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Dirección de los vectores a partir de sus componentes: cuadrantes I y II

Transcripción del video

lo que vamos a hacer en este vídeo es ver una serie de vectores que están dibujados en su forma estándar es decir sus puntos iniciales están en el origen o podemos decir que sus bolas están en el origen y vamos a ver si podemos encontrar dados estos vectores sus ángulos positivos a partir del lado positivo del eje x y como siempre te encargo que pausa el video e intentes encontrar el valor de estos ángulos por tu cuenta nosotros lo resolveremos usando como unidad de medida los grados bien el primero que resolveremos este vector o observa que si lo escribimos utilizando vectores canónicos lo cual es muy útil para los ingenieros y a veces se le dice notación ingenieril tenemos que este vector un es igual a tres veces es decir el vector unitario en la dirección horizontal más cuatro veces el vector j es decir el vector unitario en la dirección vertical o también podemos representar al mismo vector un de la siguiente manera podemos decir que su componente x estrés y su componente gem es 4 y lo puedes ver aquí tú puedes empezar en el origen y moverte una 23 unidades en dirección horizontal y una dos tres cuatro unidades en dirección vertical ahora bien para averiguar el valor de este ángulo teta hay varias formas de hacerlo una de ellas es construir un triángulo rectángulo al menos en este caso particular podemos decir que el triángulo rectángulo se va a haber de la siguiente manera que este lado este lado va a tener una longitud de 3 unidades porque es lo que caminamos en el eje x la coordenada en x estrés entonces este lado va a medir tres unidades mientras que subimos hasta una altura de 4 por lo tanto este lado de mi triángulo rectángulo va a tener una luz y tú de 4 dicho de otra manera me coordenada en 10 4 y por lo tanto la longitud de este lado va a hacer 4 y bueno sabemos por las definiciones de las funciones de ghana métricas del soca tohá cuál es la función trigonométricas que involucran al lado opuesto y al lado adyacente de este ángulo teta y bueno la respuesta es la tangente recuerda el soca tohá sabemos que la tangente la tangente de este ángulo te da va a ser igual a la longitud del lado puesto que es 4 a la longitud del lado opuesto que es 4 entre la longitud del adyacente lo cual sabemos qué estrés y si queremos resolver para este ángulo te da entonces podemos tomar la función inversa de la tangente que la de notamos cómo tangente la -1 tangente al menos uno estamos hablando de la función inversa de la tangente o también algunas veces se le conoce con el nombre de arco tangente de bueno esta cantidad de cuatro tercios así que déjame ponerlo de cuatro tercios y si queremos resolver esto entonces déjame traer para acá ni calculadora y me tomó cuatro tercios 4 entre tres esto es lo que 1.33 y a esto le voy a calcular la función inversa de la tangente y para eso voy a apretar este botón que tengo aquí y voy a aplicar la función inversa de la tangente justo así y con esto obtengo 53.1 aproximadamente si lo redondeó me queda como 53.1 grados así que déjame escribirlo por aquí voy a decir que este ángulo que estoy buscando teta va a tener y déjame ponerlo con este color va a tener como medida aproximadamente 53 puntos un grados lo cual se ve bastante bien porque observa que es un poco más de 45 grados este vector está a un poco más de 45 grados digo no lo dibujé súper precisó pero se ve como un poco más de 45 grados así que parece que esto es correcto ahora otra cosa que puede decir es hey mira 4 es la componente y en ib3 la componente x así que tal vez la tangente del ángulo que estoy buscando siempre sea la componente llegue entre la componente x y esto en efecto es el caso todo esto viene de la definición las funciones trigonométricas del círculo unitario donde puedes ver que si tienes un círculo unitario es más déjame dibujarlo lo voy a poner por aquí y no va a ser muy preciso pero te va a ayudar a entender todo lo que te estoy explicando imagínate que por aquí me tomó a un círculo unitario va a ser algo más o menos así voy a suponer que éste es mi círculo unitario bien y después dibujamos por aquí una línea perfecto voy a hacer esta línea de aquí yo sé que estamos hablando de vectores pero es exactamente lo mismo aquí tengo esta línea y entonces te fijas en el ángulo que se forma a partir del eje x y te preguntas por su tangente esta va a ser de hannah tardó la tangente de este ángulo sería exactamente igual que la coordenada en ieb de este punto donde el de zach tamos al círculo literario la coordenada en tierra en donde perfecta moss al círculo unitario entre la coordenada en x así que puedes imaginar que si aquí mismo hacemos un círculo unitario lo voy a dibujar más o menos así por aquí tengo un círculo unitario y te fijas en la razón entre la coordenada ayer y la coordenada x de este punto que interceptará si el planetario esa razón va a ser exactamente la misma que la razón entre 4 y 3 va a ser lo mismo que cuatro tercios o un entero un tercio así que de cualquier manera siempre que pienses en un vector la tangente de este ángulo que estamos buscando es decir de este ángulo que se forma a partir del lado positivo del eje x va a ser igual a la componente y entre la componente x así que es muy agradable cuando tienes un resultado como éste bien pues hacemos esto mismo para encontrar el siguiente ángulo éste que tengo aquí bueno pues entonces podemos decir que la tangente de este ángulo la tangente de este ángulo teta va a ser igual a quién bueno a la componente gem que la voy a poner con este color a la componente llegue entre la componente x que la voy a poner con este color así que seis entre 5 y este signo negativo lo voy a poner aquí o podemos decir que eta va a ser igual a la función inversa de la tangente de 6 500 negativo sin embargo voy a poner un signo de interrogación a keep porque estoy casi seguro que no nos vamos a sentir felices con la respuesta de esta operación así que hagámoslo haber que obtenemos si sacamos nuestra calculadora de nuevo la tengo por aquí y me tomo 6 entre 5 y a esto le cambió el signo y después le aplicó la función tangente inversa llegó a un ángulo de menos 50.2 si lo redondeamos así que déjame anotarlo en este caso eta es aproximadamente menos 50.2 grados pero porque esto no se ve bien bueno pues se observa que te estás se ve más grande que 90 grados y menos 50 puntos 2° me da un ángulo que bueno realmente está por acá están más o menos aquí este ángulo nos está dando otro vector u otra línea que tienen la misma tangente por esto creo que es importantísimo visualizarlo ni pensarlo la razón de porqué obtuvimos este resultado es que la función inversa de la tangente o el arco tangente esta función que vemos en las calculadoras siempre nos da un ángulo que está entre menos 90 grados y 90 grados siempre un ángulo que está aquí por eso mismo siempre nos dará un ángulo en el primer cuadrante o en el cuarto cuadrante pero aquí tenemos algo que está en el segundo cuadrante así que para estar seguros de que lo estamos haciendo bien tenemos que hacer el procedimiento correcto este ángulo nos dan el caso de tener esta línea o este vector más o menos se vería a algo así así que para encontrar nuestro ángulo de respuesta el ángulo que buscamos lo que vamos a hacer es sumar 180 grados a este ángulo que tengo aquí así que para obtener el ángulo que nosotros queremos eta como queremos un ángulo en la otra dirección entonces te está va a ser aproximadamente menos 50.2 grados más 180 grados lo cual es no sé vamos a hacerlo en la calculadora y a esta cantidad le voy a sumar 180 grados y esto me va a dar ciento 29.83 así que aproximadamente este año lo que buscábamos teta va a ser de 129.800 se ve mucho mejor porque tenemos un ángulo más allá de los 90 grados ahora otra forma de pensar este mismo problema es la siguiente si pensamos en él sólo gato a de los triángulos rectángulos y si construimos por aquí un triángulo rectángulo entonces qué nos va a quedar bueno pues sabemos que la altura de ese triángulo rectángulo va a ser de 6 esta longitud va a ser de seis que es justo la coordenada jem dejan anotando seis unidades y también sabemos que la longitud de este lado que tengo aquí va a ser de bueno ten cuidado sabemos que del origen caminamos cinco unidades hacia la izquierda eso es menos cinco pero si pensamos en esto como una longitud entonces hay que tomarnos el valor absoluto de -5 lo cual nos va a dar cinco es decir la longitud de la base es de 5 unidades y con esto podemos averiguar cuánto vale no sé si voy a ponerlo con este color este ángulo que voy a llamar x y bueno si hablamos de este ángulo x quién va a ser la tangente la tangente desde ángulo x bueno pues el cateto puesto entre el cateto adyacente entonces me va a quedar a seis sobre 5 sobre este lado sobre 5 o dicho de otra manera x va a ser igual a la función inversa de la tangente de que de esta cantidad de 6 sobre 5 y cuántos esto vamos a ver para eso voy a traer de nuevo a mi calculadora y vamos a esta operación 6 entre 51 puntos dos y le sacó la función inversa de la tangente esta cantidad yo tengo claro 50.2 aproximadamente entonces deja notar lo x va a ser aproximadamente 50.2 grados que es este valor que tengo aquí lo cual se ve bastante bien pero recuerda que lo que queremos encontrar es el valor de takeda este ángulo que tengo aquí este ángulo que tengo aquí está este está pero observa que x y te estás son suplementarios entonces te está más x deben de sumar 180 grados o eta es lo mismo que 180 grados - x así que vamos a hacerlo si a esta cantidad le pongo un signo negativo y después le sumó 180 grados creo que ya te parece muy familiar voy a obtener 129.800 madamente lo cual era exactamente lo que obtuvimos antes