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Precálculo
Curso: Precálculo > Unidad 6
Lección 2: Componentes de los vectoresIntroducción a los componentes de los vectores
Los vectores son cantidades que tienen magnitud y dirección. En el plano bidimensional, podemos describirlos de una manera equivalente, al pensar en los cambios en x y y desde la cola a la cabeza del vector. Creado por Sal Khan.
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- es necesario que para calcular el angulo que el señala siempre tenemos que usar trigonometría y geometría?(2 votos)
Transcripción del video
En otros videos hemos visto que es posible
definir completamente un vector si tenemos una magnitud y una dirección, y… ¡ojo!,
para definirlo se necesitan ambas. Por aquí tenemos un vector definido justo
así. La magnitud de este vector A es igual a tres unidades, y se denotan con estas
líneas paralelas de aquí en ambos lados, que parece como un valor absoluto doble. De esta
forma se representa la magnitud del vector A. Y también podemos especificar la magnitud de forma visual asegurándonos que la longitud de esta
flecha vector sea de tres unidades de largo. También tenemos su dirección: podemos
ver que la dirección del vector A es de 30 grados en sentido contrario a
las agujas del reloj respecto al este. Ahora en este video, vamos a hablar de otra manera de especificar o definir un vector. Y lo
haremos mediante el uso de componentes. Lo primero que vamos a hacer es
pensar en la cola y en la cabeza de este vector. ¿Cuál es el cambio en
x cuando vamos de la cola a la cabeza? Podemos ver que el cambio en x será ese de aquí.
Vamos a ir de este valor de x a este valor de x. Y luego pensemos en el cambio en y. Si
vamos desde aquí abajo hasta acá arriba, entonces podemos especificar
el cambio en y de esta forma. Así que permíteme rotularlos. Este es el
cambio en x, y este es el cambio en y. Pensémoslo de esta forma, si alguien nos
dice el cambio en x y el cambio en y, podríamos reconstruir el vector si empezamos en
este punto, y tomamos en cuenta este cambio en x, y a continuación, tomamos
en cuenta este cambio en y y, así, definimos la punta del
vector en relación con la cola. La notación para esto es la siguiente:
decimos que el vector A es igual a, abrimos paréntesis, y tendremos el
cambio en x coma, el cambio en y. Y así, si quisiéramos obtener las coordenadas
concretas de este vector en particular, sabemos que su longitud es
tres. Su magnitud es tres. Y además sabemos que nos movemos primero de forma
horizontal y luego hacia arriba y hacia abajo. Por lo tanto, este es un triángulo rectángulo. Y
así podemos usar lo que ya sabemos de geometría. No te preocupes si necesitas un repaso
de estos temas, solo vamos a usar un poco de geometría o de trigonometría para
decir que, si conocemos este ángulo, y sabemos la longitud de esta hipotenusa,
entonces este lado que es opuesto al ángulo de 30 grados va a ser la mitad de la
hipotenusa, por lo que va a ser 3/2. Y que el cambio en x va a ser la raíz
cuadrada de tres por 3/2. Así que va a ser tres por la raíz cuadrada de tres sobre dos. Así que aquí arriba, podemos escribir
que nuestra componente x es tres por la raíz cuadrada de tres sobre
dos. Y que la componente y es 3/2. Ahora bien, sé que muchos de ustedes podrían
estar pensando que esto se parece mucho a las coordenadas del plano cartesiano, donde esta sería
la coordenada x y esta sería la coordenada y. Pero cuando se trata de vectores, esa
no es exactamente la interpretación. Si la cola del vector estuviera
en el origen justo aquí, entonces su cabeza estaría en estas
coordenadas en el plano cartesiano. Pero sabemos que un vector no se define por su
posición, es decir, por la posición de la cola. Podríamos desplazar este vector a cualquier
lugar y seguiría siendo el mismo vector. Puede empezar donde sea. Así que cuando
usas esta notación en un contexto vectorial, estas no son coordenadas x y coordenadas y. Sino que es nuestro cambio
en x, y nuestro cambio en y. Hagamos un ejemplo más para mostrar que en
realidad podemos hacer el proceso inverso. Imagina que definimos un vector b, y que su componente x es raíz cuadrada de dos.
Y que su componente y es raíz cuadrada de dos. Así que pensemos en cómo se vería
ese vector. Si esta es su cola, y su componente x que es su cambio en
x es raíz cuadrada de dos, entonces puede ser algo como esto. Así que tenemos el
cambio en x igual a la raíz cuadrada de dos. Y luego su componente y también sería
la raíz cuadrada de dos. Así que podemos escribir que nuestro cambio en y,
por aquí, es raíz cuadrada de dos. Y por lo tanto, el vector se verá así.
Empieza por aquí y luego va hasta acá, y podemos usar un poco de geometría para calcular
la magnitud y la dirección de este vector. Puedes usar el teorema de Pitágoras para saber que esto al cuadrado más esto al cuadrado
va a ser igual a esto al cuadrado. Y si hacemos los cálculos, obtendríamos
que esto tiene una longitud de dos, lo que significa que la magnitud
del vector b es igual a dos. Y si quisieras calcular este ángulo justo aquí, podrías hacer un poco de trigonometría o
incluso un poco de geometría y sabemos que este ángulo de aquí es un ángulo recto, y
que este lado y ese lado tienen la misma longitud. Así que estos ángulos van a tener
también la misma medida igual a 45 grados. De esta forma, también podemos
especificar la dirección, 45 grados en sentido contrario a las
agujas del reloj respecto al Este. Como habrás notado, estas son dos maneras
equivalentes de representar un vector.