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Transcripción del video

vamos a resolver ahora un problema de probabilidad que de hecho fue enviado a sal por alguien que ve el canal en inglés de khan academy así que bien vamos a considerar lo siguiente tenemos 30 personas 30 personas y estas personas son elegidas de manera aleatoria no hay ningún ningún patrón para elegirlas digamos que es un salón de clases o algo así y nos preguntamos bueno cuál es la probabilidad de que al menos dos de ellas al menos dos compartan compartan su cumpleaños compartan cumpleaños fecha de nacimiento cumpleaños y esto es exactamente lo mismo que preguntarse bueno cuál es la probabilidad de que alguien alguien tenga el mismo cumple años el mismo cumpleaños que alguien más alguien más estuvo la roh y bueno este problema si lo atacó como vengo atacando la mayoría de los problemas sería un dolor de cabeza porque fíjense no es la probabilidad de que exactamente dos personas compartan cumpleaños es la probabilidad de que al menos dos comparten cumpleaños entonces podría por ejemplo calcular la probabilidad de que exactamente dos compartirán su cumpleaños luego de que tres compartirán su cumpleaños nuevo de qué exactamente cuatro compartirán su cumpleaños y así hasta 29 y luego 30 sería un dolor de cabeza serían muchísimas cuentas y realmente no quiero hacer eso así que mejor vamos a usar un pequeño truco este truco de hecho es bastante útil imagínense que todos estos son los eventos posibles son todas las posibles combinaciones de cumpleaños que pueden haber en este grupo de 30 personas entonces vamos a suponer que éste cacho ver desde aquí este cacho verde son precisamente todos los eventos donde alguien comparte cumpleaños con alguien más todo esto ver desde aquí son los eventos o las formas del escoger los cumpleaños de las personas de manera que alguien comparta cumpleaños con alguien más y lo que quiere encontrar es precisamente esta probabilidad la probabilidad de que alguien comparta cumpleaños con alguien más lo voy a notar porsche de compartir entonces bien que es todo esto que está acá afuera que es todo lo que está dentro del rectángulo amarillo pero no está en verde pues esto sería el caso o los casos donde nadie comparte cumpleaños con nadie comparte cumpleaños con nadie o lo que es lo mismo todos tienen cumpleaños diferentes todos tienen cumpleaños y cumpleaños diferentes diferentes toda esta región de aquí es eso vamos a escribir la probabilidad de estar aquí en la parte roja como la probabilidad de que sean diferentes los cumpleaños de diferente que sucede pues yo tengo que estar parado tengo que elegir algún evento de dentro del rectángulo amarillo esta partida se hizo verde pero bueno dentro de todo este rectángulo así que puede estar aquí o estar acá de modo que si lo que quiero es calcular esta probabilidad pues la probabilidad de estar en cualquiera de los dos de estar en cualquier parte este rectángulo es uno así que la probabilidad de estar aquí va a ser uno menos la probabilidad de estar en rojo o dicho de otro modo que quizá sea más útil la probabilidad de que al menos dos personas compartan cumpleaños más la probabilidad de que todos los cumpleaños en fechas distintas sumados me deben de dar uno que todos los eventos son alguno de estos dos casos todos los cumpleaños son diferentes o alguien comparte cumpleaños con alguien más y además si alguien comparte cumpleaños con alguien más no puede ser que todos los cumpleaños en distintos así que son mutuamente excluyentes y son todos los casos pero bueno entonces la probabilidad de que al menos dos personas compartan cumpleaños va a ser igual a 1 - la probabilidad de que todos los cumpleaños sean distintos bien vamos a calcular entonces cuál es la probabilidad de que todos los cumpleaños caigan en fechas distintas y vamos a suponer que sólo tenemos dos personas personas 1 y personados en este caso la persona uno su cumpleaños puede ser cualquier día del año puede ser cualquiera los 365 días que tiene el año así que su cumpleaños puede ser 365 días disponibles de entre 365 días que tiene el año que desde la personal voz pues para que el cumpleaños de la persona dos sea distinto del de la persona uno ya use uno de los días así que sólo puedo elegir entre 364 días en de entre 365 días que tiene el año esta es la probabilidad de que el cumpleaños de la personal voz no coincida con el de la persona uno este producto y cuánto es esto pues lo voy a escribir así aunque parezca que no tiene mucho sentido 365 por 364 entre 365 al cuadrado y lo que quiero al no cancelar un 365 del numerador con 1 del denominador es que vean un patrón que empezar a surgir que hay de si tengo tres personas persona uno personas 2 y persona 3 en ese caso la primera persona su cumpleaños puede ser cualquiera de los 365 días de entre los 365 días que tiene el año la probabilidad de su cumpleaños de la persona dos puede ser cualquiera los 364 días que me quedan ya que se uno de entre los 365 días que tiene el año la persona 3 su cumpleaños ya luce dos días para las personas unidos así que su cumpleaños tiene que caer en alguno de los 363 días restantes entre los 365 días que tiene el año y esta sería la probabilidad de que ninguna de estas tres personas tenga su cumpleaños en la misma fecha y cuando es esto pues es 365 por 364 por 363 entre 365 ahora al cubo y así que qué pasaría si continúo hasta que tengo treinta personas pues entonces en el caso de 30 personas personas tendría que la probabilidad es 365 por 364 por 363 así como estaba pasando acá y así continuaría multiplicando hasta multiplicar 30 números así que me detendría en el 336 eso serían 30 números y dividiría entre 365 a la 30va potencia pero esto es muy complicado describir en una calculadora así que les preguntó hay algún modo de escribir esto que involucra a los factoriales y pues sí lo hay pero cuál es pues muy bien si consideramos cuanto es 365 factorial pues por definición estos 365 por 364 por 363 por 362 por 361 y así hasta llegar a 2 y eventualmente aún ahora bien si me fijo en este numerador sólo tengo dos términos estos primeros dos así que podría dividir todo esta expresión entre 363 por 362 por 361 hasta que eventualmente multiplique a 2 x 1 x 2 por 1 y qué es esto de aquí pues estoy aquí es precisamente 363 factorial así que esto cancelaría a esto y nos quedaríamos exactamente con la parte que quiero hacer otra cosa que es importante es de dónde sale este 363 pues en este caso sólo quería dos términos arriba sólo quería estos dos términos y 363 es precisamente 365 menos dos así que esto no podría escribir escribir como 365 factorial entre 363 -2 factory al así que todo esto todo esto de aquí sería igual a 365 factorial entre 363 -2 factoría al dividido entre 365 al cuadrado quizás de que me repito esto parezca una potencia muy bien ahora que sucede en este caso pues en este caso de nuevo tendría 365 factorial 365 factorial pero ahora quiero tres términos así que voy a hacer 365 -3 factoría al y todo lo voy a dividir entre 365 al cubo y esto cuánto queda 365 factorial es 365 por 364 por 363 por 362 etcétera etcétera dividido entre 365 menos 3 362 factorial sería entre 362 por 361 etcétera etcétera y todo eso entre 365 al cubo ahora bien todo esta parte aquí cancelaría la parte correspondiente de acá arriba lo que me queda que desafortunadamente no me ocupo y todo eso lo voy a dividir entre 365 al cubo ok así que siguiendo esta misma lógica estoy acá lo podría escribir como 365 factorial entre ahora quiero 30 términos así que entre 365 -30 factorial dividido entre 365 a la 30va potencia la potencia 30 y esto cuánto es ahora sí voy a sacar mi calculadora de hecho una en gran medida todo esto fue para poder escribir rápido en la calculadora porque ya sé dónde está el botón de factorial bien entonces 365 factorial entre 365 menos 30 y 335 factorial todo eso dividido entre 365 elevado a la potencia 30 y la calculadora nos dice que eso es 0.29 36 así que esto vale 0.29 36 o si lo queremos escribir como un porcentaje es el 29.36 por ciento sólo multiplicó por cien y agregó el símbolo porcentaje pero nosotros no queríamos la probabilidad de que las 30 personas tuvieran un cumpleaños diferente que es ésta de aquí nosotros queríamos la probabilidad de que compartieran un cumpleaños al menos dos personas que habíamos visto arriba que era 1 - la probabilidad de que todos los cumpleaños fueron distintos así que esto es 1 - la probabilidad de que sean distintos o lo que es lo mismo esto es 1 - 0.29 36 y cuánto es eso quiero uno menos los de arriba - el resultado y eso es 0.70 63 y algo más así que ésta fue cero todos 70-63 o escrito como un porcentaje fue aproximadamente el 70 puntos 6 por ciento de los casos lo cual es bastante sorprendente de hecho esto es bastante interesante porque si pones a 30 personas en un cuarto y te preguntas cuál es la probabilidad de que comparten cumpleaños en principio uno esperaría que fue un número relativamente bajo pero es bastante alto de hecho la mayoría de las veces vas a compartir cumpleaños con alguien en tu grupo de clases si es que tu clase tiene al menos 30 personas claro pero bueno espero les haya gustado este vídeo