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Precálculo
Curso: Precálculo > Unidad 6
Lección 8: Sumar vectores en la forma de magnitud y direcciónSumar vectores en la forma de magnitud y dirección
En este ejemplo, Sal toma dos vectores dados por magnitud y dirección, y encuentra la magnitud y la dirección de su suma. Creado por Sal Khan.
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Transcripción del video
Nos dicen que el vector A tiene una magnitud de
4 y una dirección de 170 grados desde la parte positiva del eje x. El vector B tiene una magnitud
de 3 y una dirección de 240 grados desde la parte positiva del eje x. Encuentra la magnitud
y dirección del vector A más el vector B. Pausa el video e intenta encontrar la respuesta. Muy bien, trabajemos esto juntos. Y la manera en que voy a trabajarlo
es: primero voy a representar cada vector en su forma componente. Y luego voy
a sumar los componentes correspondientes. A partir de eso, voy a tratar de encontrar
la magnitud y la dirección de la suma. Entonces, ¿cuál es la
componente x del vector A? (a) Bueno, pensemos en el cambio en x, y
hay varias formas que puedes intentar para encontrarlo usando trigonometría, pero
esto ya lo hemos repasado en otros videos. La forma más simple de pensar en nuestro cambio
en x es multiplicar la longitud del vector, que sabemos que tiene una magnitud
de 4 por el coseno del ángulo que el vector forma con la parte positiva
del eje x, coseno de 170 grados. Ese es nuestro componente x de este
vector: 4 veces el coseno de 170 grados. ¿Y cuál es el componente y? Bueno, el
componente y será este cambio en y. Y hemos estudiado en otros videos que
se obtiene al multiplicar la longitud por el seno del ángulo que se forma desde la
parte positiva del eje x, seno de 170 grados. Tal vez en un rato podamos usar una
calculadora para aproximar estos valores. Por ahora, podemos hacer lo mismo para
el vector B. Usando la misma lógica, el componente x del vector B (b) será la
longitud del vector, que sabemos que es 3, nos lo dicen, por el coseno
de su ángulo, 240 grados. Y después, su componente y será la longitud del
vector, que es 3, por el seno de 240 grados. Ahora bien, cuando queremos tomar la suma de
estos dos vectores, vamos a escribirlo por aquí, el vector A más el vector B, solo tenemos
que sumar sus componentes correspondientes. Es decir, su componente x será 4 coseno
de 170 grados más 3 coseno de 240 grados. Y su componente y será 4 por seno de 170
grados más 3 veces el seno de 240 grados.
Saquemos la calculadora para evaluar esto. Vamos a escribir 170 grados, calculamos su coseno
y lo multiplicamos por 4. Es igual a esto. Y después le sumaremos… abriremos paréntesis, y
el coseno de 240 grados lo multiplicamos por 3. Cerramos los paréntesis y esto
es aproximadamente igual a –5.44. Así que esto es aproximadamente igual a –5.44.
≈ - 5.44 Y ahora, si al ángulo 170 le calculamos
su seno y lo multiplicamos por 4 y después a este resultado le sumamos… y vamos a abrir
paréntesis… y tenemos el ángulo de 240 grados, le calculamos su seno y lo multiplicamos por 3. Cerramos los paréntesis y esto
es aproximadamente igual a –1.90. Así que esto es aproximadamente igual a –1.90. Y esto es bastante consistente con nuestra
intuición. La suma tiene ambas componentes negativas, eso quiere decir que ese
vector estará en el tercer cuadrante. Y si hacemos el método para sumar vectores donde
colocamos la cola del vector B en la cabeza del vector A, entonces al colocar aquí al vector
B, podemos observar que el vector resultante, la suma de ambos vectores, se
encuentra en el tercer cuadrante. Por lo que tiene sentido que ambas
componentes, x y y, sean negativas. Ahora, no nos piden solo encontrar las componentes de la suma, nos piden la magnitud
y dirección de la suma resultante. Para ello, necesitamos usar un poco más de nuestro
conocimiento de trigonometría y de geometría. Por ejemplo, nuestro cambio en x es este valor justo aquí cuando vamos de la
cola a la punta. Y es –5.44. Si pensamos esto solo en términos de longitud, entonces pensaremos en su valor absoluto, es
decir, este lado tiene una longitud de 5.44. De igual manera, nuestro cambio en y es
negativo, es decir, bajamos en y. Pero si lo pensamos en términos de un triángulo,
este lado tiene una longitud de 1.90. Así que ya podemos usar el teorema
de Pitágoras, ya que la longitud de la hipotenusa, que es exactamente lo
mismo que la magnitud de este vector, al cuadrado es igual a la suma de
los cuadrados de estos dos lados. Otra forma de pensarlo es que la magnitud de este
vector, que es la suma del vector A más el vector B, vamos a decir que es aproximadamente igual
a, ya que estamos aproximando estos valores, a la raíz cuadrada principal de 5.44 al cuadrado.
Y esto es porque estoy pensando en la longitud de este lado, aunque también podría pensar
en el cambio en x, ya que si elevamos –5,44 al cuadrado, pasará a ser positivo.
Y a esto le sumaremos 1.90 al cuadrado. Así que de nuevo saquemos nuestra calculadora. Esto será aproximadamente igual a 5.44 al
cuadrado más 1.9 al cuadrado es igual a eso. Y ahora sacamos la raíz cuadrada de este resultado
para obtener aproximadamente igual a 5.76. Entonces 5.76 es nuestra magnitud. Y ahora necesitamos encontrar la dirección. Es
decir, necesitamos encontrar este ángulo de aquí. Y puedes reconocer que la tangente de este ángulo
theta, vamos a decir que es aproximadamente igual a, ya que estamos utilizando estas aproximaciones,
al cambio en y entre el cambio en x. Entonces, –1.90 entre –5.44. O podemos decir que theta es aproximadamente
igual a la tangente inversa de –1.90 entre –5.44. Y vamos a ver en un segundo si esto realmente nos da la respuesta que buscamos.
Así que vamos a intentarlo. Al dividir –1.9 entre –5.44
obtenemos esta respuesta, lo cual tiene sentido porque
negativo entre negativo es positivo. Y ahora calculemos la tangente inversa de
esto. Seleccionamos el botón de 2da función y seleccionaremos la tangente inversa. Así
obtenemos 19.25 grados, aproximadamente. Así que esto es aproximadamente 19.25 grados. Y mi pregunta para ti es: ¿te parece correcto? Bueno, un ángulo de 19.25 grados nos
pondría en el primer cuadrante. Nos daría un vector que se vería más o
menos así. Estos son 19.25 grados. Así que claramente este no es nuestro vector resultante. Estamos hablando de
un vector en el tercer cuadrante. La razón por la que obtuvimos este resultado
es que cuando calculamos la tangente inversa, en la mayoría de las calculadoras, obtenemos un
ángulo que está entre –90 grados y +90 grados. Pero aquí tenemos un ángulo que
nos sitúa en el tercer cuadrante. Así que tendremos que ajustar. Para ajustar por aquí tendremos que sumar 180
grados para llegar al ángulo real que buscamos. Así que en nuestra situación la magnitud
por aquí es aproximadamente 5.76. Y la dirección es aproximadamente 19.25
más 180 grados que son 199.25 grados. Y hemos terminado.