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Precálculo

Curso: Precálculo > Unidad 6

Lección 7: Componentes de un vector a partir de su magnitud y dirección
Matemáticas
Precálculo
Vectores
Componentes de un vector a partir de su magnitud y dirección
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Convertir entre componentes de un vecor y magnitud y dirección, repaso

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Repasa cómo encontrar la magnitud y la dirección de un vector a partir de sus componentes y viceversa.

Hoja de trucos

Magnitud de un vector a partir de las componentes

La magnitud de left parenthesis, a, comma, b, right parenthesis es vertical bar, vertical bar, left parenthesis, a, comma, b, right parenthesis, vertical bar, vertical bar, equals, square root of, a, squared, plus, b, squared, end square root.

Dirección de un vector a partir de las componentes

El ángulo de dirección de left parenthesis, a, comma, b, right parenthesis es theta, equals, tangent, start superscript, minus, 1, end superscript, left parenthesis, start fraction, b, divided by, a, end fraction, right parenthesis más una corrección con base en el cuadrante, de acuerdo con esta tabla:
CuadranteCómo ajustar
C1tangent, start superscript, minus, 1, end superscript, left parenthesis, start fraction, b, divided by, a, end fraction, right parenthesis
C2tangent, start superscript, minus, 1, end superscript, left parenthesis, start fraction, b, divided by, a, end fraction, right parenthesis, plus, 180, degree
C3tangent, start superscript, minus, 1, end superscript, left parenthesis, start fraction, b, divided by, a, end fraction, right parenthesis, plus, 180, degree
C4tangent, start superscript, minus, 1, end superscript, left parenthesis, start fraction, b, divided by, a, end fraction, right parenthesis, plus, 360, degree

Componentes de un vector a partir de su magnitud y dirección

Las componentes de un vector con magnitud vertical bar, vertical bar, u, with, vector, on top, vertical bar, vertical bar y dirección theta son left parenthesis, vertical bar, vertical bar, u, with, vector, on top, vertical bar, vertical bar, cosine, left parenthesis, theta, right parenthesis, comma, vertical bar, u, with, vector, on top, vertical bar, vertical bar, sine, left parenthesis, theta, right parenthesis, right parenthesis.

¿Qué son la magnitud y la dirección de un vector?

Estamos acostumbrados a describir los vectores en forma de componentes. Por ejemplo, left parenthesis, 3, comma, 4, right parenthesis. Podemos graficar vectores en el plano coordenado al dibujar un segmento de recta dirigido desde el origen hasta el punto que corresponde a las componentes del vector:
Desde el punto de vista gráfico, hay otra forma de describir vectores de forma única: su start color #11accd, start text, m, a, g, n, i, t, u, d, end text, end color #11accd y start color #1fab54, start text, d, i, r, e, c, c, i, o, with, \', on top, n, end text, end color #1fab54:
La start color #11accd, start text, m, a, g, n, i, t, u, d, end text, end color #11accd de un vector nos da la longitud del segmento de recta, mientras la start color #1fab54, start text, d, i, r, e, c, c, i, o, with, \', on top, n, end text, end color #1fab54 nos da el ángulo que forma la recta con el eje x positivo.
La magnitud del vector v, with, vector, on top se escribe usualmente como vertical bar, vertical bar, v, with, vector, on top, vertical bar, vertical bar.
¿Quieres aprender más sobre la magnitud del vector? Revisa este video.
¿Quieres aprender más sobre la dirección del vector? Revisa este video.

Conjunto de práctica 1: magnitud a partir de las componentes

Para encontrar la magnitud de un vector a partir de sus componentes, sacamos la raíz cuadrada de la suma de los cuadrados de las componentes (este es un resultado directo del teorema de Pitágoras):
vertical bar, vertical bar, left parenthesis, a, comma, b, right parenthesis, vertical bar, vertical bar, equals, square root of, a, squared, plus, b, squared, end square root
Por ejemplo, la magnitud de left parenthesis, 3, comma, 4, right parenthesis es square root of, 3, squared, plus, 4, squared, end square root, equals, square root of, 25, end square root, equals, 5.
Problema 1.1
  • Corriente
u, with, vector, on top, equals, left parenthesis, 1, comma, 7, right parenthesis
vertical bar, vertical bar, u, with, vector, on top, vertical bar, vertical bar, equals

Ya sea que introduzcas una expresión con un símbolo de raíz cuadrada o un decimal redondeado a la centésima más cercana.

¿Quieres intentar más problemas como este? Revisa este ejercicio.

Conjunto de práctica 2: dirección a partir de las componentes

Para encontrar la dirección de un vector a partir de sus componentes, sacamos la tangente inversa de la razón de las componentes:
theta, equals, tangent, start superscript, minus, 1, end superscript, left parenthesis, start fraction, b, divided by, a, end fraction, right parenthesis
Esto resulta de usar trignometría en el triángulo rectángulo formado por el vector y el eje x.

Ejemplo 1: cuadrante start text, I, end text

Encontremos la dirección de left parenthesis, 3, comma, 4, right parenthesis:
tangent, start superscript, minus, 1, end superscript, left parenthesis, start fraction, 4, divided by, 3, end fraction, right parenthesis, approximately equals, 53, degrees

Ejemplo 2: cuadrante start text, I, V, end text

Encontremos la dirección de left parenthesis, 3, comma, minus, 4, right parenthesis:
tangent, start superscript, minus, 1, end superscript, left parenthesis, start fraction, minus, 4, divided by, 3, end fraction, right parenthesis, approximately equals, minus, 53, degrees
La calculadora regresó un ángulo negativo, pero es común usar valores positivos para la dirección de un vector, así que debemos sumar 360, degrees:
minus, 53, degrees, plus, 360, degrees, equals, 307, degrees

Ejemplo 3: cuadrante start text, I, I, end text

Encontremos la dirección de left parenthesis, minus, 3, comma, 4, right parenthesis. Primero, observa que left parenthesis, minus, 3, comma, 4, right parenthesis está en el cuadrante start text, I, I, end text.
tangent, start superscript, minus, 1, end superscript, left parenthesis, start fraction, 4, divided by, minus, 3, end fraction, right parenthesis, approximately equals, minus, 53, degrees
minus, 53, degrees está en el cuadrante start text, I, V, end text, no en el start text, I, I, end text. Debemos sumar 180, degrees para obtener el ángulo opuesto:
minus, 53, degrees, plus, 180, degrees, equals, 127, degrees
Problema 2.1
  • Corriente
u, with, vector, on top, equals, left parenthesis, 5, comma, 8, right parenthesis
theta, equals
  • Tu respuesta debe ser
  • un entero, como 6
  • una fracción propia simplificada, como 3, slash, 5
  • una fracción impropia simplificada, como 7, slash, 4
  • un número mixto, como 1, space, 3, slash, 4
  • un decimal exacto, como 0, point, 75
  • un múltiplo de pi, como 12, space, start text, p, i, end text o 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text
degrees
Ingresa tu respuesta como un ángulo en grados entre 0, degrees y 360, degrees redondeado a la centésima más cercana.

¿Quieres intentar más problemas como este? Revisa este ejercicio.

Conjunto de práctica 3: componentes a partir de la magnitud y la dirección

Para encontrar las componentes de un vector a partir de su magnitud y dirección, multiplicamos la magnitud por el seno o el coseno del ángulo:
u, with, vector, on top, equals, left parenthesis, vertical bar, vertical bar, u, with, vector, on top, vertical bar, vertical bar, cosine, left parenthesis, theta, right parenthesis, comma, vertical bar, vertical bar, u, with, vector, on top, vertical bar, vertical bar, sine, left parenthesis, theta, right parenthesis, right parenthesis
Esto resulta de usar trignometría en el triángulo rectángulo formado por el vector y el eje x.
Por ejemplo, esta es la forma en componentes del vector con magnitud start color #11accd, 2, end color #11accd y ángulo start color #1fab54, 30, degrees, end color #1fab54:
left parenthesis, start color #11accd, 2, end color #11accd, cosine, left parenthesis, start color #1fab54, 30, degrees, end color #1fab54, right parenthesis, comma, start color #11accd, 2, end color #11accd, sine, left parenthesis, start color #1fab54, 30, degrees, end color #1fab54, right parenthesis, right parenthesis, equals, left parenthesis, square root of, 3, end square root, comma, 1, right parenthesis
Problema 3.1
  • Corriente
u, with, vector, on top, approximately equals, left parenthesis, space
  • Tu respuesta debe ser
  • un entero, como 6
  • una fracción propia simplificada, como 3, slash, 5
  • una fracción impropia simplificada, como 7, slash, 4
  • un número mixto, como 1, space, 3, slash, 4
  • un decimal exacto, como 0, point, 75
  • un múltiplo de pi, como 12, space, start text, p, i, end text o 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text
space, comma
  • Tu respuesta debe ser
  • un entero, como 6
  • una fracción propia simplificada, como 3, slash, 5
  • una fracción impropia simplificada, como 7, slash, 4
  • un número mixto, como 1, space, 3, slash, 4
  • un decimal exacto, como 0, point, 75
  • un múltiplo de pi, como 12, space, start text, p, i, end text o 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text
right parenthesis
Redondea tu respuesta final a la centésima más cercana.

¿Quieres intentar más problemas como este? Revisa este ejercicio.

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