Generalizar con coeficientes binomiales (un poco avanzado)

en vídeos pasados nos habíamos preguntado cuál es la probabilidad de obtener tres águilas en cinco volados en este vídeo lo que quiero hacer es de nuevo tomar una moneda justa aunque veremos que es de esa condición la puedo quitar más adelante tomar una moneda justa y preguntarme cuál es la probabilidad de obtener acá águilas en n volados así que lo que quiero es la probabilidad de obtener exactamente exactamente aguilar acá es un número águilas en n volados donde calle mesón cualquier número claro que tiene que ser menor que en él no tiene sentido que me pregunte por la probabilidad de obtener 25 águilas en dos volados están comprendía nada de sentido pero bueno lo primero que voy a hacer como antes es calcular cuál es el número total de resultados posibles en mis n volados así que digamos que este es mi primer volado y mi primer volado tiene dos posibilidades puede ser águila o sol las dos igualmente probables porque es una moneda justa el segundo volado igual tiene sólo dos posibilidades allí lado sol el tercero puede ser aguiló sol y así sucesivamente hasta el enésimo volado así que aquí tengo mis n volados y entonces tengo 2 x 2 x 2 x 2 x 2 n veces tengo 2 a la n resultados posibles para mis n volados muy bien pues ahora tengo que contar de estos dos n resultados posibles cuáles de ellos contienen exactamente k águilas y del mismo modo que lo hicimos antes en vez de pensar que las águilas me van a salir lo que voy a imaginarme es que yo controlo dónde salen las águilas ok entonces tengo que acomodar estas acá águilas en estos en el lugar es cada volado representaría un lugar entonces para la primera águila la puedo colocar en cualquiera de los lugares disponibles así que tengo n posibilidades para acomodarla para la segunda águila como ya use una de las n posibilidades sólo tengo en -1 lugares disponibles para la tercera águila ya usted dos así que tendría n menos 2 y así sucesivamente hasta acomodar todas mis casillas de modo que este último lugar sería n menos -1 la razón por la que aquí aparece que a menos uno en vez de acá es porque en realidad estoy contando desde cero fíjense aquí sería n 0 en menos 1 en menos 2 de modo que si quiero que todo esto de aquí sean acá cada ghilas entonces tengo que llegar hasta acá menos 1 porque empecé en cero pero esto tiene un problema estoy repitiendo eventos a qué me refiero con eso imagínense que tengo águila águila ve y águila ce entonces si las acomodo este modo es exactamente lo mismo así las acomodo como águila de águila y águila ce porque a pesar de que estas dos cosas tienen un orden distinto las dos son instancias de que me salga allí la águila águila no puede distinguir al águila del águila be ok entonces tengo que dividir entre todos los modos posibles de reacomodar estas águilas imagínense que tengo objetos t1 t2 t3 así hasta azteca entonces de cuántos módulos por reacomodar pues de uno lo puede poner en cualquiera de cada lugar es que voy a ocupar de dos lo puedo poner en cualquiera de acá menos un lugar es porque ya use un lugar para tf1 y así sucesivamente el tercer objeto lo puedo acomodar en cualquiera de los caminos dos lugares que me quedan y así hasta llegar a dos por uno así que precisamente voy a dividir entre por qué a menos uno porque al menos dos así hasta dos por uno ok esto lo podemos checar cómo sigue imagínense que aquí tuviera tres águilas en cinco volados entonces este número sería cinco por cuatro por tres y ahí me detengo porque tengo tres águilas entonces quiero llegar sólo hasta cinco menos tres menos uno o sea cinco menos dos que es tres y eso lo dividiría entre los modos en los que puedo reacomodar esos tres lugares es decir tres por dos por uno ok ahora bien hay algún modo hay algún modo de reescribir por ejemplo esto de un modo más sencillo y pues la respuesta es que si lo hay y es en términos de lo que se llaman factoriales para los que ya sepan el factorial de un número que está definido como el producto de k porque a menos 1 porque a menos 2 así hasta llegar a el 1 es decir el factorial de un número simplemente es el producto de todos los números que son iguales son más chicos que por ejemplo 2 factorial es simplemente 2 por 13 factorial es igual a 3 por 2 por 14 factorial es igual a 4 por 3 por 2 por 1 y de hecho pueden seguir jugando con estos los factoriales son números que crecen muy muy rápido así que esto de aquí por definición es igual a k factorial ahora bien hay algún modo de escribir lo que está arriba de escribir el numerador de esta fracción en términos de factoriales pues veamos vamos a analizar un poco la situación qué pasa si considero n factorial en el factorial quien sería pues sería n por n menos uno por en menos 2 así hasta el 1 pero en medio en algún momento voy a llegar a el término n k menos 1 por n por n - k 1 y así continuó hasta que ahora si llego a dos por uno y la razón por la cual escribí esto es porque qué pasa qué pasa si yo aquí / / m - k factorial / n factorial entonces quién sería eso pues y / también de este lado n factorial sería n por m - k menos 1 pero n caminos uno es lo mismo que n - paréntesis que más uno y así hasta llegar a dos por uno y entonces fíjense qué pasa este n menos que cancelaría a este n menos que esté en camas 1 cancelar ya estã n menos camas 1 y todos los números de abajo irían cancelando a los números de arriba hasta hasta quedarme sólo con esta parte de aquí sólo con esto que es precisamente lo que tenía arriba esto de aquí es idéntico a este numerador si no me creen podríamos secarlo rápidamente si vuelvo a poner en igual a 5 y queda igual a 3 entonces que sería ese número sería 5 factorial entre 5 - 3 factorial que es 2 factorial y esto sería 5 por 4 por 3 por 2 por 1 dividido entre 2 factorial que sería 2 por 1 este 2 cancela este 2 este 1 cancelar este 1 aunque realmente son unos entonces no importa y me queda 5 por 4 por 3 que es precisamente lo que me había quedado en el numerador en el ejemplo que dio anteriormente así que bien en resumen siempre que tengan cada objeto si los quieran acomodar en n lugares posibles entonces esta fórmula se va a aplicar esta fórmula de aquí primero vamos a tomar este número este número que ya vimos que era n factorial entre n factorial voy a tomar en el factorial entre n menos caf factorial en el cap perdón factorial y lo voy a dividir entre este número entre k factorial así que aquí todavía tengo que dividir entre k factorial y este número de aquí se llama el coeficiente binomial y a veces se denota así quiero encontrar la forma de acomodar acá objetos en el lugares a veces se escribe así y se puede leer como las combinaciones de n en k o también lo podría pensar en que tengo n cosas y quiero seleccionar sin importarme el orden que de ellas tengo n cosas idénticas y quiero seleccionar k de ellas también se puede escribir así y como les decía esto se llama el coeficiente binomial bien pues regresando a nuestro problema original que era de encontrar la probabilidad de exactamente cada ghilas en n volados pues ya sabemos que el número total de resultados es 2 a la n 2 a la n resultados posibles en n volados entonces la probabilidad que me lo escribo por aquí probabilidad ya no voy a escribir qué es lo que estamos buscando pero la probabilidad siempre es igual a el número de eventos favorables entre el número de eventos posibles el número total de eventos que ya sabemos es 2 a la n iv cuáles son los eventos favorables son aquellos que exactamente contienen en este caso que águilas son los que satisfacen mi condición de aquí entonces cuál es ese número pues lo que vamos a encontrar es este número de aquí este número de aquí entonces ese número va a ser n factorial / k factorial por n - k factorial o si lo quiero escribir de un modo quizás más bonito lo podría escribir como n en k las combinaciones de nk por 1 entre 2 a la n iv bueno quizás sea buena idea que se aprendan esta fórmula a mí me gusta re derivar la cada vez que la voy a usar para asegurarme de entenderlo todo bien me entretiene pensar en que tengo mis objetos y los quiero acomodar en el lugares disponibles entonces este sería el número de formas de hacerlo pero luego tengo que dividir entre la cantidad de modos en los que podría reacomodar esos objetos y por eso me gusta volver a reprobar esto todas las veces que lo utilizo