Contenido principal
Precálculo
Curso: Precálculo > Unidad 6
Lección 9: Problemas verbales de vectoresProblema verbal de vectores: fuerza resultante
Cuando dos fuerzas diferentes actúan sobre el mismo objeto, podemos encontrar la fuerza resultante que actúa sobre el objeto sumando la dos fuerzas separadas. En este ejemplo, encontramos un vector de fuerza resultante usando la geometría, específicamente la leye de senos y la ley de los cosenos. Creado por Sal Khan.
¿Quieres unirte a la conversación?
Sin publicaciones aún.
Transcripción del video
Nos dicen: Una bola de metal se encuentra en
reposo sobre una superficie plana y horizontal. Después es atraída por
dos imanes colocados a su alrededor. Y nos dicen que: La fuerza del primer imán sobre la bola es de 5 N. Después nos dicen: La fuerza del segundo imán sobre la bola es de 3 N en una dirección que tiene una rotación de
100 a partir de la fuerza del primer imán. Y podemos ver un dibujo por aquí. Esta es
la fuerza del primer imán, que es de 5 N, y después la fuerza del segundo imán
es de 3 N en un ángulo de 100 grados, un ángulo de rotación de 100 grados a
partir de la fuerza del primer imán. Y nos hacen un par de preguntas interesantes. ¿Cuál es la fuerza combinada de las
fuerzas de atracción de los imanes? Redondea tu respuesta a la décima
más cercana. Puedes redondear los valores intermedios a la centésima más cercana. Además nos dicen: ¿Cuál es la dirección de la fuerza
de atracción combinada de los imanes, en relación con la dirección de la
fuerza de atracción del primer imán? Redondea tu respuesta al entero
más cercano. Puedes redondear los valores intermedios a la centésima más cercana. Así que te invito a que pauses este video y que lo intentes por tu cuenta
antes de que trabajemos juntos. Muy bien, ahora trabajemos juntos. Lo que realmente nos dicen es que, si
tomamos la suma de estos dos vectores, ¿cuál es el vector de la fuerza resultante?,
¿cuál va a ser la magnitud del vector de la fuerza resultante?, y ¿cuál va a ser la
dirección del vector de la fuerza resultante? Bueno, hay dos maneras de abordar esto.
Podríamos separar cada uno de estos vectores en sus respectivas componentes, luego sumar
sus respectivas componentes, y después de esa suma encontrar la magnitud y la dirección
resultante. Y ya lo hemos hecho en otros videos. O podemos trabajar en una aproximación
geométrica. Así que esto es lo que voy a hacer. Y para ayudarnos con esto, vamos a trabajar en
lo que conocemos como la regla del paralelogramo, que básicamente es la misma idea que la suma de
vectores uniendo el punto final con el inicial. Podemos tomar el vector 3 N y desplazarlo
de tal forma que su punto inicial quede en el punto final del vector 5 N, y se vea
más o menos así. Este vector es de 3 N. Y también vamos a hacerlo al revés.
Podemos empezar en el vector de 3 N y colocar en su punto final el punto
inicial del vector desplazado de 5 N, de esta forma. Puedes sumar en ambas direcciones,
y de cualquier forma en que lo veamos, cuando empiezas en los puntos iniciales y llegas
a los puntos finales del segundo vector, vas a tener una fuerza resultante que se ve
así, que es la diagonal de este paralelogramo. Aquí la tienes... así que
llamémosla nuestro vector de fuerza. Y podemos encontrar la longitud de esta diagonal,
que será la magnitud de este vector de fuerza. Ahora, ¿cómo podemos encontrarla?
Bueno, pensemos geométricamente, ¿qué más sabemos de lo que tenemos aquí? Bueno, este es un paralelogramo. Así que, si
este es un ángulo de 100 grados justo aquí, entonces este ángulo también tiene 100 grados. Por otra parte, también sabemos que estos otros
dos ángulos opuestos tienen la misma medida.
Y además sabemos que la suma de todos los
ángulos de un cuadrilátero serán 360 grados. Así que, si estos dos suman 200 grados,
entonces nos quedan 160 grados más para dividir entre este ángulo y este otro.
Así que podemos concluir que este ángulo es de 80 grados y este también es de
80 grados. Y, ¿cómo nos ayuda esto? Bueno, conocemos la longitud de este
lado, conocemos la longitud de este otro, conocemos el ángulo entre ellos y lo que queremos saber es la longitud del lado que es
opuesto a este ángulo de 80 grados. Y tal vez recuerdes la ley de cosenos.
Siempre imagino la ley de cosenos como una adaptación del teorema de Pitágoras para
poder trabajar con triángulos no rectángulos. La ley de cosenos nos dice que esta magnitud,
vamos a escribirlo, la magnitud de este vector, el cual es la longitud de esta diagonal, será
igual a la raíz cuadrada de este lado al cuadrado, déjame escribirlo, 3 al cuadrado, más este otro
lado al cuadrado, es decir 5 al cuadrado menos 2 veces el primer lado, que es 3, por este
otro lado, por 5, por el coseno de 80 grados. Así que saquemos la calculadora para
encontrar esta magnitud. Empezaré con el coseno de 80 grados y esto lo multiplicaré
por… parece ser 30. Entonces por 30 es igual a esto. Le ponemos el signo negativo, y
a esto le sumaremos 25 y 9, que es 34. E
ntonces más 34 es igual a esto. Y ahora tomaremos la raíz
cuadrada de esto. Y nos dicen: “redondea tu respuesta a la décima más
cercana”. Entonces podemos redondear esto a aproximadamente 5.4. Así
que esto es aproximadamente 5.4 N. Ahora nos preguntan: ¿Cuál es la dirección de
la fuerza de atracción combinada de los imanes, en relación con la dirección de la
fuerza de atracción del primer imán? Realmente lo que queremos hacer es encontrar
este ángulo de aquí. Llamémosle theta. Ahora bien, sabemos cuál es el valor de su lado opuesto. Así que tal vez
podamos usar la ley de senos. La ley de senos nos dice que el seno
de theta entre la longitud de su lado opuesto es igual a… y tomemos otro ángulo que
conozcamos. Es igual al seno de este ángulo, el seno de 80 grados entre la longitud del
lado opuesto, que es aproximadamente 5.4. Así que, si queremos despejar a theta,
necesitamos multiplicar ambos lados por 3. Entonces nos quedará que el seno de theta es
igual a 3 veces el seno de 80 grados entre 5.4. Y después podemos decir que theta es
igual al seno inverso de todo esto, 3 veces el seno de 80 grados entre 5.4. Entonces calcularemos el seno de 80 grados, lo multiplicaremos por 3 y
después lo dividiremos entre 5.4. Obtenemos este resultado y después calcularemos el seno inverso de todo esto y lo vamos
a redondear al entero más cercano. Esto es aproximadamente 33 grados. Cuando aplicas la ley de senos, es posible que además estés trabajando
un ángulo obtuso y al realizar todo este procedimiento obtengas el ángulo agudo.
Entonces tendrías que hacer un ajuste Pero este no es el caso, entonces sabemos
que theta es aproximadamente 33 grados. Así que ya está, ahora sabemos la magnitud
de la fuerza magnética y sabemos que forma un ángulo de aproximadamente 33 grados en
dirección de la fuerza del primer imán.