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Estadística de secundaria

Curso: Estadística de secundaria > Unidad 2

Lección 3: Resumen de la dispersión de distribuciones
Matemáticas
Estadística de secundaria
Distribuciones de datos
Resumen de la dispersión de distribuciones
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Calcular la desviación estándar paso a paso

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Introducción

En este artículo aprenderemos a calcular la desviación estándar "a mano".
Curiosamente, ningún estadístico calcularía la desviación estándar a mano en el mundo real. Los cálculos requeridos son un tanto abstractos y el riesgo de cometer un error es alto. Asimismo, calcularla a mano es lento, muy lento. Es por eso que los estadísticos confían en hojas de cálculo y programas de computadora para procesar grandes cantidades de números.
Entonces ¿cuál es el punto de este artículo? ¿Por qué estamos ocupando tiempo en aprender a realizar un proceso que ni los estadísticos usan? La respuesta es que aprender a realizar este proceso a mano nos da una idea de cómo funciona realmente la desviación estándar. Este conocimiento es muy valioso. En lugar de ver a la desviación estándar como un número mágico que nuestras hojas de cálculo o programas de computadora nos dan, podremos explicar de dónde sale ese número.

Panorama general sobre cómo calcular la desviación estándar

La fórmula de la desviación estándar (DE) es:
start text, D, E, end text, equals, square root of, start fraction, sum, start subscript, end subscript, start superscript, end superscript, open vertical bar, x, minus, mu, close vertical bar, squared, divided by, N, end fraction, end square root
donde sum significa "suma de", x es un valor de un conjunto de datos, mu es la media del conjunto de datos y N es el número de datos.
Puede parecer que la fórmula de la desviación estándar es confusa, pero tendrá sentido después de que la desglosemos. En las secciones subsecuentes explicaremos un ejemplo interactivo, paso a paso. Aquí hay una rápida vista previa de los pasos que estamos a punto de seguir:
Paso 1: calcular la media.
Paso 2: calcular el cuadrado de la distancia a la media para cada dato.
Paso 3: sumar los valores que resultaron del paso 2.
Paso 4: dividir entre el número de datos.
Paso 5: sacar la raíz cuadrada.

Una observación importante

La fórmula anterior es para encontrar la desviación estándar de una población. Si estás tratando con una muestra, querrás usar una fórmula ligeramente diferente (abajo), en la que se utiliza n, minus, 1 en lugar de N. Pero, la idea de este artículo es que te familiarices con el proceso del cálculo de la desviación estándar, que es básicamente el mismo independientemente de qué fórmula uses.
start text, D, E, end text, start subscript, start text, m, u, e, s, t, r, a, end text, end subscript, equals, square root of, start fraction, sum, start subscript, end subscript, start superscript, end superscript, open vertical bar, x, minus, x, with, \bar, on top, close vertical bar, squared, divided by, n, minus, 1, end fraction, end square root

Ejemplo interactivo paso a paso para calcular la desviación estándar

Primero necesitamos un conjunto de datos con el cual trabajar. Elijamos algo pequeño que no nos abrume por el número de datos. Este es uno bueno:
6, comma, 2, comma, 3, comma, 1

Paso 1: obtener start color #e07d10, mu, end color #e07d10 en square root of, start fraction, sum, start subscript, end subscript, start superscript, end superscript, open vertical bar, x, minus, start color #e07d10, mu, end color #e07d10, close vertical bar, squared, divided by, N, end fraction, end square root

En este paso calculamos la media del conjunto de datos, la cual está representada por la variable mu.
Rellena el espacio en blanco.
mu, equals
  • Tu respuesta debe ser
  • un entero, como 6
  • una fracción propia simplificada, como 3, slash, 5
  • una fracción impropia simplificada, como 7, slash, 4
  • un número mixto, como 1, space, 3, slash, 4
  • un decimal exacto, como 0, point, 75
  • un múltiplo de pi, como 12, space, start text, p, i, end text o 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text

Paso 2: obtener start color #e07d10, open vertical bar, x, minus, mu, close vertical bar, squared, end color #e07d10 en square root of, start fraction, sum, start subscript, end subscript, start superscript, end superscript, start color #e07d10, open vertical bar, x, minus, mu, close vertical bar, squared, end color #e07d10, divided by, N, end fraction, end square root

En este paso, calculamos la distancia de cada dato a la media (es decir, las desviaciones) y elevamos cada una de esas distancias al cuadrado.
Por ejemplo, el primer dato es 6 y su media es 3, por lo que la distancia entre ellos es igual a 3. Elevarla al cuadrado nos da 9.
Completa la tabla siguiente.
Dato xCuadrado de la distancia a la media open vertical bar, x, minus, mu, close vertical bar, squared
69
2
  • Tu respuesta debe ser
  • un entero, como 6
  • una fracción propia simplificada, como 3, slash, 5
  • una fracción impropia simplificada, como 7, slash, 4
  • un número mixto, como 1, space, 3, slash, 4
  • un decimal exacto, como 0, point, 75
  • un múltiplo de pi, como 12, space, start text, p, i, end text o 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text
3
  • Tu respuesta debe ser
  • un entero, como 6
  • una fracción propia simplificada, como 3, slash, 5
  • una fracción impropia simplificada, como 7, slash, 4
  • un número mixto, como 1, space, 3, slash, 4
  • un decimal exacto, como 0, point, 75
  • un múltiplo de pi, como 12, space, start text, p, i, end text o 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text
1
  • Tu respuesta debe ser
  • un entero, como 6
  • una fracción propia simplificada, como 3, slash, 5
  • una fracción impropia simplificada, como 7, slash, 4
  • un número mixto, como 1, space, 3, slash, 4
  • un decimal exacto, como 0, point, 75
  • un múltiplo de pi, como 12, space, start text, p, i, end text o 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text

Paso 3: obtener start color #e07d10, sum, open vertical bar, x, minus, mu, close vertical bar, squared, end color #e07d10 en square root of, start fraction, start color #e07d10, sum, start subscript, end subscript, start superscript, end superscript, open vertical bar, x, minus, mu, close vertical bar, squared, end color #e07d10, divided by, N, end fraction, end square root

El símbolo sum significa "suma", por lo que en este paso sumamos los cuatro valores que calculamos en el paso 2.
Rellena el espacio en blanco.
sum, open vertical bar, x, minus, mu, close vertical bar, squared, equals
  • Tu respuesta debe ser
  • un entero, como 6
  • una fracción propia simplificada, como 3, slash, 5
  • una fracción impropia simplificada, como 7, slash, 4
  • un número mixto, como 1, space, 3, slash, 4
  • un decimal exacto, como 0, point, 75
  • un múltiplo de pi, como 12, space, start text, p, i, end text o 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text

Paso 4: obtener start color #e07d10, start fraction, sum, open vertical bar, x, minus, mu, close vertical bar, squared, divided by, N, end fraction, end color #e07d10 en square root of, start color #e07d10, start fraction, sum, start subscript, end subscript, start superscript, end superscript, open vertical bar, x, minus, mu, close vertical bar, squared, divided by, N, end fraction, end color #e07d10, end square root

En este paso dividimos el resultado del paso 3 entre la variable N, que es el número de datos.
Rellena el espacio en blanco.
start fraction, sum, open vertical bar, x, minus, mu, close vertical bar, squared, divided by, N, end fraction, equals
  • Tu respuesta debe ser
  • un entero, como 6
  • una fracción propia simplificada, como 3, slash, 5
  • una fracción impropia simplificada, como 7, slash, 4
  • un número mixto, como 1, space, 3, slash, 4
  • un decimal exacto, como 0, point, 75
  • un múltiplo de pi, como 12, space, start text, p, i, end text o 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text

Paso 5: calcular la desviación estándar square root of, start fraction, sum, start subscript, end subscript, start superscript, end superscript, open vertical bar, x, minus, mu, close vertical bar, squared, divided by, N, end fraction, end square root

¡Ya casi terminamos! Solo saca la raíz cuadrada de la respuesta obtenida en el paso 4 y listo.
Rellena el espacio en blanco.
Redondea tu respuesta a la centésima más cercana.
start text, D, e, s, v, i, a, c, i, o, with, \', on top, n, space, e, s, t, a, with, \', on top, n, d, a, r, end text, equals, square root of, start fraction, sum, start subscript, end subscript, start superscript, end superscript, open vertical bar, x, minus, mu, close vertical bar, squared, divided by, N, end fraction, end square root, approximately equals
  • Tu respuesta debe ser
  • un entero, como 6
  • una fracción propia simplificada, como 3, slash, 5
  • una fracción impropia simplificada, como 7, slash, 4
  • un número mixto, como 1, space, 3, slash, 4
  • un decimal exacto, como 0, point, 75
  • un múltiplo de pi, como 12, space, start text, p, i, end text o 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text

¡Sí! ¡Lo logramos! Calculamos satisfactoriamente la desviación estándar de un conjunto de datos pequeño.

Resumen de lo que hicimos

Descompusimos la fórmula en cinco pasos:
Paso 1: calcular la media mu.
mu, equals, start fraction, 6, plus, 2, plus, 3, plus, 1, divided by, 4, end fraction, equals, start fraction, 12, divided by, 4, end fraction, equals, start color #11accd, 3, end color #11accd
Paso 2: elevar al cuadrado la distancia entre cada dato y la media open vertical bar, x, minus, mu, close vertical bar, squared.
xopen vertical bar, x, minus, mu, close vertical bar, squared
6open vertical bar, 6, minus, start color #11accd, 3, end color #11accd, close vertical bar, squared, equals, 3, squared, equals, 9
2open vertical bar, 2, minus, start color #11accd, 3, end color #11accd, close vertical bar, squared, equals, 1, squared, equals, 1
3open vertical bar, 3, minus, start color #11accd, 3, end color #11accd, close vertical bar, squared, equals, 0, squared, equals, 0
1open vertical bar, 1, minus, start color #11accd, 3, end color #11accd, close vertical bar, squared, equals, 2, squared, equals, 4
Steps 3, 4, and 5:
DE=∑∣x−μ∣2N=9+1+0+44=144        Suma el cuadrado de las distancias (paso 3).=3.5        Divide entre el nuˊmero de datos (paso 4).≈1.87        Saca la raıˊz cuadrada (paso 5).\begin{aligned} \text{DE} &= \sqrt{\dfrac{\sum\limits_{}^{}{{\lvert x-\mu\rvert^2}}}{N}}\\\\\\\\ &= \sqrt{\dfrac{9 + 1 + 0 + 4}{4}} \\\\\\\\ &= \sqrt{\dfrac{{14}}{4}} ~~~~~~~~\small \text{Suma el cuadrado de las distancias (paso 3).} \\\\\\\\ &= \sqrt{{3.5}} ~~~~~~~~\small \text{Divide entre el número de datos (paso 4).} \\\\\\\\ &\approx 1.87 ~~~~~~~~\small \text{Saca la raíz cuadrada (paso 5).} \end{aligned}

Prueba tú mismo

Aquí tienes un recordatorio de la fórmula:
start text, D, E, end text, equals, square root of, start fraction, sum, start subscript, end subscript, start superscript, end superscript, open vertical bar, x, minus, mu, close vertical bar, squared, divided by, N, end fraction, end square root
Y aquí hay un conjunto de datos:
1, comma, 4, comma, 7, comma, 2, comma, 6
Calcula la desviación estándar del conjunto de datos.
Redondea tu respuesta a la centésima más cercana.
start text, D, e, s, v, i, a, c, i, o, with, \', on top, n, space, e, s, t, a, with, \', on top, n, d, a, r, end text, equals
  • Tu respuesta debe ser
  • un entero, como 6
  • una fracción propia simplificada, como 3, slash, 5
  • una fracción impropia simplificada, como 7, slash, 4
  • un número mixto, como 1, space, 3, slash, 4
  • un decimal exacto, como 0, point, 75
  • un múltiplo de pi, como 12, space, start text, p, i, end text o 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text

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