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Precálculo
Curso: Precálculo > Unidad 2
Lección 10: Usar identidades trigonométricas- Encontrar valores trigonométricos al usar identidades de suma de ángulos
- Usar la identidad de suma de ángulos de la tangente
- Encuentra valores trigonométricos al usar identidades de suma de ángulos
- Usar identidades trigonométricas de suma de ángulos: encontrar longitudes laterales
- Usar identidades trigonométricas de suma de ángulos: manipular expresiones
- Usar identidades trigonométricas
- Referencia de identidades trigonométricas
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Usar la identidad de suma de ángulos de la tangente
Encuentra la tangente de 13pi/12 sin una calculadora usando la identidad de suma de ángulos de la tangente. Creado por Sal Khan.
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Transcripción del video
En este video, intentaremos hallar la tangente
de 13 pi sobre 12 sin usar una calculadora. Pero te daré algunas pistas. En primer lugar,
puedes reescribir la tangente de 13 pi sobre 12 como la tangente de… y en lugar de 13 pi sobre
12, podemos expresar este ángulo como dos ángulos para hallar las tangentes basándonos solo en
las cosas que sabemos sobre el círculo unitario. 13 pi sobre 12 es lo mismo que 15
pi sobre 12 menos dos pi sobre 12, que es lo mismo que la tangente de cinco
pi sobre cuatro menos pi sobre seis, o incluso podríamos verlo como más –pi sobre seis. Así que esta es mi pista. De lujo, es momento para ponerle pausa a este
video y comprobar si puedes seguir con esta línea de razonamiento para calcular la tangente
de 13 pi sobre 12 sin usar una calculadora. Muy bien, ahora sigamos juntos. Bien, ya
sabemos cuál es la tangente de la suma de dos ángulos. Lo hemos demostrado en otro video.
Sabemos que va a ser igual a la tangente del primero de estos ángulos, cinco pi sobre
cuatro, más la tangente del segundo ángulo, tangente de –pi sobre seis, todo eso sobre
uno menos la tangente del primer ángulo, cinco pi sobre cuatro, por la tangente
del segundo ángulo, –pi sobre seis. Y ahora podemos dividir nuestros círculos
unitarios para calcular todo esto. Así que preparé algunos
círculos unitarios por aquí. Primero vamos a pensar en cómo
se ve cinco pi sobre cuatro. Pi sobre cuatro, puede que ya
lo asocies con 45 grados. Eso es pi sobre cuatro justo ahí. Dos pi
sobre cuatro te llevaría hasta acá. Tres pi sobre cuatro te llevaría por acá.
Cuatro pi sobre cuatro, que es lo mismo que pi, nos lleva justo aquí. Y entonces, cinco
pi sobre cuatro nos llevaría hasta acá. Ahora, es posible que ya reconozcas la tangente
de un ángulo como la pendiente del radio, y por lo tanto ya podrías intuir el valor que
tendrá la tangente por aquí, que va a ser uno, pero también podemos usar lo que
sabemos de los triángulos del círculo unitario para calcular
esto si no te diste cuenta ya. Así que lo que tenemos que hacer es encontrar
las coordenadas de este punto de aquí, y para ayudarnos a hacerlo, podemos
trazar un triángulo rectángulo, que puede que reconozcas inmediatamente:
es un triángulo de 45-45-90. ¿Cómo lo sé? Bueno, recuerda que para obtener cinco pi
sobre cuatro agregamos una vez más pi sobre cuatro a cuatro pi sobre cuatro, es decir,
tenemos un pi sobre cuatro más que bajar por aquí. Así que este ángulo de aquí es pi
sobre cuatro o podrías verlo como 45 grados. Y por supuesto, si este es de 45
grados y este es de 90 grados, entonces este tiene que ser de 45 grados
porque todos los ángulos suman 180 grados. Y conocemos este tipo de triángulos por el teorema
de Pitágoras. Si nuestra hipotenusa es uno, cada uno de los otros dos lados es la raíz
cuadrada de dos sobre dos veces la hipotenusa. Así que este lado es la raíz cuadrada de dos sobre dos y luego este otro también es
raíz cuadrada de dos sobre dos. Ahora, si pensamos en las coordenadas, nuestra coordenada X es la raíz cuadrada
de dos sobre dos en dirección negativa. Así que nuestra coordenada X es
menos la raíz cuadrada de dos sobre dos y nuestra coordenada Y es la raíz
cuadrada de dos sobre dos hacia abajo, así que también es menos la
raíz cuadrada de dos sobre dos. Y la tangente es sólo la coordenada Y sobre
la coordenada X. Así que la tangente va a ser menos la raíz cuadrada de dos sobre dos
sobre menos la raíz cuadrada de dos sobre dos, que es, una vez más, uno:
¡exactamente lo que intuimos! Así que podemos escribir que la tangente
de cinco pi sobre cuatro es igual a uno. ¿Y qué pasa con menos pi sobre seis? Bueno, podrías reconocer que pi sobre
seis es un ángulo de 30 grados. Pi es 180 grados, así que si lo
divido entre seis es 30 grados, y menos pi sobre seis sería ir 30
grados por debajo del eje x positivo. Así que se vería justo así. Y como dijimos, este ángulo de aquí
es pi sobre seis, que también se puede ver como un ángulo de 30 grados. Si
trazáramos una perpendicular justo aquí, podrías reconocer inmediatamente
esto como un triángulo de 30-60-90. Sabemos que, si la hipotenusa tiene una longitud
de uno, el lado opuesto al lado de 30 grados es 1/2 de la hipotenusa, y entonces el lado más
largo que no es la hipotenusa va a ser la raíz cuadrada de tres por el lado más corto, así
que será la raíz cuadrada de tres sobre dos. Y así nuestra coordenada está por aquí
, nos movemos a la raíz cuadrada de tres sobre dos en la dirección X positiva,
la raíz cuadrada de tres sobre dos, y luego vamos a bajar 1/2 en la dirección
Y, así que escribiremos – 1/2 justo allí. Y ahora sabemos que la tangente de –pi sobre
seis va a ser igual a –1/2 sobre la raíz cuadrada de tres sobre dos, que es lo mismo que –1/2
por, déjame escribirlo así, –½ por dos sobre la raíz cuadrada de tres, que es igual a
menos uno sobre la raíz cuadrada de tres. Así que veamos, esto de aquí es uno. Lo escribimos por allí. Esto de aquí es uno.
Y luego esto de aquí es menos uno sobre la raíz cuadrada de tres. Y entonces esto es
menos uno sobre la raíz cuadrada de tres. Y así puedo reescribir toda esta expresión como
uno menos uno sobre la raíz cuadrada de tres, todo eso sobre uno, y tenemos un
negativo por aquí y otro por acá, así que menos por menos es más, entonces nos
queda uno más uno sobre la raíz cuadrada de tres. Y si multiplicamos tanto el numerador como
el denominador por la raíz cuadrada de tres, lo que vamos a obtener en el numerador
es la raíz cuadrada de tres menos uno y nuestro denominador va a ser la
raíz cuadrada de tres más uno. Y hemos terminado. Hemos hallado la tangente
de 13 pi sobre 12 sin usar la calculadora.