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Dirección de los vectores a partir de sus componentes: cuadrantes I y II

Transcripción del video

lo que vamos a hacer en este vídeo es ver una serie de vectores que están dibujados en su forma estándar es decir sus puntos iniciales están en el origen o podemos decir que sus colas están en el origen y vamos a ver si podemos encontrar dados estos vectores sus ángulos positivos a partir del lado positivo del eje x y como siempre te encargó que pausa el vídeo e intentes encontrar el valor de estos ángulos por tu cuenta nosotros lo resolveremos usando como unidad de medida los grados bien el primero que resolveremos es este vector y observa que si lo escribimos utilizando vectores canónicos lo cual es muy útil para los ingenieros y a veces se les dice notación ingenieril tenemos que este vector 1 es igual a 3 veces y es decir el vector unitario en la dirección horizontal más cuatro veces el vector j es decir el vector unitario en la direc vertical o también podemos representar al mismo vector y de la siguiente manera podemos decir que su componente x es 3 y su componente james es 4 y lo puedes ver aquí tú puedes empezar en el origen y moverte una dos tres unidades en dirección horizontal y una dos tres cuatro unidades en dirección vertical ahora bien para averiguar el valor de este ángulo theta hay varias formas de hacerlo una de ellas es construir un triángulo rectángulo al menos en este caso particular podemos decir que el triángulo rectángulo se va a ver de la siguiente manera este lado este lado va a tener una longitud de tres unidades porque es lo que caminamos en el eje x la coordenada en x es 3 entonces este lado va a medir 3 unidades mientras que subimos hasta una altura de 4 por lo tanto este lado de mi triángulo rectángulo va a tener una longitud de 4 dicho de otra manera mi coordenada en yes 4 y por lo tanto la longitud de este lado va a hacer 4 y bueno sabemos por las definiciones de las funciones trigonométricas del zocato am cuál es la función trigonométricas que involucran al lado opuesto y al lado adyacente de este ángulo teta y bueno la respuesta es la tangente recuerda el zocato am sabemos que la tangente la tangente de este ángulo de damm va a ser igual a la longitud del lado opuesto que es 4 a la longitud del lado opuesto que es 4 entre la longitud del lado adyacente lo cual sabemos que es 3 y si queremos resolver para este ángulo teta entonces podemos tomar la función inversa de la tangente que la de notamos como tangente a la menos 1 tangente a la menos 1 estamos hablando de la función inversa de la tangente o también algunas veces se le conoce con el nombre de arco tangente de bueno esta cantidad de cuatro tercios así que déjame ponerlo de cuatro tercios y si queremos resolver esto entonces déjame traer por acá mi calculadora y me tomo cuatro tercios 4 entre 3 esto es de 1 que 1.33 y a esto le voy a calcular la función inversa de la tangente y para eso voy a apretar este botón que tengo aquí y voy a aplicar la función inversa de la tangente justo así y con esto obtengo 53.1 aproximadamente si lo redondeo me queda como 53.1 grados así que déjame escribirlo por aquí voy a decir que este ángulo que estoy buscando theta va a tener y déjame ponerlo con este color va a tener como medida aproximadamente 53.1 grados lo cual se ve bastante bien porque observa que es un poco más de 45 grados este vector está a un poco más de 45 grados digo no lo dibujes súper preciso pero se ve como un poco más de 45 grados así que parece que esto es correcto ahora otra cosa que puedes decir es hey mira 4 es la componente y y 3 es la componente x así que tal vez la tangente del ángulo que estoy buscando siempre sea la componente y entre la componente x y esto en efecto es el caso todo esto viene de la definición las funciones trigonométricas del círculo unitario donde puedes ver que si tienes un círculo unitario es más déjame dibujarlo lo voy a poner por aquí y no va a ser muy preciso pero te va a ayudar a entender todo lo que te estoy explicando imagínate que por aquí me tomo a un círculo unitario va a ser algo más o menos así voy a suponer que este es mi círculo unitario bien y después dibujamos por aquí en una línea perfecto voy a hacer esta línea de aquí yo sé que estamos hablando de vectores pero es exactamente lo mismo aquí tengo esta línea y entonces te fijas en el ángulo que se forma a partir del eje x y te preguntas por su tangente esta va a ser déjame anotarlo la tangente de este ángulo sería exactamente igual que la coordenada en jeff de este punto donde detectamos al círculo unitario la coordenada en en donde interceptamos al círculo unitario entre la coordenada en x así que puedes imaginar que si aquí mismo hacemos un círculo unitario lo voy a dibujar más o menos así por aquí tengo un círculo unitario y te fijas en la razón entre la coordenada ayer y la coordenada x de este punto que intersecta el 'ciclón' etario esa razón va a ser exactamente la misma que la razón entre 4 y 3 va a ser lo mismo que cuatro tercios o un entero un tercio así que de cualquier manera siempre que pienses en un vector la tangente de este ángulo que estamos buscando es decir de este ángulo que se forma a partir del lado positivo del eje x va a ser igual a la componente y entre la componente x así que es muy agradable cuando obtienes un resultado como éste bien pues usemos esto mismo para encontrar el siguiente ángulo este que tengo aquí bueno pues entonces podemos decir que la tangente de este ángulo la tangente de este ángulo teta va a ser igual a quien bueno a la componente ya que la voy a poner con este color a la componente ye entre la componente x que la voy a poner con este color así que 6 entre 5 y este signo negativo lo voy a poner aquí o podemos decir que te da va a ser igual a la función inversa de la tangente quintos negativos sin embargo voy a poner un signo de interrogación aquí porque estoy casi seguro que no nos vamos a sentir felices con la respuesta de esta operación así que hagámoslo a ver qué obtenemos si sacamos nuestra calculadora de nuevo la tengo por aquí y me tomo entre 5 ya esto le cambió el signo y después le aplicó la función tangente inversa llego a un ángulo de menos 50.2 si lo redondeamos así que déjame notarlo en este caso theta es aproximadamente menos 50 punto 2 grados pero porque esto no se ve bien bueno pues observa que teta se ve más grande que 90 grados y menos 50.2 grados me da un ángulo que bueno realmente está por acá están más o menos aquí este ángulo nos está dando otro vector u otra línea que tiene la misma tangente por esto creo que es importantísimo visualizarlo y pensarlo la razón de por qué obtuvimos este resultado es que la función inversa de la tangente o el largo tangente esta función que vemos en las calculadoras siempre nos da un ángulo que está entre menos grados y 90 grados siempre un ángulo que está aquí por eso mismo siempre nos dará un ángulo en el primer cuadrante o en el cuarto cuadrante pero aquí tenemos algo que está en el segundo cuadrante así que para estar seguros de que lo estamos haciendo bien tenemos que hacer el procedimiento correcto este ángulo nos da el caso de tener esta línea o este vector más o menos se vería algo así así que para encontrar nuestro ángulo de respuesta el ángulo que buscamos lo que vamos a hacer es sumar 180 grados a este ángulo que tengo aquí así que para obtener el ángulo que nosotros queremos theta como queremos un ángulo en la otra dirección entonces éste está va a ser aproximadamente menos 50 punto 2 grados a 180 grados lo cual es no sé vamos a hacerlo en la calculadora y a esta cantidad le voy a sumar 180 grados y esto me va a dar ciento 29.8 redondeado entonces así que aproximadamente este ángulo que buscábamos theta va a ser de 120 9.82 y esto se ve mucho mejor porque tenemos un ángulo más allá de los 90 grados ahora otra forma de pensar este mismo problema es la siguiente si pensamos en el sol que actúa de los triángulos rectángulos y si construimos por aquí un triángulo rectángulo entonces que nos va a quedar bueno pues sabemos que la altura de ese triángulo rectángulo va a ser de 6 y esta longitud va a ser de 6 que es justo la coordenada en jr déjame notarlo 6 unidades y también sabemos que la longitud d en este lado que tengo aquí va a ser de bueno ten cuidado sabemos que del origen caminamos 5 unidades hacia la izquierda eso es menos 5 pero si pensamos en esto como una longitud entonces hay que tomarnos el valor absoluto de menos 5 lo cual nos va a dar 5 es decir la longitud de la base es de 5 unidades y con esto podemos averiguar cuánto vale no sé voy a ponerlo con este color este ángulo que voy a llamar x y bueno si hablamos de este ángulo x quien va a ser la tangente la tangente desde ángulo x bueno pues es el cateto opuesto entre el cateto adyacente entonces me va a quedar 6 sobre sobre este lado sobre 5 o dicho de otra manera x va a ser igual a la función inversa de la tangente de quien de esta cantidad de 6 sobre 5 y cuántos esto vamos a ver para eso voy a traer de nuevo a mi calculadora y vamos a hacer esta operación 6 entre 5 es 1.2 y le sacó la función inversa de la tangente a esta cantidad y obtengo claro 50.2 aproximadamente entonces déjame notarlo x va a ser aproximadamente 50 punto 2 grados que es este valor que tengo aquí lo cual se ve bastante bien pero recuerda que lo que queremos encontrar es el valor de teta queda en este ángulo que tengo aquí este ángulo que tengo aquí está este está pero observa que x y theta son suplementarios entonces mas x deben de sumar 180 grados y theta es lo mismo que 180 grados menos x así que vamos a hacerlo si a esta cantidad le pongo un signo negativo y después le sumó 180 grados creo que ya te parece muy familiar voy a obtener ciento 29.8 proximadamente lo cual era exactamente lo que obtuvimos antes