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Using the tangent angle addition identity

Find the tangent of 13pi/12 without a calculator using the tangent angle addition identity. Creado por Sal Khan.

Transcripción del video

En este video, intentaremos hallar la tangente  de 13 pi sobre 12 sin usar una calculadora. Pero te daré algunas pistas. En primer lugar,  puedes reescribir la tangente de 13 pi sobre   12 como la tangente de… y en lugar de 13 pi sobre  12, podemos expresar este ángulo como dos ángulos   para hallar las tangentes basándonos solo en  las cosas que sabemos sobre el círculo unitario. 13 pi sobre 12 es lo mismo que 15  pi sobre 12 menos dos pi sobre 12, que es lo mismo que la tangente de cinco  pi sobre cuatro menos pi sobre seis,   o incluso podríamos verlo como más –pi sobre seis. Así que esta es mi pista. De lujo, es momento para ponerle pausa a este  video y comprobar si puedes seguir con esta   línea de razonamiento para calcular la tangente  de 13 pi sobre 12 sin usar una calculadora. Muy bien, ahora sigamos juntos. Bien, ya  sabemos cuál es la tangente de la suma de   dos ángulos. Lo hemos demostrado en otro video.  Sabemos que va a ser igual a la tangente del   primero de estos ángulos, cinco pi sobre  cuatro, más la tangente del segundo ángulo,   tangente de –pi sobre seis, todo eso sobre  uno menos la tangente del primer ángulo,   cinco pi sobre cuatro, por la tangente  del segundo ángulo, –pi sobre seis. Y ahora podemos dividir nuestros círculos  unitarios para calcular todo esto. Así que preparé algunos  círculos unitarios por aquí. Primero vamos a pensar en cómo  se ve cinco pi sobre cuatro. Pi sobre cuatro, puede que ya  lo asocies con 45 grados. Eso   es pi sobre cuatro justo ahí. Dos pi  sobre cuatro te llevaría hasta acá. Tres pi sobre cuatro te llevaría por acá.  Cuatro pi sobre cuatro, que es lo mismo que pi,   nos lleva justo aquí. Y entonces, cinco  pi sobre cuatro nos llevaría hasta acá. Ahora, es posible que ya reconozcas la tangente  de un ángulo como la pendiente del radio,   y por lo tanto ya podrías intuir el valor que  tendrá la tangente por aquí, que va a ser uno,   pero también podemos usar lo que  sabemos de los triángulos del   círculo unitario para calcular  esto si no te diste cuenta ya. Así que lo que tenemos que hacer es encontrar  las coordenadas de este punto de aquí,   y para ayudarnos a hacerlo, podemos  trazar un triángulo rectángulo,   que puede que reconozcas inmediatamente:  es un triángulo de 45-45-90. ¿Cómo lo sé? Bueno, recuerda que para obtener cinco pi  sobre cuatro agregamos una vez más pi sobre   cuatro a cuatro pi sobre cuatro, es decir,  tenemos un pi sobre cuatro más que bajar   por aquí. Así que este ángulo de aquí es pi  sobre cuatro o podrías verlo como 45 grados. Y por supuesto, si este es de 45  grados y este es de 90 grados,   entonces este tiene que ser de 45 grados  porque todos los ángulos suman 180 grados. Y conocemos este tipo de triángulos por el teorema  de Pitágoras. Si nuestra hipotenusa es uno,   cada uno de los otros dos lados es la raíz  cuadrada de dos sobre dos veces la hipotenusa. Así que este lado es la raíz cuadrada de dos sobre   dos y luego este otro también es  raíz cuadrada de dos sobre dos. Ahora, si pensamos en las coordenadas,   nuestra coordenada X es la raíz cuadrada  de dos sobre dos en dirección negativa. Así que nuestra coordenada X es  menos la raíz cuadrada de dos sobre   dos y nuestra coordenada Y es la raíz  cuadrada de dos sobre dos hacia abajo,   así que también es menos la  raíz cuadrada de dos sobre dos. Y la tangente es sólo la coordenada Y sobre  la coordenada X. Así que la tangente va a   ser menos la raíz cuadrada de dos sobre dos  sobre menos la raíz cuadrada de dos sobre dos,   que es, una vez más, uno:  ¡exactamente lo que intuimos! Así que podemos escribir que la tangente  de cinco pi sobre cuatro es igual a uno.  ¿Y qué pasa con menos pi sobre seis? Bueno,   podrías reconocer que pi sobre  seis es un ángulo de 30 grados. Pi es 180 grados, así que si lo  divido entre seis es 30 grados,   y menos pi sobre seis sería ir 30  grados por debajo del eje x positivo. Así que se vería justo así. Y como dijimos, este ángulo de aquí  es pi sobre seis, que también se   puede ver como un ángulo de 30 grados. Si  trazáramos una perpendicular justo aquí,   podrías reconocer inmediatamente  esto como un triángulo de 30-60-90. Sabemos que, si la hipotenusa tiene una longitud  de uno, el lado opuesto al lado de 30 grados es   1/2 de la hipotenusa, y entonces el lado más  largo que no es la hipotenusa va a ser la raíz   cuadrada de tres por el lado más corto, así  que será la raíz cuadrada de tres sobre dos. Y así nuestra coordenada está por aquí  , nos movemos a la raíz cuadrada de tres   sobre dos en la dirección X positiva,  la raíz cuadrada de tres sobre dos, y   luego vamos a bajar 1/2 en la dirección  Y, así que escribiremos – 1/2 justo allí. Y ahora sabemos que la tangente de –pi sobre  seis va a ser igual a –1/2 sobre la raíz cuadrada   de tres sobre dos, que es lo mismo que –1/2  por, déjame escribirlo así, –½ por dos sobre   la raíz cuadrada de tres, que es igual a  menos uno sobre la raíz cuadrada de tres. Así que veamos, esto de aquí es uno.  Lo escribimos por allí. Esto de aquí es uno.  Y luego esto de aquí es menos uno sobre la   raíz cuadrada de tres. Y entonces esto es  menos uno sobre la raíz cuadrada de tres. Y así puedo reescribir toda esta expresión como  uno menos uno sobre la raíz cuadrada de tres,   todo eso sobre uno, y tenemos un  negativo por aquí y otro por acá,   así que menos por menos es más, entonces nos  queda uno más uno sobre la raíz cuadrada de tres. Y si multiplicamos tanto el numerador como  el denominador por la raíz cuadrada de tres,   lo que vamos a obtener en el numerador  es la raíz cuadrada de tres menos uno y   nuestro denominador va a ser la  raíz cuadrada de tres más uno. Y hemos terminado. Hemos hallado la tangente  de 13 pi sobre 12 sin usar la calculadora.