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Componentes de un vector a partir de su magnitud y dirección

Transcripción del video

esta vez tenemos un par de ejemplos donde nos dan un ángulo su magnitud y su dirección y ojo la dirección nos la dan con un ángulo positivo que se forman a partir del lado positivo del eje x y lo que quiero hacer en este vídeo es que dada esta información es decir dada su magnitud y este ángulo su dirección quiero encontrar cuáles son sus componentes x y james de este vector y como siempre te pido que pausas el vídeo y veas si puedes resolver este ejercicio por tu cuenta ok vamos a trabajarlo juntos y bueno en el procedimiento estará involucrada la trigonometría porque cuando rompamos este vector en sus componentes verticales y horizontales o dicho de otra manera estos componentes equis y james nos vamos a encontrar con un triángulo rectángulo es más vamos a hacerlo esto se va a ver más o menos así voy a decir que mi componente x se va a ver más o menos más o menos como por aquí más o menos así se ve mi componente x así que déjenme poner que este es mi componente x y mi componente james se va a ver déjame hacerlo con este color se va a ver de la siguiente manera se va a ver más o menos así de lujo entonces déjame poner que esta es mi componente y observa que si tú sumas la componente x más la componente de este vector es decir su componente horizontal más su componente vertical entonces llegas a tu vector original obtienes su vector original y también quiero que observes que acabamos de construir un triángulo rectángulo este es un triángulo rectángulo que vamos a ocupar para obtener los componentes de este vector y bueno como tengo un triángulo rectángulo entonces puedo usar las definiciones de las funciones trigonométricas es decir las definiciones del sujeto am y recuerdan que todo esto viene de las definiciones del círculo unitario que tal vez utilice más adelante pero si quiero obtener la magnitud de la base que tengo aquí es decir de este lado entonces puedo ver que este es el cateto adyacente a este ángulo de 50 grados no es la hipotenusa pero es el otro lado que forman este ángulo de 50 grados entonces qué función cuando me involucran al adyacente y a la hipotenusa bueno pues recordemos anchoa y si te das cuenta el coche no es el que involucra al adyacente con la hipotenusa así que puedo decir que si este lado de aquí que vamos a ponerle un nombre supongamos que se llama x si llamo a esta longitud x entonces podemos decir que el coche no déjame ponerlo aquí que el coche no de este ángulo de 50 grados de este ángulo de 50 grados va a ser igual a la longitud del adyacente que en este caso es x x entre la longitud la hipotenusa que ya sabemos que es 4 entre 4 muy bien y si ahora multiplicó por 4 ambos lados de esta ecuación voy a obtener que cuatro veces el coseno de cincuenta grados cuatro veces el coseno de 50 grados esto va a ser igual a x a lo que estoy buscando y ahora si pensamos en la componente bien que hay de la componente y bueno pues la componente ya está de aquí va a ser el lado opuesto a este ángulo de 50 grados así que cuál es la función trigonométricas que involucra al lado opuesto ya la hipotenusa es el seno está de acuerdo entonces sabemos que el seno seno de este ángulo de 50 grados va a ser igual a la longitud del cateto opuesto que sabemos que es bien entre la longitud de la hipotenusa que sabemos que es 4 y otra vez si multiplicamos a ambos lados por 4 voy a tener que cuatro veces el seno de 50 grados es lo mismo que esta componente ya de lujo y si no tuviéramos calculadora puedo escribir a este vector que tengo aquí con sus respectivas componentes porque ya sabemos que su componente x sería 4 veces el coste no de 54 veces el coseno de 50 grados y la componente ya sería cuatro veces el seno de 50 grados cuatro veces el seno de 50 grados y así podría describir a este vector con sus componentes y observa que aquí tenemos algo muy interesante tengo el coche no del ángulo que se forma a partir del eje x y observa que este coche no nos ayuda a formar la componente x y en el otro lado tengo al seno de este ángulo de 50 grados que nos ayuda a formar la componente hierro y a su vez estas funciones trigonométricas están siendo multiplicadas por la magnitud de este vector y la pregunta es podré hacer esto siempre y la respuesta es que si esto sale de la definición de las funciones trigonométricas del círculo unitario si por aquí tenemos un círculo unitario déjame dibujar por aquí un círculo unitario que se vea más o menos así y me fijo ahora en un vector que tenga la misma dirección pero que sea un vector unitario bueno pues este vector que tengo aquí va a tener como componente x alto seno del ángulo que lo forman y como componente bien al seno del ángulo que la forma pero bueno no tenemos un vector unitario tenemos un vector cuya magnitud es 4 es 4 veces más grande que el vector unitario así que cada una de sus componentes será cuatro veces más grande que las del vector unitario es por esto que multiplicamos algo seno de 50 grados por 4 y al seno de 50 grados por 4 y así obtenemos la componente xy la componente bien y bueno esto no lo olvides porque por acá vamos a obtener algo parecido ahora es momento de poder sacar nuestra calculadora de aproximar el valor que vamos a obtener así que por aquí tengo mi calculadora y manos a la obra no olvides fíjate que estamos en el modo que dice de para hablar de los ángulos en grados y ahora si me quiero tomar cuatro veces el coche no de 50 pues vamos a hacerlo 50 a esto le voy a calcular su coseno y a esto lo voy a multiplicar por 4 y yo obtengo 2.57 aproximadamente así que déjame ponerlo por acá nuestros componentes van a ser aproximadamente bueno mi componente x va a ser aproximadamente punto 57 y mi componente y vamos a trabajarla si saco de nuevo mi calculadora y pongo 50 y le sacó el seno a eso y después lo multiplicó por 4 obtengo 3.06 aproximadamente así que déjame ponerlo aquí y 3.06 ahí está y con esto podemos ver que por aquí esto tiene razón porque la componente x se ve un poco más grande que 12 2.5 va un poco más allá que 2.5 y la componente ya se ve 123 un poquito ligeramente más grande que 3 así que parece que todo cuadra nada mal para esta gráfica hecha a mano bien vayamos al siguiente ejercicio a este de aquí y este es interesante porque nuestro punto final de este vector en su forma estándar está en el segundo cuadrante así que cuáles sean sus componentes xy james y seguramente dirás de manera inmediata que como estamos en el segundo cuadrante la componente x tiene que ser negativa y la componente i tiene que ser positiva bueno pues podemos resolverlo de la misma manera que lo hicimos en el ejercicio pasado podemos decir que las componentes de este vector son la componente x es la magnitud de este vector que multiplica al coseno del ángulo positivo que se forma a partir del lado positivo de x es decir 135 grados y la componente james se va a formar como la magnitud que multiplica al seno de este ángulo 135 grados de lujo y entonces ya está podemos evaluarlo así que si traigo por acá mi calculadora y digo 135 grados a esto le sacó el coche no menos 0.70 ya esto lo multiplicó por 10 obtengo menos 7.07 aproximadamente así que lo voy a poner por aquí aproximadamente tengo menos 7.107 coma y bueno vamos a hacer la componente bien de nuevo traigo mi calculadora y digo ahora me voy a tomar el seno de 135 observa es positivo 0.70 positivo ya esto lo multiplicó por 10 y obtengo 7.07 aproximadamente así que 7.07 aproximadamente y ya está y lo puedes ver aquí esto se ve un poco más grande que 7 y un poco más grande que 7 justo como lo tenemos aquí y lo hemos logrado y una vez más cómo funciona todo esto bueno pues es que recuerda que si por aquí tengo un círculo unitario vamos a dibujar por aquí mi círculo unitario más o menos se va a ver de esta forma y ahora me tomo un vector que tenga la misma dirección que este vector grande de color azul pero que sea un vector unitario que se vea más o menos así entonces en este punto de aquí déjame utilizar este color para que sea más visible este punto de aquí donde intersecta al círculo unitario va a tener como coordenadas coseno de 135 grados seno de 135 grados esto para este vector unitario que tengo aquí dicho de otra manera su componente xv a ser coseno de 135 grados y su componente james va a ser seno de 135 grados pero el vector que a nosotros nos importa tiene 10 veces la magnitud de este vector unitario y está en la misma dirección entonces su componente x va a ser 10 veces la componente x del vector unitario y su componente bien igual y todo esto viene de las definiciones del soca tohá así que para que lo veas con mayor claridad puedo construir aquí un triángulo rectángulo se me ocurre que puedo tomar mi componente xy ponerla por aquí por aquí voy a tomar mi componente x voy a suponer que es está por aquí déjenme poner que esta es mi componente xy bueno voy a suponer que también tengo por acá con este color a mi componente y déjame ponerlo así está aquí es mi componente y mi componente y aquí se forma un ángulo recto y bueno si nosotros queremos este lado de aquí la magnitud de mi base entonces puedo decir bueno espera nos falta este ángulo que tengo aquí pero si te das cuenta de aquí hasta acá tengo un ángulo de 135 grados y este es suplementario por lo tanto este es de 45 grados así que en función trigonométricas involucra al lado adyacente y a la hipotenusa bueno pues es el coseno eso quiere decir que el coseno el co seno de este ángulo de 45 grados ser igual a bueno este lado que no sea le voy a poner el nombre de x va a ser x entre la hipotenusa que vale 10 entre 10 y si multiplicamos ambos lados por 10 entonces nos va a quedar que diez veces el coseno de 45 grados esto es igual a equis y bueno el coseno de 45 grados es lo mismo que raíz de todo sobre 2 entonces si lo multiplicó por 10 me va a quedar 5 veces la raíz de 2 esto es igual a equis y en este momento puedes decir bueno yo esperaba que esto fuera negativo me recuerda que este es un lado del triángulo no puede ser negativo y es por eso que es muy importante que no te dejes llevar por el impulso y razones un poco el problema y entonces digas no voy a ir 5 raíz de 2 a la derecha voy a ir 5 raíz de 2 a la izquierda por lo tanto si quiero mi componente x de este vector que tengo aquí bueno pues esta va a ser menos cinco veces la raíz de dos ok y siguiendo un razonamiento análogo podemos obtener este lado de aquí podemos decir que este lado de aquí va a ser diez veces el seno de 45 grados y bueno el seno de 45 grados es raíz de 2 sobre 2 entonces voy a obtener cinco veces la raíz de dos ésta va a ser la magnitud de este lado o dicho de otra manera la componente de este vector va a ser cinco veces la raíz de todos y así de fácil y de sencillo llegamos al resultado y si tú evalúas en la calculadora cinco veces la raíz de dos verás que esto se aproximarán al resultado que tenemos aquí arriba