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Precálculo

Curso: Precálculo > Unidad 6

Lección 7: Componentes de un vector a partir de su magnitud y dirección
Matemáticas
Precálculo
Vectores
Componentes de un vector a partir de su magnitud y dirección
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Convertir entre componentes de un vecor y magnitud y dirección, repaso

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Repasa cómo encontrar la magnitud y la dirección de un vector a partir de sus componentes y viceversa.

Hoja de trucos

Magnitud de un vector a partir de las componentes

La magnitud de (a,b) es ||(a,b)||=a2+b2.

Dirección de un vector a partir de las componentes

El ángulo de dirección de (a,b) es θ=tan−1⁡(ba) más una corrección con base en el cuadrante, de acuerdo con esta tabla:
CuadranteCómo ajustar
C1tan−1⁡(ba)
C2tan−1⁡(ba)+180°
C3tan−1⁡(ba)+180°
C4tan−1⁡(ba)+360°

Componentes de un vector a partir de su magnitud y dirección

Las componentes de un vector con magnitud ||u→|| y dirección θ son (||u→||cos⁡(θ),|u→||sin⁡(θ)).

¿Qué son la magnitud y la dirección de un vector?

Estamos acostumbrados a describir los vectores en forma de componentes. Por ejemplo, (3,4). Podemos graficar vectores en el plano coordenado al dibujar un segmento de recta dirigido desde el origen hasta el punto que corresponde a las componentes del vector:
Desde el punto de vista gráfico, hay otra forma de describir vectores de forma única: su magnitud y dirección:
La magnitud de un vector nos da la longitud del segmento de recta, mientras la dirección nos da el ángulo que forma la recta con el eje x positivo.
La magnitud del vector v→ se escribe usualmente como ||v→||.
¿Quieres aprender más sobre la magnitud del vector? Revisa este video.
¿Quieres aprender más sobre la dirección del vector? Revisa este video.

Conjunto de práctica 1: magnitud a partir de las componentes

Para encontrar la magnitud de un vector a partir de sus componentes, sacamos la raíz cuadrada de la suma de los cuadrados de las componentes (este es un resultado directo del teorema de Pitágoras):
||(a,b)||=a2+b2
Por ejemplo, la magnitud de (3,4) es 32+42=25=5.
Problema 1.1
u→=(1,7)
||u→||=

Ya sea que introduzcas una expresión con un símbolo de raíz cuadrada o un decimal redondeado a la centésima más cercana.

¿Quieres intentar más problemas como este? Revisa este ejercicio.

Conjunto de práctica 2: dirección a partir de las componentes

Para encontrar la dirección de un vector a partir de sus componentes, sacamos la tangente inversa de la razón de las componentes:
θ=tan−1⁡(ba)
Esto resulta de usar trignometría en el triángulo rectángulo formado por el vector y el eje x.

Ejemplo 1: cuadrante I

Encontremos la dirección de (3,4):
tan−1⁡(43)≈53∘

Ejemplo 2: cuadrante IV

Encontremos la dirección de (3,−4):
tan−1⁡(−43)≈−53∘
La calculadora regresó un ángulo negativo, pero es común usar valores positivos para la dirección de un vector, así que debemos sumar 360∘:
−53∘+360∘=307∘

Ejemplo 3: cuadrante II

Encontremos la dirección de (−3,4). Primero, observa que (−3,4) está en el cuadrante II.
tan−1⁡(4−3)≈−53∘
−53∘ está en el cuadrante IV, no en el II. Debemos sumar 180∘ para obtener el ángulo opuesto:
−53∘+180∘=127∘
Problema 2.1
u→=(5,8)
θ=
  • Tu respuesta debe ser
  • un entero, como 6
  • una fracción propia simplificada, como 3/5
  • una fracción impropia simplificada, como 7/4
  • un número mixto, como 1 3/4
  • un decimal exacto, como 0.75
  • un múltiplo de pi, como 12 pi o 2/3 pi
∘
Ingresa tu respuesta como un ángulo en grados entre 0∘ y 360∘ redondeado a la centésima más cercana.

¿Quieres intentar más problemas como este? Revisa este ejercicio.

Conjunto de práctica 3: componentes a partir de la magnitud y la dirección

Para encontrar las componentes de un vector a partir de su magnitud y dirección, multiplicamos la magnitud por el seno o el coseno del ángulo:
u→=(||u→||cos⁡(θ),||u→||sin⁡(θ))
Esto resulta de usar trignometría en el triángulo rectángulo formado por el vector y el eje x.
Por ejemplo, esta es la forma en componentes del vector con magnitud 2 y ángulo 30∘:
(2cos⁡(30∘),2sin⁡(30∘))=(3,1)
Problema 3.1
u→≈( 
  • Tu respuesta debe ser
  • un entero, como 6
  • una fracción propia simplificada, como 3/5
  • una fracción impropia simplificada, como 7/4
  • un número mixto, como 1 3/4
  • un decimal exacto, como 0.75
  • un múltiplo de pi, como 12 pi o 2/3 pi
 ,
  • Tu respuesta debe ser
  • un entero, como 6
  • una fracción propia simplificada, como 3/5
  • una fracción impropia simplificada, como 7/4
  • un número mixto, como 1 3/4
  • un decimal exacto, como 0.75
  • un múltiplo de pi, como 12 pi o 2/3 pi
)
Redondea tu respuesta final a la centésima más cercana.

¿Quieres intentar más problemas como este? Revisa este ejercicio.

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