Media y varianza de la distribución de Bernoulli. Ejemplo

supongamos que puedo hoy entrevistarme con cada una de las personas de una población lo cual generalmente no es algo práctico y generalmente no lo podemos hacer pero supongamos que puedo hacerlo entonces llegó y les pregunto qué opinan del presidente y tienen dos opciones pueden tener una opinión desfavorable del presidente o pueden tener una opinión favorable del presidente digamos que después de que le pregunté a cada una de las personas de la población 40 por ciento tienen una opinión desfavorable y 60% tiene una opinión favorable entonces a ver déjame de verdad aquí dibujo la función de distribución de esta variable tiene únicamente dos posibles valores puede tener un valor desfavorable o un valor favorable y 40 por ciento tiene una opinión desfavorable aquí vamos a ponerle colores aquí hay 40% con opinión desfavorable bajada 40% 60% tiene una opinión favorable vamos a ponerle el color azul 60 por ciento tiene una opinión favorable del presidente nota que estos dos números suman 100% porque todos los individuos tienen que tener opinión desfavorable o favorable ahora si yo te pidiera que escogiera un individuo de la población al azar y te preguntará qué tipo de opinión deberíamos esperar de esta persona que obtendríamos bueno otra forma de pensar en eso es cuál es la esperanza de esta distribución de esta variable aleatoria ahora para una variable como esta una variable discreta la esperanza es la suma de los valores que pueden tomar por la probabilidad de que tome cada uno de esos valores ahora no podemos tomar uu por la probabilidad de que tome efe por la probabilidad que toma el valor f porque no nos va a dar ningún tipo de número entonces pues tenemos que asignarle algún número alguna efe no digamos que aún le asignamos el número cero y a efe le asignamos el número uno ahora entonces si ya podemos sacar la esperanza y nos la dan un número concreto no bueno a ver la esperanza de esta distribución va a ser igual punto 4 que es la probabilidad que la variable toma el valor 0 por el valor 0 punto 6 que es la probabilidad de que la variable tome el valor 1 por el valor un nuevo lo cual va a ser igual a esto nada más va a ser 0.6 por 1 que es punto 6 entonces a ver la variable no puede tomar el valor punto 0.6 ningún individuo te puede decir 'estoy punto 6 a favor del presidente presidente y tampoco estoy punto 4 en contra cada uno tiene que escoger ya sea favorable o desfavorable nunca vas a encontrar a alguien que te conteste punto 6 siempre vas a obtener o 0 o 1 este es un ejemplo donde la variable aleatoria nunca puede tomar el valor de su esperanza su valor esperado está más o menos por aquí pero obviamente no puede pasar pero sigue siendo la esperanza ahora la razón por la cual esto tiene sentido es que si le preguntas a 100 personas esperas más o menos que 60 personas te digan tengan una opinión favorable 40 por ciento que tenga una opinión desfavorable 40 personas cuál es la varianza de esta variable dilatoria la varianza vamos a escribirla por acá con otro color la varianza es simplemente la podemos ver como la suma de las probabilidades de que la variable tome un valor por la distancia al cuadrado que hay entre ese valor y la esperanza ahora hay únicamente dos valores que puede tomar la variable 0 o 1 entonces la probabilidad de que obtengas 0.4 entonces aquí ponemos punto 4 y luego lo tenemos que multiplicar por la distancia del 0 ahora la esperanza y luego elevarlo al cuadrado entonces 0 - punto 6 0 - puntos después podemos haber puesto puntos 6 0 y después elevarlo al cuadrado pero como estamos elevando al cuadrado da lo mismo ok entonces esta es la diferencia entre el 0 y la esperanza al cuadrado más baja la probabilidad que obtengamos un 13.6 por la distancia de 1 a la media a la esperanza que es punto 6 y después la vamos a elevar al cuadrado también aquí la elevamos al cuadrado entonces saber cuál es este valor esto va a ser punto 4 por punto 6 al cuadrado pero este valor que es negativo que es punto 6 a la hora de llevarlo al cuadrado nos queda lo mismo que punto 6 al cuadrado no que es punto 36 entonces ese valor es punto 36 y después este valor de acá vamos a subrayarlo con otro color entonces aquí nos quedan más puntos 6 por un 9 menos puntos 6 al cuadrado ahora 1 menos puntos 6 es punto 4 que al elevarlo al cuadrado nos queda punto 16 entonces ese valor de aquí es punto 16 no dejen mi calculadora miren qué padre calculadora tengo aquí ponemos la por acá esto va a ser punto 4 por punto 36 más puntos 6 x por punto 16 lo cual es igual a punto 24 bien entonces nuestra desviación estándar es punto 24 0.24 o si quieren pensar en la varianza no esperen se esperen a ver esta esta es la varianza que hay la varianza de 0.24 y la desviación estándar es nada más la raíz de esto que la desviación estándar es la raíz de 0.24 regresemos a la calculadora para ver que sacar la raíz es la raíz de punto 24 es igual a punto 48 9 y un montón de cosas pero bueno mejor redondeamos lo no esto es más o menos no se ha redondeado igual a 0.49 ahora nuestra media nuestra esperanza es 3.6 y está por acá y nuestra desviación estándar es se acerca muchísimo al 5 entonces está más o menos por acá acercándose muchísimo al 1.1 por abajo entonces esta es una desviación estándar hacia arriba y una desviación estándar hacia abajo está como por acá lo cual tiene sentido no es un poco difícil tener una buena intuición con variables aleatorias discretas porque no pueden tomar ninguno de esos valores pero tiene sentido que la distribución esté más cargada hacia la derecha hice este ejemplo con estos números en particular porque quería enseñarles porque es útil esta distribución en el siguiente vídeo haré esto con números generales 60 va a ser p la probabilidad de éxito 40 va a ser un números p la probabilidad de fracaso y obtendremos fórmulas para la esperanza varianza y desviación estándar de esta variable aleatoria que se llama distribución bernouilli que es un caso particular de la distribución binomial