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Contenido principal

Sumar vectores en la forma de magnitud y dirección

Transcripción del video

Nos dicen que el vector A tiene una magnitud de  4 y una dirección de 170 grados desde la parte   positiva del eje x. El vector B tiene una magnitud  de 3 y una dirección de 240 grados desde la parte   positiva del eje x. Encuentra la magnitud  y dirección del vector A más el vector B. Pausa el video e intenta encontrar la respuesta. Muy bien, trabajemos esto juntos. Y la manera en que voy a trabajarlo  es: primero voy a representar cada   vector en su forma componente. Y luego voy  a sumar los componentes correspondientes.  A partir de eso, voy a tratar de encontrar  la magnitud y la dirección de la suma. Entonces, ¿cuál es la  componente x del vector A? (a) Bueno, pensemos en el cambio en x, y  hay varias formas que puedes intentar   para encontrarlo usando trigonometría, pero  esto ya lo hemos repasado en otros videos. La forma más simple de pensar en nuestro cambio  en x es multiplicar la longitud del vector,   que sabemos que tiene una magnitud  de 4 por el coseno del ángulo que el   vector forma con la parte positiva  del eje x, coseno de 170 grados. Ese es nuestro componente x de este  vector: 4 veces el coseno de 170 grados. ¿Y cuál es el componente y? Bueno, el  componente y será este cambio en y. Y   hemos estudiado en otros videos que  se obtiene al multiplicar la longitud   por el seno del ángulo que se forma desde la  parte positiva del eje x, seno de 170 grados. Tal vez en un rato podamos usar una  calculadora para aproximar estos valores. Por ahora, podemos hacer lo mismo para  el vector B. Usando la misma lógica,   el componente x del vector B (b) será la  longitud del vector, que sabemos que es 3,   nos lo dicen, por el coseno  de su ángulo, 240 grados. Y después, su componente y será la longitud del  vector, que es 3, por el seno de 240 grados. Ahora bien, cuando queremos tomar la suma de  estos dos vectores, vamos a escribirlo por aquí,   el vector A más el vector B, solo tenemos  que sumar sus componentes correspondientes. Es decir, su componente x será 4 coseno  de 170 grados más 3 coseno de 240 grados. Y su componente y será 4 por seno de 170  grados más 3 veces el seno de 240 grados.   Saquemos la calculadora para evaluar esto. Vamos a escribir 170 grados, calculamos su coseno  y lo multiplicamos por 4. Es igual a esto. Y   después le sumaremos… abriremos paréntesis, y  el coseno de 240 grados lo multiplicamos por 3.  Cerramos los paréntesis y esto  es aproximadamente igual a –5.44.  Así que esto es aproximadamente igual a –5.44. ≈ - 5.44 Y ahora, si al ángulo 170 le calculamos  su seno y lo multiplicamos por 4 y después   a este resultado le sumamos… y vamos a abrir  paréntesis… y tenemos el ángulo de 240 grados,   le calculamos su seno y lo multiplicamos por 3.  Cerramos los paréntesis y esto  es aproximadamente igual a –1.90. Así que esto es aproximadamente igual a –1.90. Y esto es bastante consistente con nuestra  intuición. La suma tiene ambas componentes   negativas, eso quiere decir que ese  vector estará en el tercer cuadrante. Y si hacemos el método para sumar vectores donde  colocamos la cola del vector B en la cabeza del   vector A, entonces al colocar aquí al vector  B, podemos observar que el vector resultante,   la suma de ambos vectores, se  encuentra en el tercer cuadrante. Por lo que tiene sentido que ambas  componentes, x y y, sean negativas. Ahora, no nos piden solo encontrar las componentes   de la suma, nos piden la magnitud  y dirección de la suma resultante. Para ello, necesitamos usar un poco más de nuestro  conocimiento de trigonometría y de geometría. Por ejemplo, nuestro cambio en x es este valor   justo aquí cuando vamos de la  cola a la punta. Y es –5.44. Si pensamos esto solo en términos de longitud,   entonces pensaremos en su valor absoluto, es  decir, este lado tiene una longitud de 5.44. De igual manera, nuestro cambio en y es  negativo, es decir, bajamos en y. Pero si   lo pensamos en términos de un triángulo,  este lado tiene una longitud de 1.90. Así que ya podemos usar el teorema  de Pitágoras, ya que la longitud de   la hipotenusa, que es exactamente lo  mismo que la magnitud de este vector,   al cuadrado es igual a la suma de  los cuadrados de estos dos lados. Otra forma de pensarlo es que la magnitud de este  vector, que es la suma del vector A más el vector   B, vamos a decir que es aproximadamente igual  a, ya que estamos aproximando estos valores,   a la raíz cuadrada principal de 5.44 al cuadrado.  Y esto es porque estoy pensando en la longitud de   este lado, aunque también podría pensar  en el cambio en x, ya que si elevamos   –5,44 al cuadrado, pasará a ser positivo. Y a esto le sumaremos 1.90 al cuadrado. Así que de nuevo saquemos nuestra calculadora.  Esto será aproximadamente igual a 5.44 al  cuadrado más 1.9 al cuadrado es igual a eso.  Y ahora sacamos la raíz cuadrada de este resultado  para obtener aproximadamente igual a 5.76. Entonces 5.76 es nuestra magnitud. Y ahora necesitamos encontrar la dirección. Es  decir, necesitamos encontrar este ángulo de aquí. Y puedes reconocer que la tangente de este ángulo  theta, vamos a decir que es aproximadamente igual   a, ya que estamos utilizando estas aproximaciones,  al cambio en y entre el cambio en x. Entonces, –1.90 entre –5.44. O podemos decir que theta es aproximadamente  igual a la tangente inversa de –1.90 entre –5.44. Y vamos a ver en un segundo si esto realmente nos   da la respuesta que buscamos.  Así que vamos a intentarlo. Al dividir –1.9 entre –5.44  obtenemos esta respuesta,   lo cual tiene sentido porque  negativo entre negativo es positivo. Y ahora calculemos la tangente inversa de  esto. Seleccionamos el botón de 2da función   y seleccionaremos la tangente inversa. Así  obtenemos 19.25 grados, aproximadamente. Así que esto es aproximadamente 19.25 grados. Y mi pregunta para ti es: ¿te parece correcto? Bueno, un ángulo de 19.25 grados nos  pondría en el primer cuadrante. Nos   daría un vector que se vería más o  menos así. Estos son 19.25 grados. Así que claramente este no es nuestro vector   resultante. Estamos hablando de  un vector en el tercer cuadrante. La razón por la que obtuvimos este resultado  es que cuando calculamos la tangente inversa,   en la mayoría de las calculadoras, obtenemos un  ángulo que está entre –90 grados y +90 grados. Pero aquí tenemos un ángulo que  nos sitúa en el tercer cuadrante. Así que tendremos que ajustar. Para ajustar por aquí tendremos que sumar 180  grados para llegar al ángulo real que buscamos. Así que en nuestra situación la magnitud  por aquí es aproximadamente 5.76. Y la dirección es aproximadamente 19.25  más 180 grados que son 199.25 grados. Y hemos terminado.