Calcular un estadístico t para la pendiente de una recta de regresión

juan obtuvo una muestra aleatoria de datos sobre cuánto tiempo les tomo a 24 estudiantes terminar un juego de reacción y un juego de memoria cronometrados cuando tuvo una relación lineal positiva entre los tiempos de cada tarea a continuación se muestra un ejemplo de los datos recabados estos son los estadísticos recabados del tiempo de reacción y del tiempo de memoria de los juegos después la computadora cálculo una regresión usando los datos recabados supón que se cumplen todas las condiciones para la inferencia calcula el estadístico de prueba que debe usarse para probar la hipótesis nula de que la pendiente de la población en realidad es 0 pausa en el vídeo y traten de responder a esta pregunta antes que nada debemos asegurarnos de que comprendemos lo que está pasando aquí primero analicemos la población es posible que existan algunas relaciones lineales reales en la población en teoría tenemos el tiempo de reacción en el eje x y en el eje y tenemos el tiempo de memoria si pudiéramos graficar todos los datos posibles que podría ser una cantidad casi infinita de datos o lo que sería muy difícil de graficar si lo hiciéramos y resultara que si hay una relación lineal positiva con estos datos y que se vea así podríamos describir esa recta de regresión como ye sombrero igual a un parámetro real de la población que sería la ordenada de origen le llamamos alfa más otro parámetro real de la población que será la pendiente de esta recta de regresión y que llamamos beta x x ahora no sabemos cuál es esta relación lineal entre el tiempo de reacción y el tiempo de memoria pero podemos tratar de estimar la y eso es justo lo que juan quiere hacer así que juan toma una muestra de 24 datos la cual es mucho más fácil de analizar y se puede visualizar en un diagrama de dispersión como este tenemos 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 puntos los cuales ingresamos a un programa de computadora y este nos entrega una recta de regresión que trata de minimizar el cuadrado de la distancia de todos estos puntos y vamos a suponer que la recta regresión se ve así esta recta podemos describirla como un estadístico el cual es una estimación del parámetro real de la ordenada al origen más otra estimación de la pendiente real de esta recta de regresión esta vez es un estadístico que trata de estimar el parámetro real de beta al ingresar estos datos a la computadora obtuvimos estos valores como los parámetros de la recta de regresión a es igual al coeficiente constante y b es igual al coeficiente de reacción que nos dice cuál es el cambio esperado en y por cada cambio incremental en la reacción o cambio en x esta es nuestra estimación de la pendiente de la recta de regresión se pueden imaginar que cada que tomamos una muestra diferente podemos obtener una estimación diferente de esto cuando realizamos estadística inferencial establecemos hipótesis la hipótesis nula y la hipótesis alternativa la hipótesis nula siempre es aquella que indica que no hay cambio alguno y al trabajar con regresiones esto significa que aún cuando sospechamos o vemos en los datos una relación lineal positiva para la hipótesis nula suponemos que no hay una regla lineal aquí la hipótesis nula es que la pendiente real de la recta de regresión lineal real es igual a cero y la hipótesis nula es que la recta de regresión se ve así el valor de ye es independiente del valor de x si sospechamos que si hay una relación lineal positiva entonces la hipótesis alternativa es que el valor de la pendiente es mayor que 0 o si sospechamos que hay relación lineal positiva o negativa la hipótesis nula será que la pendiente es distinta de 0 en el enunciado nos dicen que juan sospecha que hay una relación lineal positiva así que esta es su hipótesis alternativa lo que debemos hacer y que hemos visto muchas veces con anterioridad para probar la hipótesis nula es que debemos encontrar un estadístico de prueba que esté asociado con el estadístico para ver que obtuvimos realmente lo ideal sería tomar esta vez y restarle la beta que suponemos en la hipótesis nula tomamos la pendiente de la recta de regresión obtenida y le restamos la pendiente que suponemos de la hipótesis nula esto lo dividimos entre la desviación estándar de la muestral de la pendiente de la recta de regresión si hacemos esto sería apropiado usar un estadístico z el problema es que no conocemos la desviación estándar de la distribución muestral pero podemos estimar la podemos calcular la pendiente que obtuvimos de la recta de regresión lineal muestral menos la pendiente que suponemos en la hipótesis nula que será igual a cero y podemos calcular el error estándar de la distribución muestral de hecho vemos que la computadora lo hizo por nosotros esto es una estimación de esto conocemos todos estos números pero si usamos una estimación de la desviación estándar de la distribución muestral es apropiado usar un estadístico t como vimos cuando estudiamos estadísticos inferencial es para medias dicho esto pausa en el vídeo y piensen a qué será igual esto pues va a ser igual a la pendiente de la recta de regresión muestral que sabemos vale 14.686 menos el parámetro real de la población que suponemos de la pendiente para la recta de regresión real que suponemos es 0 dividimos esto entre el error estándar qué es 13.329 si hacemos una prueba unilateral tomamos el estadístico t y pensamos en los grados de libertad para poder calcular el valor p cuál es la probabilidad de obtener un resultado así o más alto dt igual a cero ese será nuestro valor p y si resulta estar por debajo de cierto umbral y decimos que eso es poco probable entonces rechazamos la hipótesis nula y se sugiere la alternativa pero no nos piden hacer todo esto solamente nos piden calcular un estadístico de prueba apropiado que es lo que hicimos aquí nos vemos en el siguiente vídeo