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Transcripción del video

la primera vez que te encuentras con combinaciones y permutaciones cuesta bastante trabajo y en estos casos lo que yo he visto es que lo mejor es hacer muchísimos ejemplos así es que aquí vamos a ver otra vez un ejemplo de permutaciones y combinaciones pero vamos a ir un poquito más allá vamos a empezar repasando lo que vimos y voy a seguir utilizando el ejemplo de las personas y las sillas pero en los próximos vídeos vamos a cambiar de ejemplo y ya no van a ser personas sentando sencillas por el momento tenemos a las personas a d d efe y únicamente tenemos cuatro sillas la silla 12 y 4 y bueno eso ya lo hemos visto un montón de veces para sacar el número de permutaciones de seis personas en cuatro sillas lo que hacemos es poner aquí cuántas personas podemos poner en la silla uno podemos poner seis personas para cada uno de esos escenarios tenemos cinco personas que podrían sentarse aquí porque una de las seis personas ya está sentada en la silla 1 y para estos 35 posibles escenarios tenemos 4 posibilidades porque hay 4 personas que se podrían sentar aquí y luego para estos 120 escenarios tenemos tres opciones que es el número de personas que podrían sentarse aquí así es que 6 por 5 por 4 por 3 es el número de permutaciones y como vimos en el vídeo de la fórmula para las permutaciones esto de aquí se puede escribir como 6 factorial que bueno todavía no termino pero el 6 factorial es 6 por 5 por 4 por 3 por 2 por 1 ahora en esta multiplicación en este factorial realmente con lo que nos queremos que ver es con los primeros 4 factores que no queremos esta parte de aquí y lo que hacemos para quitar estos actores que no nos sirven es decir ok queremos los primeros cuatro lugares entonces vamos a dividir entre 6 - 4 y tomamos el factorial y este factorial de aquí lo que hace es empezar a multiplicar a partir de aquí es un 6 menos 4 2 factorial 2 por 1 y entonces este 2 por 1 se cancela con este 2 por 1 y nos queda 6 por 5 por 4 por 3 que es el número de permutaciones de seis personas en cuatro lugares que yo estoy fue un repaso rápido de la fórmula para las permutaciones que si las recordamos aquí tenemos las permutaciones de n k y la fórmula nos dice que la cantidad de permutaciones de n cosas en cada lugar es es en el factorial entre n menos k factorial solo que de cambio le pongo colores adecuados esta acaba en verde y la cantidad de cosas las estamos poniendo con este rosa y luego nos fuimos el mundo de las combinaciones y en las combinaciones no nos importa el orden en el que están sentadas las personas aquí en las permutaciones si nos importa mucho el orden de hecho si tenemos por aquí a a b y de esta es una permutación pero si tenemos de a b c esta de aquí es otra permutación aunque ya estamos contando a estos dos como dos permutaciones distintas aunque son dos de las cosas que estamos contando aquí que por cierto este número de aquí es treinta por doce y eso es 360 360 y de estos 360 esta es una permutación y esta es otra permutación pero en el mundo de las combinaciones como aquí tenemos exactamente las mismas personas sentadas estos dos contarían únicamente como una combinación justo porque no nos importa el orden en el que están sentadas entonces cuando tenemos las combinaciones n en cada cuando tenemos n personas de las cuales vamos a escoger a cada personas para que se sienten en algún lugar y queremos saber cuántas combinaciones de cada personas podemos obtener lo que hacemos es buscar cuántas permutaciones de n en acá tenemos o sea tenemos que poner por aquí n factorial entre n menos k factorial y luego tenemos que dividir entre la cantidad de formas en las que podemos ordenar a las personas sentadas y otra vez yo me acuerdo que la primera vez que aprendí esto de las combinaciones me costó un montón de trabajo que ellas y es que tómatelo con calma si te parece muy confuso al principio piénsalo y vas a ver cómo eventualmente te va a aparecer súper claro porque ya que escogimos cuáles son las personas que se van a sentar las permutaciones están tomando en cuenta todas las formas en las que se pueden ordenar esas y nosotros en las combinaciones queremos que todas estas permutaciones cuenten como un solo objeto entonces por eso tenemos que dividir entre la cantidad de formas de arreglar a las mismas cuatro personas o bueno más bien la cantidad de formas de ordenar a cada personas sentadas así es que algo que tenemos que saber es cuál es el número de formas por mes de ordenar ordenar acá cosas cosas acá lugares y te recomiendo que lo pongas una pausa y lo pienses porque de hecho esto de aquí es lo que vimos en el primer vídeo de permutaciones ok bueno entonces tenemos acá lugares lugar 1 lugar 2 lugar 3 y así nos seguimos hasta que llegamos al lugar acá y nos preguntamos cuántas cosas podemos poner en el lugar número uno pues tenemos que cosas así es que tenemos acá posibilidades y luego cuántas opciones tenemos para el lugar 2 pues ya pusimos una cosa en el lugar 1 así es que nos quedan que a menos un opciones y por aquí tenemos acá menos dos cosas si nos seguimos hasta que llegamos al lugar acá y qué opciones tenemos aquí pues ya pusimos casi todas las cosas solo nos queda una cosa tenemos una opción ya ver qué es lo que nos quedó pues lo que tenemos aquí es que porque al menos uno porque al menos dos y así hasta llegar al 1 entonces esto de aquí es k factorial la cantidad de formas de ordenar k cosas en qué lugares es k factorial la cantidad de formas de ordenar cuatro cosas en cuatro lugares es 4 factorial la cantidad de permutaciones de tres cosas en tres lugares es 3 factorial y así sucede con todos los números así es que por aquí tenemos que dividir entre cada factorial y entonces lo que nos queda es n factorial en el factorial entre cada factorial que factorial por n k factorial n - k factorial y listo esta es la fórmula de las combinaciones de nn k mccray donde de un grupo de n cosas escogemos k sin nada y ya esto de aquí también se le conoce como la fórmula de los coeficientes binomial es y sobre todo en estos casos se los denota como n en cada y a veces se les conoce como de n escoge que por las combinaciones de n en k o simplemente n en k pero bueno aquí ya lo vimos todo de forma muy abstracta así es que regresemos a nuestro ejemplo con seis personas y cuatro lugares lo que vimos al principio es que si tenemos seis personas y queremos sentar las en orden en cuatro sillas tenemos 360 formas de hacerlo ahora y no nos importa el orden en el que se sientan las personas si simplemente queremos escoger a cuatro personas entonces lo que necesitamos son las combinaciones de seis en cuatro que queremos las combinaciones tenemos un grupo de seis personas y sólo queremos escoger a cuatro que se puedan sentar ok si tenemos seis personas cuantas combinaciones de cuatro personas podemos formar y otra forma de ver esto es poner por aquí las combinaciones de seis en cuatro o sea si tenemos seis personas cuántas formas hay de escoger a cuatro de esas personas mccray de seis escojo cuatro y bueno entonces aquí tenemos que volver a pensar todo lo que pensamos aquí o aplicar la fórmula pero te repito eso de aplicar la fórmula no es tan buena idea de hecho yo cuando tengo que acordarme de esta fórmula y ha pasado mucho tiempo en realidad en lugar de irme a buscar esta fórmula en algún lugar vuelvo a pensar ok que es lo que quiero y hago todo este razonamiento otra vez porque simplemente memorizar esta fórmula es una forma de no aprenderla realmente pero ahorita que ya sabemos qué es lo que hay de fondo las combinaciones de seis personas escoger cuatro son n factorial pero bueno aquí ya no tenemos en el factorial tenemos un 6 factorial ok tenemos seis personas 6 factorial entre la cantidad de lugares factorial 4 factorial por la cantidad de personas menos la cantidad de lugares menos 4 factorial y entonces aquí lo que tenemos es 6 factorial entre 4 factorial y esto de aquí que bueno es esto de aquí que proviene de esta parte de las permutaciones pues es 6 menos 4 2 factoriales y desarrollamos estos factoriales y nos queda 6 por 5 por 4 por 3 por 2 por 1 entre 4 factorial que es 4 por 3 por 2 por 1 y luego por dos factores que es 2 por 1 y entonces esta parte de aquí 4 por 3 por 2 por 1 se cancela con esta parte de aquí 4 por 3 por 2 por 1 por aquí este 1 no aporta nada a la multiplicación y aquí tenemos un 6 que puede ser dividido entre 2 entonces 6 entre 2 nos queda 3 y lo que nos queda es 3 por 5 que es 15 great tenemos 15 combinaciones la cantidad de combinaciones de seis personas en cuatro lugares es 15 por aquí lo que obtuvimos es que la cantidad de permutaciones la cantidad de formas de acomodar a seis personas en cuatro lugares tomando en cuenta el orden en el que se sientan es 360 permutaciones pero las combinaciones de seis en cuatro son únicamente 15 y eso sucede porque de las mismas cuatro personas las permutaciones están tomando en cuenta todas las formas de ordenarse mientras que para las combinaciones siempre que sean las mismas 4 personas no importa cómo se sienten tenemos un mismo objetos es una misma combinación de cuatro personas entonces si tenemos una combinación de cuatro personas ya vimos que son cuatro factorial permutaciones para encontrar la cantidad de combinaciones de seis en cuatro tomamos las permutaciones de seis en cuatro y las dividimos entre 4 factorial porque para cada grupo de 4 personas tenemos 4 factorial permutaciones pero una sola combinación ok es este mismo 4 factorial de aquí y este mismo 4 por 3 por 2 por 1 y como estamos dividiendo entre 4 factorial que es 24 entonces por eso nos queda 15 ok tal cual lo que hacemos es tomar el número de permutaciones 360 y dividirlo entre 24 y nos quedan 15 combinaciones y finalmente de dónde viene esta fórmula pues este pedazo de aquí viene directamente de las permutaciones que realmente solo aporta el 6 por 5 por 4 por 3 que realmente lo que hace es de estas seis personas escoger y ordenar 4 y lo último que nos falta es este 4 factorial que lo que nos está diciendo es que realmente no le importa el orden lo único que queremos es d a seis personas escoger cuatro estamos dividiendo entre el número de formas en los que podemos ordenar a cuatro cosas en cuatro espacios ok número de permutaciones entre número de formas de ordenar a cuatro cosas en cuatro lugares