peter cios más ahora intercambiamos coseno de pi cuartos que multiplica a el seno de pi tercios ahora nada más tenemos que calcular estos valores y aquí ya tenemos los triángulos para hacerlo así es que el seno de pi cuartos el seno de pi cuartos aquí lo podemos calcular es el cateto opuesto entre la hipotenusa el cateto opuesto aquí lo tenemos mide raíz de 2 sobre 2 la hipotenusa vale 1 así es que el seno de pi cuartos es raíz de 2 sobre 2 kos en oep y tercio este es el ángulo epi tercios y cose no es cateto adyacente sobre hipotenusa con lo cual cosen epi tercios es un medio sobre 1 esto vale un medio vámonos al otro término coseno pi cuartos regresamos a este triángulo es cateto adyacente sobre hipotenusa que raíz de 2 sobre 2 sobre 1 así es que esto es raíz de 2 sobre 2 que multiplica al seno de pi tercios que es cateto opuesto raíz de 3 sobre 2 sobre hipotenusa que vale 1 con lo cual se nos peter si os vale raíz d sobre 2 ahora lo único que tenemos que hacer es simplificar esto veamos esto es igual a raíz de 2 sobre dos por un medio esto lo podemos escribir como raíz de dos sobre dos por dos es cuatro por más perdón más raíz de dos sobre dos por raíz de tres sobre dos esto lo podemos escribir como raíz de seis sobre cuatro vamos a hacer esta suma y aquí nos merecemos definitivamente una fanfarria para hacer la suma tenemos el mismo denominador así es que simplemente sumamos los numeradores esto es igual entonces a raíz de dos más raíz de seis todo eso todo eso dividido entre cuatro ese es el valor de seno de siete pisos sobre 12 que también corresponde al valor de coseno de pi sobre 12 este es el valor pedido