El intervalo de confianza del estadístico t

este es el mismo problema que tuvimos en el último vídeo pero en vez de establecer si los datos proveen suficiente evidencia para concluir que los motores cumplen con los nuevos requerimientos de emisiones y toda la prueba de hipótesis se me ocurrió usar los mismos datos que teníamos en el último vídeo para obtener un intervalo de confianza del 95% así que podemos ignorar esta pregunta podemos ignorar todo esto simplemente estoy usando los mismos datos para obtener un intervalo de confianza el 95% para la media actual de emisiones de este nuevo diseño de motor así que queremos encontrar un intervalo de confianza del 95% un intervalo de confianza del 95% y como puedes imaginar dado que sólo tenemos 10 datos estaremos usando una distribución t y aquí abajo tengo una tabla t y queremos un intervalo de confianza el 95% el cual podemos pensar como un rango de valores t que va contra el 95% o más bien un rango en el cual el 95% de los valores te van ubicarse vamos a pensarlo de esta manera voy a dibujar aquí una distribución de la distribución te es muy parecida a la distribución normal solo que la distribución te tiene colas más gruesas esta cola y esta cola van a ser más gruesas que en la distribución normal entonces lo que queremos encontrar es un intervalo si esta es una distribución normalizada aquí tenemos la media igual a 0 y lo que queremos encontrar es un intervalo que comprende un valor negativo y un valor positivo entre los cuales se va a encontrar el 95% de la probabilidad así esto de aquí tiene que ser 95 % y para establecer cuáles son los valores críticos de t en esta cola y en esta otra cola vamos a una tabla de valores de y vamos a usar la versión de dos colas pues tenemos simetría alrededor del centro entonces viendo en la tabla de dos colas queremos un intervalo confianza del 95% aquí lo tenemos 95% tenemos 10 datos lo cual significa que tenemos 9 grados de libertad así es que 9 grados de libertad para 10 simplemente restamos 10 menos 1 si buscamos entonces en la tabla para una distribución t con 9 grados de libertad tenemos una probabilidad del 95% que esté contenido en un valor crítico de 2.26 2 así que los valores te van a estar comprendidos entre por el lado positivo 2.26 2 y por el lado negativo va a ser menos 2.26 2 lo que esto nos muestra entonces es que los valores comprendidos hasta 2.232 con respecto al centro de la distribución te van a comprender un 95 por ciento de probabilidad así que aquí tenemos nuestra distribución te déjame estipularlo claramente distribución distribución t así que si tú eliges aleatoriamente un valor t a partir de esta distribución tiene una probabilidad del 95% de encontrarse dentro de este rango con respecto a la media tengo que ponerlo de esta manera si elijo un valor de t si elijo un estadístico t al azar vamos a reescribir lo mejor así hay un 95 por ciento de probabilidad que un valor aleatorio dt un valor de la torre el estadístico t sea menor que 2.262 y mayor que mayor que menos 2 - 2.232 hay un 95 por ciento de probabilidad ahora cuando tomamos nuestra muestra aquí también podemos obtener un valor de t a partir de nuestros datos muestran calculamos el valor de la media y eso lo puedes obtener del vídeo anterior o simplemente sumas estos valores y divides entre 10 y obtenemos el valor 17.17 y una desviación estándar de 2.98 el estadístico t que podemos obtener entonces de esta información déjame escribirlo por acá abajo y podemos ver este estadístico t como una muestra aleatoria tomada de esta distribución t una distribución t con 9 grados de libertad y el estadístico t que podemos construir va a estar dado por la media de la muestra que es igual a 17.17 menos la media real de nuestra población o de hecho podríamos decir que es la media real de la distribución muestral de medias que coincide con la media real de la población esa es la media entonces de nuestra población dividida entre la desviación estándar la desviación estándar que es de 2.98 dividido entre la raíz del tamaño de muestra que nuestro caso es 10 esto ya lo hemos hecho varias veces y esto de aquí es el estadístico t así que al tomar esta muestra podemos decir que tomamos aleatoriamente un estadístico de esta distribución t con 9 grados de libertad así que tenemos un 90 por ciento probabilidad que esto de aquí que esto que tenemos aquí va a estar entre menor a 2.232 y mayor a menos 2.262 así el 95 por ciento de probabilidad también aplica aquí tenemos que hacer algo de aritmética calcular estas cosas si es que déjame sacar mi calculadora simplemente saco mi calculadora voy a calcular entonces este denominador que tenemos aquí es igual a 2.98 dividido entre raíz de 10 esto nos da punto 942 3.942 3 lo que voy a hacer entonces es multiplicar ambos lados de esta ecuación por esta expresión que tenemos aquí así que si hago eso si multiplicó este lado de la ecuación de hecho estas son dos ecuaciones o más bien son en realidad dos desigualdades esta cantidad es mayor que esta cantidad y ésta mayor que esta cantidad pero podemos operar a ambos lados de la desigualdad al mismo tiempo así que lo que queremos hacer es multiplicar toda la desigualdad por este valor que tenemos aquí entonces vamos a poner el resultado de este valor por acá a dejar ponerlo por acá sería 2.98 entre raíz de 10 esto es igual a punto 9 42 así que si multiplicamos toda la desigualdad por punto 942 que obtenemos del lado izquierdo tenemos menos 2.262 x x punto 942 y dado que estamos multiplicando toda la desigualdad por un número positivo no se alteran los signos de la desigualdad y esto es menor que estamos multiplicando toda esta expresión por el valor del denominador así es que se cancelan nos queda entonces 17.17 menos la media poblacional y esto es menor que 2.262 x de nueva cuenta punto 942 deje mover un poco hacia la derecha punto 942 y para que quede claro estamos multiplicando los tres lados de esta desigualdad por este valor de aquí esta parte central se cancela así es que si estamos multiplicando por punto 942 esto acá por punto 942 y este acá también por punto 942 este y este son el mismo número es por eso que se cancelan ahora saquemos la calculadora para encontrar cuáles son estos números tenemos que es punto 942 x 2.232 entonces lo que teníamos aquí por 2.262 y esto nos da 2.13 así que este número de aquí va a ser este número de aquí va a ser este lado derecho va a ser 2.13 y este número lado izquierdo es el negativo de ese menos 2.13 aún tenemos las desigualdades así es que esto va a ser menor que 17.17 menos la media que alá es menor que 2.13 lo que voy a hacer ahora es resolver para la media pero no me gusta este signo menos prefiero invertir aquí los signos prefiero tener la media menos 17.17 así es que voy a multiplicar toda la desigualdad por menos 1 si hacemos esto multiplicando toda esta desigualdad por menos 1 este valor de la izquierda esté menos 2.13 se transforma en 2.13 luego este signo de menor que al multiplicarlo por menos uno invierte su sentido por lo cual se transforma en mayor que lo aquí tenemos menos 1000 que se transforma en mi positiva luego éste 17.17 se transforma en menos 17.17 y este signo de menor que se transforma en mayor que 2.13 por menos uno menos 2.13 ya casi acabamos queremos resolver para mí entonces lo que podemos hacer es sumar 17.17 a los tres lados de la desigualdad entonces del lado izquierdo tenemos 2.13 17.17 mayor que mayor que mí 17.17 17.17 simplemente va a ser mi boca lo cual a su vez es mayor que aquí teníamos que esto es mayor que en you que a la vez es mayor que menos 2.13 más 17.17 o una manera más natural de escribir esto dado que tenemos varios signos de mayor que aquí tenemos la cantidad que es mayor perdón esta es la cantidad que es menor y aquí tenemos la cantidad que es mayor vemos que está invertida podemos escribir esta desigualdad en el sentido inverso así que esto lo podemos reescribir de hecho vamos a calcularlo de una vez saquemos la calculadora y tenemos el mayor valor que es 2.13 + 17.17 esto nos da igual resulta que el mayor valor de nuestro intervalo es igual a 19.3 19.3 este valor de aquí va a ser entonces a 19 déjame hacerlo con el mismo color 19.3 que va a ser mayor 19.3 que va a ser mayor que mi y que a su vez es mayor que menos 2.3 17.17 lo cual podemos calcular como 17.17 2.13 lo cual es igual a 15.04 esto es igual 15.04 y recuerda todo esto que hemos hecho lo empezamos considerando con que había un 95 por ciento de probabilidad de que un valor aleatorio el estadístico te cayera dentro de este intervalo teníamos un estadístico de aleatorio hicimos talacha matemática hacia el 95 por ciento de probabilidad de que estos pasos sean verdaderos 95 por ciento de probabilidad de que esto sea verdadero hay un 95 por ciento de probabilidad de que la verdadera media poblacional la cual coincide con la media de la distribución muestral de medias hay un 95 por ciento de la probabilidad o más bien tenemos la confianza que hay un 95 por ciento de probabilidad de que va a caer dentro de este intervalo hemos acabado