Factoriales y disposición de asientos

En este video vamos a presentar  la idea de las permutaciones,   que es una palabra elegante para  nombrar un concepto bastante sencillo,   que indica ¿cuál es el número de formas  en que podemos organizar las cosas? ¿Cuántas posibilidades diferentes hay?  Y para hacerlo un poco más concreto,  vamos a usar un sofá como ejemplo. En mi sofá se pueden sentar  exactamente tres personas.  Tengo el asiento número 1 a la izquierda del sofá,   el asiento número 2 en medio del sofá y  el asiento número 3 a la derecha del sofá. Y digamos que tenemos tres personas que  se van a sentar en estos tres asientos,   la persona A, la persona B y la persona C.  ¿De cuántas formas diferentes pueden sentarse  estas tres personas en estos tres asientos? Pausa el video y trata de  resolverlo por tu cuenta.   Bueno, hay varias formas de abordar esto.  Una forma es pensar una por  una todas las posibilidades. Podrías hacerlo sistemáticamente. Podrías decir que, si la persona  A está en el asiento número uno,   entonces la persona B podría estar en el  asiento número dos, y la persona C podría   estar en el asiento número tres. Y podría pensar en otra situación.  Si la persona A está en el asiento  número uno, podría intercambiar a B y C.  Así que podría quedar así. Y esas son todas las situaciones,   todas las permutaciones en las que  A está en el asiento número uno. Así que ahora vamos a poner a otra  persona en el asiento número uno. Ahora pongamos a B en el asiento número uno, y  podría poner a A en el medio y a C a la derecha.  O podría poner a B en el asiento número uno,   y luego intercambiar A y C. De modo que tengo C y luego A. Y luego si pongo a C en el asiento número uno,   pues podría poner a A en el  medio y a B a la derecha.  O también, con C en el asiento número uno,  podría poner a B en el medio y A a la derecha. Estas son todas las permutaciones  posibles y puedes ver que hay una,   dos, tres, cuatro, cinco, seis. Ahora bien, esto no fue tan difícil. En general, si estás pensando en   permutaciones de seis cosas o tres cosas  en tres espacios, puedes hacerlo a mano. Pero podría complicarse mucho si dijera,  oye, tengo 100 asientos y 100 personas   que se van a sentar en ellos. ¿Cómo lo calculo matemáticamente? Bueno, la forma de hacerlo, y esta va a ser una  técnica que puedes usar para cualquier número   de personas y cualquier número de asientos, es  tomar como base lo que acabamos de hacer aquí. Aquí empezamos con el asiento  número uno y pensamos en cuántas   posibilidades diferentes hay, cuántas  personas diferentes podrían sentarse   en el asiento número uno dando por  sentado que el asiento está vacío. Bueno, tres personas diferentes podrían  sentarse en el asiento número uno.  Puedes verlo aquí. Aquí están los casos donde A se  sienta en el asiento número uno,   aquí donde B se sienta en el asiento número uno,  y aquí donde C se sienta en el asiento número uno. Ahora, para cada una de esas tres posibilidades,   ¿cuántas personas pueden sentarse  en el asiento número dos? Bien, hemos visto que cuando A se  sienta en el asiento número uno,   hay dos posibilidades para el asiento número dos.  Cuando B se sienta en el asiento número uno, hay  dos posibilidades para el asiento número dos. Cuando C se sienta en el asiento número  uno, esto parece un trabalenguas,   hay dos posibilidades para el asiento número dos. Y así, aquí vas a tener dos posibilidades. Otra forma de pensar en ello es que  una persona ya se ha sentado aquí,   hay tres formas diferentes de conseguirlo, y  por lo tanto quedan dos personas que podrían   sentarse en el segundo asiento y lo vimos  aquí, donde escribimos las permutaciones. ¿Y cuántas permutaciones diferentes  hay para el asiento número uno y   el asiento número dos? Bueno, se multiplican. Por cada uno de estos tres tienes dos, por cada  uno de estos tres en el asiento número uno,   tienes dos en el asiento número dos. ¿Y qué pasa con el asiento número tres? Bueno, si sabes quién está en el asiento  número uno y en el asiento número dos,   solo hay una persona que puede  estar en el asiento número tres.  Y otra manera de pensar en ello es decir:  bueno, si dos personas ya se han sentado,   solo hay una persona que podría  estar en el asiento número tres. Y así, matemáticamente, lo que podríamos  hacer es multiplicar 3 x 2 x 1.  Posiblemente hayas reconocido la  operación matemática factorial,   que literalmente significa: empieza  con ese número y luego multiplícalo   por un número menos que ese y luego por  uno menos que ese hasta llegar a uno. Y esto es tres factorial, que va a ser igual a  seis, que es exactamente lo que tenemos aquí.  Y para apreciar lo útil que es esta  función, vamos a ampliar nuestro ejemplo. Digamos que tenemos cinco asientos. Uno, dos, tres, cuatro, cinco. Y tenemos cinco personas,  las personas A, B, C, D y E.  ¿De cuántas formas diferentes pueden sentarse  estas cinco personas en estos cinco asientos? Pausa el video y trata de resolverlo. Bueno, podrías decir inmediatamente que   va a ser igual a 5 factorial, va  a ser igual a 5 x 4 x 3 x 2 x 1. Cinco por cuatro es 20, 20 por tres es 60.  Y luego 60 por dos es 120 y  120 por uno es igual a 120. Y una vez más, eso tiene mucho sentido.  Si nadie se ha sentado, hay cinco  posibilidades para el asiento número uno. Y luego para cada una de esas posibilidades,   hay cuatro personas que podrían  sentarse en el asiento número dos.  Y luego para cada una de esas 20 posibilidades  en los asientos número uno y dos,   pues habrá tres personas que podrían  sentarse en el asiento número tres. Y para cada una de esas 60 posibilidades,   hay dos personas que pueden sentarse  en el asiento número cuatro.  Y entonces una vez que sabes quiénes están  en los primeros cuatro asientos, sabes quién   tiene que sentarse en el quinto asiento. Y así calculamos esas 120 posibilidades.