Demostración de la minimización del error cuadrático en la regresión lineal. Parte 1

en el vídeo pasado habíamos definido el error cuadrática entre cierta línea de la mx b y cada uno de estos puntos bueno el conjunto de estos puntos como esta expresión de aquí lo que procede ahorita es manipular algebraica mente esta expresión y dejarla lista para meterla al horno o sea la parte de cálculo una vez hecho esto vamos a poder encontrar m&b con unas derivadas parciales para que se minimice el error cuadrática entonces ahorita lo que va a pasar es que vamos a hacer un montón de álgebra para que esta parte no sea tan tediosa voy a intentar poner colorcito correctamente déjame reescribir esto vamos a empezar reescribiendo esto pues expandiendo los cuadrados entonces vamos a empezar con el primer término lleva 1 - mx1 más b al cuadrado y eso de ahí elevándolo al cuadrado va a ser igual a este término es igual a en azul ayer 1 al cuadrado - dos veces el primero por el segundo o sea menos dos veces ya 1 x mx1b finalmente hay que sumar el segundo al cuadrado es decir mas mx1b al cuadrado lo único que hice fue elevar este binomio al cuadrado que podemos pensarlo como a menos b al cuadrado y entonces queda al cuadrado menos 2 sabe más b al cuadrado esto es simplemente lo que hice ahora vamos a hacer eso para cada término es casi la misma idea aquí verdad simplemente cambian los términos en xy le voy a escribir aquí abajo para que podamos sumar después más fácilmente entonces el segundo nos queda de 2 elevado al cuadrado menos 2 veces de 2 x mx2 más ve más mx2 más b elevado al cuadrado es exactamente lo mismo que arriba solo que ahora tenemos en vez de x 1 ig1 pues x 2 y de 2 vamos a seguir haciendo esto con cada uno de los sumandos entonces vamos a seguir así para el x 3 de 3 para el x 4 4 y así hasta que lleguemos al último término al enésimo nos queda más que al cuadrado y luego tenemos que restar dos veces n x mx n b y luego hay que sumar m por equis n más b elevado al cuadrado muy bien ahora la siguiente cosa que quiero hacer es expandir cada uno de estos términos quiero hacer las multiplicaciones y los cuadrados vamos a bajar aquí entonces toda esta expresión la voy a reescribir y nos va a quedar igual a pues a ver esto de que es el error cuadrática y lo primero que nos queda es que 1 al cuadrado y luego voy a distribuir este menos 2 1 entonces nos quedaría nos quedaría menos 2 veces 1 mx1 simplemente es eso por eso menos 21 x b con eso desarrollamos el segundo sumando vamos al tercero expandiendo el binomio al cuadrado nos queda m cuadrada por x 1 al cuadrado más 2 veces mx1 por b dos veces el primero por el segundo más cuadrado el segundo al cuadrado lo único que hice fue pensarlo como amarre al cuadrado y hacer cuadrada más dos sabe más b cuadrada vamos a hacer esto para cada uno de los términos oa lo mejor debería decir para cada color pasemos al segundo renglón va a ser exactamente lo mismo pero en vez de 12 y en vez de x1 es x2 nos quedan dos elevado al cuadrado menos dos veces de dos x mx2 menos dos veces de 2 x b más m cuadrada por x2 al cuadrado más dos veces mx2b más b al cuadrado muy bien vamos a seguir haciendo esto para cada uno de los términos hasta el final entonces puntos suspensivos y el último nos quedaría más esto de acá entonces nos quedaría más g n al cuadrado menos 2 veces n sí verdad menos dos veces gene por mx n de hecho ni siquiera hay que pensar solo hay que cambiar los subíndices de 2 a n va o sea no hay que desarrollar todo otra vez entonces siguiendo así nos quedaría menos dos veces llene por ve más m al cuadrado por equis n al cuadrado más dos veces x n por b más b al cuadrado excelente entonces una vez más esto de aquí sigue siendo el error cuadrática no hay que olvidarnos que esto viene del error cuadra tico entre la línea y los puntos ahora vamos a ver si podemos pues juntar los términos similares para hacer esto lo que voy a hacer es pues intentar sumar por columna vale entonces si sumo todos los términos que están en la primera columna nos voy a marcar con amarillo toda esta columna de aquí que me quedaría pues nos quedaría ya 1 al cuadrado más de 2 al cuadrado más pues todo está más n al cuadrado va esto de aquí es la primera columna entonces voy a tener eso de ahí y luego voy a tener pues estas expresiones en la segunda columna de hecho pues fíjate casi todos estos o más y en todos estos tienen menos 12 m en cada uno de los elementos aparecen menos 2 cm entonces lo vamos a factorizar entonces vamos a obtener la vez que voy a poner paréntesis por aquí ahora si lo que nos quedaría es menos 2 m menos 12 m y luego hay que multiplicar por pues cada uno de estos términos para entonces que nos quedaría son los que déjame poner todo con colores correctamente para que quede mucho más claro entonces vamos a borrar hasta acá entonces simplemente estamos haciendo manipulaciones algebraicas nos queda 1 al cuadrado más set 2 al cuadrado más y así hasta allí n al cuadrado esa es la primera columna le ponemos paréntesis y a eso vamos a sumarle este término común que es menos 12 m osea lo vamos a factorizar vamos a este factor no en vez de más es menos verdad déjame borrarlo voy a ponerle menos 2 m x y que nos va quedando pues la suma de productos verdad nos queda de 1 x 1 no voy a poner mejor como x 1 y uno va ese es éste término de aquí luego hay que sumar x 2 vamos a ponerlo con el color rojo que le corresponde más x 2 y 2 más y luego vamos a seguir sumando y sumando así hasta x nn x 1 o sea seguir sumando y sumando sumando y sumando hasta que llegamos hasta x n&n corresponde a este término de aquí muy bien esto de aquí es la segunda columna entonces déjame marcarlo con otro color esta segunda columna que estoy marcando con rosa mexicano es lo mismo que esté sumando que escribí en la expresión de abajo vamos a la tercera columna saber en la tercera columna una vez más podemos factorizar pues un -2 ve verdad todos estos tienen un -2 ve nos queda menos 2 b y luego eso hay que multiplicarlo por pues que nos va quedando nos queda 1 luego hay que sumar 12 lo pongo en rojo más dos más y así sucesivamente hasta que llegamos a n entonces voy a ponerle más n muy bien entonces pues lo marcamos con otro color esto que estoy marcando en verde la tercera columna cuando la sumamos nos queda el tercer sumando que estoy subrayando aquí vamos a seguir con esto en el siguiente vídeo lo que vamos a hacer es simplificar esto un poquito ahorita tal vez se me acabe el tiempo ahorita vamos a acabar con estas sumas vamos con la cuarta columna misma ideal aquí tenemos una m cuadrada que podemos factorizar nos queda m al cuadrado por equis uno al cuadrado más x2 al cuadrado más y así espérame tantito aquí se me olvidó otra vez a ver colores concentración ok entonces nos queda x 1 al cuadrado más x 2 al cuadrado más patata hasta que llegamos a más x n al cuadrado muy bien a ver acá arriba el yen y al cuadrado era rosa y elche 2 al cuadrado era rojo creo que sí ya arregle todo lo de los colores muy bien entonces hasta ahorita hemos llegado hasta la cuarta columna y esta cuarta columna de aquí es este último término que sumamos que sumamos me faltaba aún más ahora pasemos a la quinta columna ya casi terminamos a ver aquí tenemos un 12 mb entonces vamos a sumarle 2 mb x y ahora nos va quedando x 1 y a eso tenemos que sumarle x 2 lo pongo con rojo x2 ahora no se me olvido bueno hay que llegar hasta aquí cn muy bien entonces sumamos así hasta x n excelente con esto ya logramos hacer la penúltima columna esto que estoy encasillando es igual al último sumando que acabamos de poner muy bien ya nada más falta el último jalón en la última columna tenemos un montón de hebe cuadradas cuantas b cuadradas tenemos a pues tenemos una por renglón y como los renglones están numerados desde uno hasta n entonces tenemos sumadas n b cuadradas que es lo mismo que en x b cuadrada la última columna suma n b cuadrada y entonces nos queda más n por b cuadrada muy bien ahorita no se ve muy prometedor esto verdad de hecho se ve bastante complicada esta expresión esto sigue siendo el error cuadrática el error cuadrática de la línea y de los puntos ahora insisto hasta ahorita no se ve muy prometedor pero en el siguiente vídeo nos vamos a enfocar en simplificarlo para finalmente poder pasar a la parte de cálculo hasta la próxima