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Problema verbal sobre vectores: senderismo

Resolvemos un problema verbal con vectores en donde se calcula la distancia total recorrida en línea recta durante varios días. Creado por Sal Khan.

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Transcripción del video

ah no está estudiando de los patrones migratorios de las golondrinas ha estado siguiendo los movimientos de una bandada europea y una bandada africana la banda europea se está moviendo hacia el norte con una velocidad rapidez y dirección am de esta que tenemos aquí justo este vector que tenemos aquí es decir el vector 15 velocidad de la bandada europea ok está azul mientras que la banda africana se está moviendo hacia el sur con una velocidad la velocidad de la bandada africana está que tenemos de color morado es el vector 2 - 7 y es este vector que tenemos aquí los valores de arriba están dados en kilómetros por día ok cuanto más rápido se está moviendo las golondrinas africanas con respecto a las europeas y bueno se nota que las golondrinas africanas se están moviendo más rápido que las golondrinas europeas pero hay que saber cuanto más rápido se está moviendo las africanas que las europeas y bueno el resultado nos lo piden en kilómetros por día redondea a décimas ahora vamos a empezar con esta primera pregunta y después nos pasamos a esta segunda pregunta cuanto más rápido se están moviendo las golondrinas africanas con respecto a las europeas bueno pues sería muy bueno saber cuál es la magnitud de este rector cuál es la magnitud de este vector y comparar ambas magnitudes para ver por cuántos le gana esta magnitud a esta de aquí y para eso vamos a pensar un poco cuánto vale cada uno de estos dos vectores es decir qué información me están dando por ejemplo aquí en este vector este efector en este de color azul me están diciendo que es el vector 15 eso quiere decir que por cada uno que nosotros nos movamos de manera horizontal nos vamos a mover 5 hacia arriba de manera vertical dicho de otra manera am y déjame tomar este color si este primero voy a tomar este color si este es mi origen ok 00 entonces esto quiere decir que mi componente horizontal es moverme uno hacia la derecha es decir que este vector lo podríamos ver como el vector y con el vector unitario y ok y después me voy a mover cinco unidades hacia arriba es decir hasta llegar a este punto de aquí y bueno si te das cuenta esta sería mi otra componente en el componente vertical y esta componente vertical es lo mismo que cinco veces el vector unitario j ok de lujo dicho de otra manera a este vector de subíndice m lo podemos ver como el vector y más cinco veces el doctor j de hecho con eso llegamos el punto 15 que es este punto de aquí este punto de aquí es el punto 1,5 1,5 ahora cómo podemos obtener la magnitud de este vector de azul que nosotros queremos bueno pues es muy fácil si ya sabemos la longitud de este vector y la longitud de este vector simple y sencillamente recordar un teorema de pitágoras recordar un teorema de pitágoras porque este es un triángulo rectángulo y por lo tanto la magnitud de esta velocidad subíndice m y déjame ponerlo así así aquí quiero calcular la magnitud de esta velocidad su índice bueno pues esto lo podemos calcular como la raíz cuadrada la raíz cuadrada de esta magnitud elevada al cuadrado más esta magnitud elevado al cuadrado es decir 1 elevado al cuadrado 1 elevado al cuadrado lo cual es uno más a esto le voy a sumar 5 elevado al cuadrado lo cual es 25 dicho de otra manera la longitud o la magnitud de este vector b subíndice m es exactamente lo mismo que la raíz de 26 ok y bueno la raíz de 26 y nosotros la calculamos aproximadamente con nuestra calculadora déjeme traer por acá a mi calculadora la tengo justo por acá entonces sacamos la raíz de 20 esto es aproximadamente 5.1 5.1 redondeado a décimas entonces esto es aproximadamente 5.1 de lujo ahora vamos a fijarnos cuál es la magnitud de este subíndice am y para eso vamos a hacer algo muy parecido si te das cuenta podemos fijar aquí el origen y entonces decir que nosotros nos vamos a mover y lo tenemos justo por acá este de aquí nosotros nos podemos fijar en estas coordenadas y darnos cuenta que tenemos que movernos dos en la dirección horizontal es decir me voy a mover dos para acá esta va a ser mi componente horizontal esta de aquí ok que tiene por cierto una magnitud de 2 o lo podemos ver como el vector 2 y bueno también vamos a bajar 7 unidades es decir nuestra componente vertical es esta de aquí de aquí hasta acá son siete unidades vamos a bajar siete unidades y bueno también podemos decir que este es el vector 7 j menos 7 j ok de lujo y es negativo porque estamos yendo hacia abajo ahora date cuenta otra vez que encontramos aquí un triángulo rectángulo con este color lo voy a poner y por lo tanto también podemos calcular de una manera sencilla cuánto vale la magnitud de este vector ve subir sea y déjame ponerlo aquí la magnitud la magnitud de este vector ve subíndice am esto es exactamente lo mismo que la raíz cuadrada de la magnitud de la primera componente elevada al cuadrado es decir 2 por 24 ya esto hay que sumarle a esto hay que sumarle a la magnitud de esta componente elevada al cuadrado pero la magnitud de esta componente son 1 2 3 4 5 6 7 unidades por lo tanto 7 es la magnitud de este vector que voy a elevar al cuadrado 10 humedad 49-49 ok y bueno entonces para encontrar justo la magnitud que nosotros queremos a la magnitud de este pez humilde sea esto es exactamente lo mismo que la raíz de 49 4 lo cual es 53 y bueno esto es aproximadamente aproximadamente voy a sacar otra vez la calculadora por acá y tengo por aquí mi calculadora y ahora sí voy a calcular la raíz de 53 ok es 7.28 redondeado decimales 7.3 ok entonces esto es aproximadamente a 7.3 7.3 ok perfecto ya solamente nos falta saber cuál es la diferencia de estos dos para saber cuanto más rápido se están moviendo las golondrinas africanas con respecto a las europeas y bueno vamos a escribirlo aquí si yo me tomo entonces a aquí lo voy a poner con este color la diferencia de la magnitud de esta velocidad de subíndice am ok a esto le voy a restar voy a restar a esta de aquí le voy a restar la magnitud de esta velocidad subíndice ok esto es exactamente igual esto es exactamente igual que a 7.3 menos 5.1 lo cual es 2.2 eso es muy fácil de calcular 2.2 y lo voy a escribir aquí 2.2 aproximadamente kilómetros por día es cuanto más rápido se están moviendo las golondrinas africanas con respecto a las golondrinas europeas de liu ya tenemos la primera respuesta ahora hay que pensar en la segunda pregunta y bueno mi segunda pregunta dice qué tan rápido crece la distancia entre las bandadas y bueno para resolver esta pregunta qué te parece si estos dos vectores los ponemos en un mismo plano cartesiano así que déjame bajar un poco para acá a esta pantalla y vamos a pensar en un plano cartesiano que voy a dibujar justo aquí así que voy a hacer dos líneas este va a ser mi eje de las equis y este por acá va a ser desde las 10 vamos a poner que estos son mis ejes este es mi eje x ok mientras que este es mi hijo james ok y bueno mi primer vector es el 1,5 entonces am siguió camino 1 para acá y nuevos 5 para arriba 1 2 3 4 5 ok entonces por aquí aquí va a estar mi cabeza de este vector y entonces mi vector se vería más o menos sin punto este con este y date cuenta que este es mi primer vector ok de lujo ahora fijémonos en el segundo mi segundo vector era el 2,7 así que déjenme contar dos para acá contemos 1 2 y 7 para abajo 1 2 3 4 5 6 7 es decir que por aquí va a estar la cabeza del vector ok y déjame dibujarlo este de aquí va a ser mi vector justo este de kim de lujo y déjame dibujar una pequeña flecha ahora si te das cuenta estas bolas las golondrinas que van emigrando en europa hacia esta dirección mientras que estas golondrinas las golondrinas que están en áfrica van volando hacia esta dirección si te das cuenta las dos se van alejando por lo tanto lo que me gustaría saber es cuánto vale este a y déjame ponerlo con otro color este vector es decir cuál es la magnitud de este vector para ver cómo se están alejando las dos bandadas date cuenta que esta es la distancia a la que se van alejando las dos bandadas y bueno lo que se me ocurre hacer para resolver esta pregunta es pensar en la magnitud de este vector realmente si me tomo este vector hacia arriba o hacia abajo es lo mismo así que me lo voy a tomar hacia arriba porque lo que me importa es la magnitud de este vector ok en ese sitio lo que yo saber es cuál es la magnitud de este vector pero este vector es la diferencia estos dos vectores el vector b subíndice m ya esto le voy a quitar el otro vector el vector b subíndice a b sub índice a y yo lo que quiero saber es justo cuánto vale esta magnitud date cuenta que si a éste el subíndice am le sumamos este vector b vean llegamos a este vector b subíndice y para obtener esta magnitud primero voy a ver cuánto vale y déjame ponerlo con este color bm subíndice menos b subíndice a b subíndice a y bueno esto es exactamente lo mismo pero ya nos tenemos descompuestos en sus componentes horizontales y verticales de subíndice es lo mismo que tomarme al vector unitario y ok al vector unitario y y sumarle 5 veces el vector unitario jota y sumarle 5 veces el vector unitario jota y este vector de subíndice a también lo podemos ver a a esto le voy a quitar déjame ponerlo con este color le voy a quitar le voy a cambiar el signo a este vector b subíndice amp que es dos veces el vector unitario y ok pero con este signo menos me va a quedar menos dos veces el vector de unitario y ya esto le tengo que sumar siete veces el vector unitario j pero con este menos me va a dar más más ok 7 p ese es el vector unitario jota y bueno esto es exactamente lo mismo que tomarme el vector unitario y menos dos veces vector interior y eso es lo mismo que menos el vector unitario y ya esto le tenemos que sumar a 12 veces el vector unitario jota más 12 veces el vector unitario jota ok de lujo y bueno por lo tanto ya tengo las componentes rectangulares de este vector diferencia y bueno por lo tanto para calcular la magnitud y déjame ponerlo aquí para calcular la magnitud de esto que tenemos aquí lo voy a copiar lo voy a pegar ok lo voy a poner justo aquí bueno pues lo único que hay que hacer es tomarme la raíz cuadrada ok esto va a ser igual a la raíz cuadrada de la magnitud de cada una de estas dos componentes elevadas al cuadrado ok entonces menos 1 al cuadrado va a ser 1 ya esto le voy a sumar 12 al cuadrado lo cual es 100 44 más 144 ok de lujo y esto va a ser exactamente igual ok que la raíz cuadrada de 145 ok y bueno esto va a ser igual saquemos la calculadora por acá me voy a traer a mi calculadora y quiero sacar la raíz de 145 sus raíces 12 punto y si lo redondeamos a décimas es 12 este baja y no van a quedar dos entonces am lo voy a poner si esto es aproximadamente aproximadamente 2 y bueno es justo lo que voy a poner aquí qué tan rápido crece la distancia entre las bandadas bueno pues se alejan a 12 kilómetros por día así que de lujo ya acabamos nos vemos en el siguiente