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Componentes de un vector a partir de su magnitud y dirección

Transcripción del video

esta vez tenemos un par de ejemplos donde nos dan un ángulo su magnitud y su dirección y ojo la dirección nos la dan con un ángulo positivo que se forma a partir del lado positivo del eje x y lo que quiero hacer en este vídeo es que dada esta información es decir dada su magnitud y este ángulo su dirección quiero encontrar cuáles son sus componentes x y gem de este vector y como siempre te pido que pausas el video y vea si puedes resolver este ejercicio por tu cuenta ok vamos a trabajar juntos y bueno en el procedimiento estaría involucrada la trigonometría porque cuando rompamos este vector en sus componentes verticales y horizontales o dicho de otra manera sus componentes x y gem nos vamos a encontrar con un triángulo rectángulo es más vamos a hacerlo esto se va a ver más o menos así voy a decir que me componente x se va a haber más o menos más o menos como por aqim más o menos así se ve mi componente x así que dejen de poner que esto es muy competente x y me componente gem se va a ver déjame hacerlo con este color se va a ver de la siguiente manera se va a haber más o menos así de lujo entonces dejar el poder que estas mini componente jr y observa que si tú sumas la componente xmas la componente lleva de este vector es decir su componente horizontal más su componente vertical entonces llegas a tu vector original obtiene su vector original y también quiero que observes que acá vamos a construir un triángulo rectángulo este es un triángulo rectángulo que vamos a ocupar para obtener las componentes de este vector y bueno como tengo un triángulo rectángulo entonces puede usar las definiciones de las funciones trigonométricas es decir las definiciones del soca tohá y recuerdan que todo esto viene de las definiciones del círculo literario que tal vez se utilice más adelante pero si quiere obtener la magnitud de la base que tengo aquí es decir de éste entonces puedo ver que éste es el cateto adyacente a este ángulo de 50 grados no es la hipotenusa pero es el otro lado que forman este ángulo de 50 grados entonces qué función trigonométricas involucra al adyacente y a la hipotenusa bueno pues recordemos al shock a tohá show acá tohá y si te das cuenta el coste no es el que involucra al adyacente con la hipotenusa así que puedo decir que sí está al lado de aquí que vamos a ponerle un nombre supongamos que se llama x sí llamó a esta longitud x entonces podemos decir que el coce no deja de poderlo kiel que el coce no de este ángulo de 50 grados de este ángulo de 50 grados va a ser igual a la longitud del adyacente que en este caso es x x entre la longitud de la hipotenusa que ya sabemos que es 4 entre cuatro muy bien y si ahora multiplicó por cuatro ambos lados de esta ecuación voy a obtener que cuatro veces el coche no de 50 grados cuatro veces el coche lleno de 50 grados esto va a ser igual a x a lo que estoy buscando a x y ahora si pensamos en la componente gem que hay de la componente llegue bueno pues la componente jr está aquí va a ser el lado opuesto a este ángulo de 50 grados así que cuál es la función trigonométricas que involucra al lado opuesto ya la hipotenusa es el pse no está de acuerdo entonces sabemos que el seno el seno de este ángulo 50 grados va a ser igual a la longitud del cateto puesto aunque sabemos que es gem entre la longitud de la hipotenusa que sabemos que es 4 y otra vez si multiplicamos ambos lados por cuatro voy a tener que cuatro veces el seno de 50 2 es lo mismo que esta componente de lujo y si no tuviéramos calculadora puede escribir a este vector que tengo aquí con sus respectivas componentes porque ya sabemos que su componente x sería cuatro veces el coche 950 cuatro veces el consenso de 50 grados y la componente gem sería cuatro veces el seno de 50 grados cuatro veces el seno de 50 grados y así podría inscribir a este vector con sus componentes y observa que aquí tenemos algo muy interesante tengo el cocinero del ángulo que se forma a partir del eje x y observa que este cruce no nos ayudan a formar la componente x y en el otro lado tengo al seno de este ángulo de 50 grados que nos ayudan a formar la componente llegue a su vez estas funciones trigonométricas están siendo multiplicadas por la magnitud de este vector y la pregunta es podrá hacer esto siempre y la respuesta es que si esto sale de la definición de las funciones trigonométricas del círculo sanitario si por aquí tenemos un círculo literario déjame dibujar por aquí en un círculo unitario que se vea más o menos así y me fijo ahora en un vector que tenga la misma dirección pero que sea un vector unitario bueno pues este vector que tengo aquí va a tener como componente x alcor seno del ángulo que la forma y como componente llegue al seno del ángulo que la forma pero bueno no tenemos un vector unitario tenemos un vector cuya magnitud es 4 es cuatro veces más grande que el vector unitario así que cada una de sus componentes será cuatro veces más grande que las del vector unitario es por esto que multiplicamos algo seno el 50° por 4 y al centro de 50 grados por cuatro y así obtenemos la componente x y la componente jem y bueno esto no lo olvides porque para cam vamos a obtener algo parecido ahora es momento de poder sacar nuestra calculadora y aproximada el valor que vamos a obtener así que por aquí tengo mi calculadora y manos a la obra no olvides fíjate que estamos en el modo que dice de para hablar de los ángulos en grados y ahora sí me quiero tomar cuatro veces el coche lleno de 50 pues vamos a hacerlo 50 a esto le voy a calcular su coche no y a esto lo voy a multiplicar por cuatro y obtengo 2.57 aproximadamente así que déjame ponerlo por acá nuestras componentes van a ser aproximadamente bueno de componente x va a ser aproximadamente 2.57 y me componente ya vamos a trabajar la sacó de nuevo mi calculadora y pongo 50 y y le sacó el seno a eso y después lo multiplicó por cuatro obtengo 3.06 aproximadamente así que déjame ponerlo kim 3.06 ahí está y con esto podemos ver que por aquí esto tiene razón porque la componente xsb un poco más grande que 122.5 va un poco más allá que 2.5 y la componente y el cb 123 un poquito ligeramente más grande que tres así que parece que todo cuadra nada mal para esta gráfica hecha mano bien vayamos al siguiente ejercicio a este de aquí y esto es interesante porque nuestro punto final de este vector en su forma estándar está en el segundo quadrant así que cuál sean sus componentes x y gem y seguramente medidas de manera inmediata que como estamos en segundo cuadrante en la componente x tiene que ser negativa y la componente jep tiene que ser positiva bueno pues podemos resolverlo de la misma manera que lo hicimos en el ejercicio pasado podemos decir que las componentes de este vector son la componente x es la magnitud de este vector que multiplica el cose no del ángulo positivo que se forma a partir del lado positivo de x es decir 135 grados y la componente gem se va a formar como la magnitud que multiplica al seno de este ángulo 135° de lujo y entonces ya está podemos evaluarlo así que si traigo por acá mi calculadora y digo 135° a esto le sacó al cose no menos 0.70 ya esto lo multiplicó por diez obtengo - 7.07 aproximadamente así que lo voy a poner por aquí aproximadamente tengo menos 7.07 omam y bueno vamos a hacerla componente gem de nuevo traigo mi calculadora y digo ahora me voy a tomar el seno de 135 observa es positivo 0.70 positivo y a esto lo multiplicó por diez y obtengo 7.07 aproximadamente así que 7.07 aproximadamente y ya está y lo puedes ver aquí esto se ve un poco más grande que siete y un poco más grande que siete justo como lo tenemos aquí y lo hemos logrado y una vez más cómo funciona todo esto bueno pues es que recuerda que si por aquí tengo un círculo sanitario vamos a dibujar por aquí mi círculo unitario más o menos se va a ver de esta forma y ahora me tomo un vector que tenga la misma dirección que este vector grande de color azul pero que sea un vector unitario que se vea más o menos así en entonces este punto de aquí dejan utilizar este color para que sea más visible este punto de aquí donde interfecta al círculo unitario va a tener como coordenadas coseno de 135 grados seno de 135 grados esto para este vector unitario que tengo aquí dicho de otra manera su componente xv acercó seno de 135 grados y su componente lleva a ser seno de 135 grados pero el vector que a nosotros nos importa tiene diez veces la magnitud de este vector unitario y está en la misma dirección entonces su componente x va a ser 10 veces la componente x del vector unitario y su componente ye igual y todo esto viene de las definiciones del soca tohá así que para que lo veas con mayor claridad a puedo construir aquí en un triángulo rectángulo se me ocurre que puedo tomar mi componente x y ponerla por aquí tú por aquí voy a tomar mi componente x voy a suponer que eso está por adquirir déjeme poner que éstas ni componente x y bueno voy a suponer que también tengo por la cam con este color a mí componente y dejándolas y estar aquí es mi componente llegué me componente llegué aquí se forma un ángulo recto y bueno si nosotros queremos este lado de aquí la magnitud de mi vashem entonces puedo decir buenos pero nos falta este ángulo que tengo aquí pero si te das cuenta de aquí hasta acá tengo un ángulo de 135 grados y este suplementario por lo tanto este es de 45 grados así que qué función econométrica involucra al lado adyacente y a la hipotenusa bueno pues es el coche no eso quiere decir que el coche no el cose no de este ángulo de 45 grados va a ser igual a bueno este lado que no se le voy a poner el nombre de x va a ser x entre la hipotenusa que vale 10 entre 10 y si multiplicamos ambos lados por diez entonces nos va a quedar que diez veces el coce no de 45 grados esto es igual a x y bueno el coce no de 45 grados es lo mismo que raíz de dos sobre dos entonces y lo multiplicó por diez me va a quedar cinco veces la raíz de dos esto es igual a x y en este momento es decir 'bueno yo esperaba que esto fuera negativo pues recuerda que éste es un lado del triángulo no puede ser negativo y es por eso que es muy importante que no te dejes llevar por el impulso y razones un poco el problema y entonces digas no voy a ir cinco raíz de dos a la derecha voy a ir cinco raíz de dos a la izquierda por lo tanto si quiero mi componente x de este vector que tengo aquí bueno pues ésta va a ser menos cinco veces la raíz de dos ok y siguiendo el razonamiento análogo podemos obtener este lado de aquí podemos decir que es la de aquí va a ser diez veces el seno de 45 grados y bueno el seno de 45 grados es raíz de dos sobre dos entonces voy a obtener cinco veces la raíz de dos esta va a ser la magnitud de este lado o dicho de otra manera la componente ieb de este vector va a ser cinco veces la raíz de todos y así de fácil y de sencillo llegamos al resultado y si tú evalúa en la calculadora cinco veces la raíz de dos verás que esto se aproximará al resultado que tenemos aquí arriba