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Usar razonamiento inductivo. Ejemplo 2

Sal usa razonamiento inductivo para encontrar el 50º elemento de un patrón de formas de palillos de dientes. Creado por Sal Khan.

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Transcripción del video

nos preguntan cuántos palillos serán necesarios para formar la 50a figura en esta sucesión y aquí ya nos dibujaron los primeros cuatro términos este es el primero el segundo el tercero y el cuarto la sucesión obviamente continúa lo que nosotros queremos saber es cuántos palillos tiene la figura que estaría en el lugar 50 así que empecemos a analizando qué pasa en esta primera figura en esta primera figura tengo un palillo dos palillos tres bolillos cuatro tornillos cinco palillos y seis palillos así que hay seis palillos bien y ahora en la segunda que pasa pues para empezar tengo una copia de la primera figura esta primera casa la podría pensar como una copia de la primera figura de modo que tengo los seis palillos de la primera 12 4 1 2 3 4 5 6 claro y adicionalmente tengo otros 5 palillos noten que ya no tuve que construir por así decirlo una pared izquierda porque ya podía usar la derecha de la primera casa así que esto no podría pensar como los 6 para niños de la primera figura más los 5 palillos de esta segunda casita y eso me da un total de 11 palillos en esta figura para la tercera de nuevo tengo una copia de la figura número 2 y aquí tengo los 11 palillos 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 y acá tengo otros 5 palillos adicionales y nuevamente no tuve que construir la pared izquierda de la última casita de la 'roja' entonces tengo 11 palillos de la figura número 2 + 5 palillos adicionales 11 5 palillos y eso me da el gran total de 16 palillos así que cada vez que agregó una casita cada vez que avanzó en la sucesión lo que está pasando es que le estoy sumando cinco el número de palillos anterior es decir el término 4 sería 16 más cinco que sería 21 y ustedes pueden checar eso bien entonces volvamos a la pregunta de cuántos palillos se requiere si yo estoy en el enésimo termino en el enésimo termino enésimo término de la sucesión o sea o en la enésima figura entonces yo estoy en el n uno más un término ok porque n es igual a n 11 y porque esto es útil pues ahora puedo decir que si por ejemplo estoy en la figura 2 entonces estoy en la figura 1 más 1 o si estoy en la figura 3 estoy en la figura 2 más 1 lo interesante aquí es que yo podría escribir una fórmula para el número de palillos número de palillos en la enésima figura y palillos cuántos va a ser pues tengo los seis palillos de la primera figura y por cada término que haya avanzado después de la primera figura tengo que sumar 5 palillos así que voy a sumar 5 por n menos 1 gay porque no tengo que volver a contar la primera figura esa ya la tengo entonces esta es una fórmula para el número de palillos o quizás quizás también le sirva a pensarlo de este modo podría imaginar que tengo una figura digamos la figura 0 o el término 0 en mi sucesión y el término 0 solo consiste en un palillo es la pared de izquierda por así decirlo podría pensar en esta pared como esta de modo que si lo pienso así en la enésima figura el número de palillos en la enésima figura en palillos la enésima figura encima figura cuántos van a ser pues tengo un palillo de la figura cero y ahora sí ya que obtengo la pared izquierda no la tengo que construir en el término 1 ni en el término 2 ni en el término 3 porque ya la tengo en el término 0 entonces ahora sólo voy a agregar 5 palillos ahora sí por cada etapa en la que esté ya no necesito n menos uno sino ahora simplemente necesito 5 por n veamos si esto funciona digamos que estoy en el paso 4 tengo uno más cuatro por cinco que es uno más 20 que es 21 que es precisamente esto y coincide también con esta fórmula 6 más 5 por 4 menos 14 menos 1 es 3 por 5 es 15 6 es 21 de hecho estas dos fórmulas son equivalentes pero bueno contestemos la preguntar cuántos palillos se requieren para la 50 va a figurar las 50 kva figura pues voy a tener uno más simplemente sustituyó n igual a 50 así que uno más 50 por 5 y cuánto es esto 50 por 5 es 250 más uno sería 251 y no importa qué fórmula usen de hecho vamos a ver que esta fórmula se reduce a esta y el modo de hacerlo pues simplemente va a ser vamos a expandir esto voy a distribuir al 5 y voy a escribir esto como 6 más 5 por n menos 5 ahora seis menos cinco es simplemente uno y tengo este 5 n así que esta fórmula y esta son la misma pero esta era esta así que las dos fórmulas coinciden no importa cómo lo hagan