Problema verbal de vectores: fuerza resultante

Nos dicen: Una bola de metal se encuentra en  reposo sobre una superficie plana   y horizontal. Después es atraída por  dos imanes colocados a su alrededor. Y nos dicen que: La fuerza del primer imán sobre la bola es de 5 N. Después nos dicen: La fuerza del segundo imán sobre la bola es de 3 N   en una dirección que tiene una rotación de  100 a partir de la fuerza del primer imán. Y podemos ver un dibujo por aquí. Esta es  la fuerza del primer imán, que es de 5 N,   y después la fuerza del segundo imán  es de 3 N en un ángulo de 100 grados,   un ángulo de rotación de 100 grados a  partir de la fuerza del primer imán. Y nos hacen un par de preguntas interesantes. ¿Cuál es la fuerza combinada de las  fuerzas de atracción de los imanes? Redondea tu respuesta a la décima  más cercana. Puedes redondear los   valores intermedios a la centésima más cercana. Además nos dicen: ¿Cuál es la dirección de la fuerza  de atracción combinada de los imanes,   en relación con la dirección de la  fuerza de atracción del primer imán? Redondea tu respuesta al entero  más cercano. Puedes redondear los   valores intermedios a la centésima más cercana. Así que te invito a que pauses este video   y que lo intentes por tu cuenta  antes de que trabajemos juntos. Muy bien, ahora trabajemos juntos. Lo que realmente nos dicen es que, si  tomamos la suma de estos dos vectores,   ¿cuál es el vector de la fuerza resultante?,  ¿cuál va a ser la magnitud del vector de   la fuerza resultante?, y ¿cuál va a ser la  dirección del vector de la fuerza resultante? Bueno, hay dos maneras de abordar esto.  Podríamos separar cada uno de estos vectores   en sus respectivas componentes, luego sumar  sus respectivas componentes, y después de   esa suma encontrar la magnitud y la dirección  resultante. Y ya lo hemos hecho en otros videos. O podemos trabajar en una aproximación  geométrica. Así que esto es lo que voy a hacer. Y para ayudarnos con esto, vamos a trabajar en  lo que conocemos como la regla del paralelogramo,   que básicamente es la misma idea que la suma de  vectores uniendo el punto final con el inicial. Podemos tomar el vector 3 N y desplazarlo  de tal forma que su punto inicial quede en   el punto final del vector 5 N, y se vea  más o menos así. Este vector es de 3 N. Y también vamos a hacerlo al revés.  Podemos empezar en el vector de 3 N   y colocar en su punto final el punto  inicial del vector desplazado de 5 N,   de esta forma. Puedes sumar en ambas direcciones,  y de cualquier forma en que lo veamos, cuando   empiezas en los puntos iniciales y llegas  a los puntos finales del segundo vector,   vas a tener una fuerza resultante que se ve  así, que es la diagonal de este paralelogramo. Aquí la tienes... así que  llamémosla nuestro vector de fuerza. Y podemos encontrar la longitud de esta diagonal,  que será la magnitud de este vector de fuerza. Ahora, ¿cómo podemos encontrarla? Bueno, pensemos geométricamente,   ¿qué más sabemos de lo que tenemos aquí? Bueno, este es un paralelogramo. Así que, si  este es un ángulo de 100 grados justo aquí,   entonces este ángulo también tiene 100 grados. Por otra parte, también sabemos que estos otros  dos ángulos opuestos tienen la misma medida.   Y además sabemos que la suma de todos los  ángulos de un cuadrilátero serán 360 grados. Así que, si estos dos suman 200 grados,  entonces nos quedan 160 grados más para   dividir entre este ángulo y este otro.  Así que podemos concluir que este ángulo   es de 80 grados y este también es de  80 grados. Y, ¿cómo nos ayuda esto? Bueno, conocemos la longitud de este  lado, conocemos la longitud de este otro,   conocemos el ángulo entre ellos y lo que queremos   saber es la longitud del lado que es  opuesto a este ángulo de 80 grados. Y tal vez recuerdes la ley de cosenos.  Siempre imagino la ley de cosenos como   una adaptación del teorema de Pitágoras para  poder trabajar con triángulos no rectángulos. La ley de cosenos nos dice que esta magnitud,  vamos a escribirlo, la magnitud de este vector,   el cual es la longitud de esta diagonal, será  igual a la raíz cuadrada de este lado al cuadrado,   déjame escribirlo, 3 al cuadrado, más este otro  lado al cuadrado, es decir 5 al cuadrado menos   2 veces el primer lado, que es 3, por este  otro lado, por 5, por el coseno de 80 grados. Así que saquemos la calculadora para  encontrar esta magnitud. Empezaré con   el coseno de 80 grados y esto lo multiplicaré  por… parece ser 30. Entonces por 30 es igual   a esto. Le ponemos el signo negativo, y  a esto le sumaremos 25 y 9, que es 34.  E ntonces más 34 es igual a esto. Y ahora tomaremos la raíz  cuadrada de esto. Y nos dicen:   “redondea tu respuesta a la décima más  cercana”. Entonces podemos redondear   esto a aproximadamente 5.4. Así  que esto es aproximadamente 5.4 N. Ahora nos preguntan: ¿Cuál es la dirección de  la fuerza de atracción combinada de los imanes,   en relación con la dirección de la  fuerza de atracción del primer imán? Realmente lo que queremos hacer es encontrar  este ángulo de aquí. Llamémosle theta. Ahora bien, sabemos cuál es el valor de su   lado opuesto. Así que tal vez  podamos usar la ley de senos. La ley de senos nos dice que el seno  de theta entre la longitud de su lado   opuesto es igual a… y tomemos otro ángulo que  conozcamos. Es igual al seno de este ángulo,   el seno de 80 grados entre la longitud del  lado opuesto, que es aproximadamente 5.4. Así que, si queremos despejar a theta,  necesitamos multiplicar ambos lados por   3. Entonces nos quedará que el seno de theta es  igual a 3 veces el seno de 80 grados entre 5.4. Y después podemos decir que theta es  igual al seno inverso de todo esto,   3 veces el seno de 80 grados entre 5.4. Entonces calcularemos el seno de 80 grados,   lo multiplicaremos por 3 y  después lo dividiremos entre 5.4. Obtenemos este resultado y después calcularemos el   seno inverso de todo esto y lo vamos  a redondear al entero más cercano. Esto es aproximadamente 33 grados. Cuando aplicas la ley de senos,   es posible que además estés trabajando  un ángulo obtuso y al realizar todo este   procedimiento obtengas el ángulo agudo.  Entonces tendrías que hacer un ajuste Pero este no es el caso, entonces sabemos  que theta es aproximadamente 33 grados. Así que ya está, ahora sabemos la magnitud  de la fuerza magnética y sabemos que forma   un ángulo de aproximadamente 33 grados en  dirección de la fuerza del primer imán.