Determinar el tamaño de la muestra con base en la confianza y el margen de error

delia desea construir un intervalo z para estimar qué proporción de los miembros de su comunidad están a favor de un incremento de impuestos que genere fondos para las escuelas locales ella requiere un margen de error que no sobrepase el 2% con un nivel de confianza del 95% cuál es el tamaño mínimo de la muestra que se necesita para obtener el margen de error requerido bueno recordemos la forma que tienen los intervalos de confianza y cuál es la parte correspondiente al margen de error así que quiere estimar el valor real de la proporción de la población que está a favor del incremento de impuestos supongamos que son estos de aquí y de hecho este es un valor que ella desconoce por lo que va a tomar una muestra de tamaño en y de hecho el problema en esta ocasión es determinar esta n la n que ya necesita para cumplir con el margen de error requerido y a partir de esta muestra ella va a calcular una proporción muestral que va a ser p sombrero entonces el intervalo que ella va a construir se va a ver de la siguiente forma va a ser p sombrero ya esto le vamos a sumar y restar el valor crítico de la muestra que en este caso va a ser z estrella es decir el valor crítico que corresponden al nivel de confianza del 95% multiplicado por el error estadístico que en este caso ese error va a ser la raíz cuadrada de peso hombre que va a multiplicar a 1 - p sombrero ok y esto dividido entre n y ahora ella quiere que el margen de error no sea mayor que el 2% es decir que toda esta parte de aquí no sea mayor que el 2% por lo tanto va a ser menor o igual al 2% y como hacemos esto bueno lo primero es incorporar a la expresión el 95% del nivel de confianza recuerda el 95% del nivel de confianza significa que si tenemos una distribución normal como esta que estoy dibujando 95% del nivel de confianza significa que el número de desviaciones estándar que requerimos por arriba y por abajo de la media para incluir el 95% del área que tenemos aquí entonces dejamos una cola superior de 2.5 por ciento y lo mismo para la cual la inferior 2.5 por ciento buscamos entonces en una tabla zeta no el 95% sino más bien el porcentaje que tenga una cola del 2.5 por ciento por lo que deberás buscar la correspondiente z al 90 y 7.5 por ciento en general es importante saber que para un nivel de confianza del 95 por ciento el valor crítico correspondiente es y 1.96 es pueden aprenderse este valor por supuesto siempre puedes buscarlo en la tabla zeta pero aquí ya sabemos que esto nos dará 1.96 y por lo tanto este valor crítico es 1.96 ahora que hay con p sombrero bueno no conocemos cuánto vale sombrero pues aún no se ha tomado la muestra y al final de cuentas la pregunta es qué tan grande debe ser la muestra que tomemos hemos dicho que queremos que esto sea menor o igual al 2% todo esto que tengo aquí lo que podemos hacer es elegir una proporción muestral ojo no sabemos cuál es el verdadero valor que vamos a obtener pero podemos elegir el valor que maximicen esta parte de acá dentro pues si maximizamos esto sabemos que estaremos básicamente obteniendo el valor máximo de todo este radical por lo que estaremos seguros así que para obtener el valor máximo de este sombrero es decir la p que maximice este producto bueno podemos aplicar prueba y error no es tan complicado pero podemos observar también que esta es una expresión cuadrática y de aquí vamos a obtener un valor para p para p sombrero de 0.5 quiere insistir en que desconocemos ape sombrero porque de él ya aún no ha tomado la muestra aleatoria para calcular la proporción muestral recuerda queremos el valor de n así que para asegurar se va a considerar cuál es la proporción muestral que proporciona un valor máximo del margen de error entonces va a suponer este valor para intentar calcular n así que de una vez voy a establecer la desigualdad por aquí tengo 1.96 que es el valor crítico x la raíz cuadrada de vamos a suponer 0.5 como la proporción muestral aunque desconocemos aún su valor hasta que no tomemos la muestra pero lo voy a poner 0.5 que multiplica a 1 menos 0.5 lo cual es 0.5 de nuevo ok y esto a su vez está dividido entre n y todo esto va a ser menor o igual al 2% no queremos que este margen de error sea mayor que el 2% así que esto lo voy a poner como un 0.02 el 2% y ahora sólo necesitamos hacer un poco de álgebra para obtener este valor de n esto lo podemos escribir como bueno qué te parece si primero multiplico de ambos lados por uno entre 1.96 para cancelar este de aquí y del otro lado voy a hacer lo mismo y ahora tenemos que de este lado izquierdo este con este se van y me queda simplemente la raíz cuadrada de m bueno aquí tengo 0.5 por 0.5 ya eso le voy a sacar la raíz cuadrada por el cual solamente me quedan 0.5 y esto dividido entre la raíz cuadrada de nm déjame ponerlo y esto va a ser menos o igual que y ahora tengo 0.02 bueno eso lo puedo escribir como 2 sobre 100 ok esto que a su vez está dividido entre 1.96 bueno esto es lo mismo que 2 entre 196 ahora si tomamos el recíproco de ambos lados voy a obtener bueno el recíproco de esto va a ser la raíz cuadrada de n entre 0.5 y del otro lado voy a obtener 196 entre 2 cuantos 196 entre 2 eso es 98 entonces voy a poner 98 y como estoy tomando los recíprocos entonces la desigualdad se voltea esto va a ser mayor o igual que 98 y ahora voy a multiplicar de ambos lados por 0.5 por 0.5 de lado y por 0.5 del lado derecho de tal manera que este y éste se cancelan y me queda simplemente la raíz cuadrada de n esto tiene que ser mayor o igual que 98 por 0.5 eso es 49 ok eso quiere decir que n tiene que ser mayor o igual que 49 elevado al cuadrado y esto cuánto es bueno sabemos que se encuentra el cuadrado es 2500 y va a estar cerca de ese valor así que viendo los incisos podemos darnos cuenta de que la respuesta es el inciso d pero vamos a calcular cuánto es 49 por 49 veamos 9 por 9 81 llevamos 8 9 por 4 es 36 y 8 son 44 y después 4 por 9 36 y llevamos 3 y 4 por 4 16 y 3 es 10 y 9 y si ahora sumamos esto me va a quedar 110 llevamos una 14 y llevábamos unam y 22 mil 401 que es justo el inciso d así que de lujo ya tenemos la respuesta éste es el tamaño mínimo de la muestra que deberá tomar d elia si requiere que su margen de error sea menor que el 2% ahora puede resultar que su margen de error al tomar una muestra de 2.401 si la proporción de la muestra es menor que 0.5 o mayor que 0.5 pudiera ser entonces que su margen de error sea menor que el 2% pero este es el valor que no queríamos rebasar otro punto a tomar en cuenta es que en este caso resultó que el valor de n es un número entero pero si hubiéramos obtenido por ejemplo 2400 1.5 necesitaríamos redondear entonces al siguiente entero ya que el tamaño de la muestra siempre va a ser un número entero bien aquí lo dejamos así que nos vemos en el próximo vídeo