Distribución normal. Ejercicio en Excel

en este vídeo vamos a cubrir lo que es posiblemente el único concepto más importante de toda la estadística y tal vez lo bueno más bien entra en casi cada campo científico y es que es el único concepto más importante de toda la estadística incluso yo he comentado algunas personas que es algo un poco triste que no lo consideren como dentro de un currículum pues todos deberían de saber esto porque entra o abarca cada área o parte de nuestras vidas y estamos hablando de la distribución normal o distribución a oceana o la curva de la campana y solo para darte un avance de lo que es y bien mi avance de aquí luce un poco extraño pero conforme avancemos en el vídeo espero que tengas más intuición de lo que se trata todo y la distribución gauss jana o distribución normal que son diferentes palabras pero es lo mismo pues fue a causa que se le ocurrió y creo que él estaba estudiando un fenómeno astronómico cuando lo hizo pero es una función de densidad de probabilidad y hemos estudiado ya la distribución pues son y es algo así y solo para darte un avance de esto donde la probabilidad de x es la clase de las probabilidades de las funciones de distribución como la binomial o la distribución para son están basadas en varios parámetros pero esta es igual a y es como tradicionalmente la base de descrita en muchos libros de texto y también si tenemos tiempo me gustaría reordenar el álgebra que tenemos por aquí para tener un poco más de intuición de cómo es la función o tal vez podríamos obtener algunas ideas de dónde viene esto y no lo voy a demostrar en este vídeo pues va más allá de nuestro alcance pero si te interesa puedes buscar en wikipedia como la fórmula de stirling la cual podrías ver que es fascinante pues aproxima factoriales a funciones continuas esencialmente pero bueno no me voy a enfocar en eso ahora y bien la distribución normal es igual a 1 sobre esto es como normalmente las escriben entonces sería 1 sobre la desviación estándar por la raíz cuadrada de 2 pi por el ala menos un medio y bien lo voy a escribir de esta forma pues se me hace un poco más fácil recordarlo pero bueno de cualquier forma entonces esto es por a la menos un medio por equis que es la variable que estamos buscando menos la media sobre la desviación estándar al cuadrado y este término de aquí y si pensamos en esto aquí hay algo bueno que nos está diciendo ya que nos está diciendo qué tan lejos estamos de la media y lo estamos dividiendo entre la desviación estándar de dicha distribución y bueno este es el avance de la distribución normal que grafique donde la curva morada es la distribución normal inicialmente en dicho ejercicio yo sé que me brinqué un poco todo lo que estoy tramando pero en sí es para mostrarte que la distribución normal es una buena aproximación a la distribución binomial y viceversa pues si tomas los suficientes ensayos podrás ver como una converger a otra y bueno regresando a este término aquí es realmente interesante pues nos está diciendo qué tan lejos estamos de la media aparte la estamos dividiendo entre la desviación estándar y es algo que se le conoce como puntaje z una cosa que encontré en estadística es que hay muchas pero muchas definiciones que suenan un tanto como fantásticas como la puntuación zeta estándar pero el concepto es en sí muy sencillo pues digamos que tengo una distribución de probabilidad y tomamos algún valor de x por aquí que podría ser no sé 3.5 3.5 de desviación estándar a la media luego la puntuación o el puntaje z estándar sería 3 y bueno de cualquier forma concentrémonos en el propósito de este vídeo así que esto es lo que la distribución normal tiene por función de densidad de probabilidad y luce así pero como llegó hasta allí y bien al final de este vídeo te sentirás conforme de que es una buena aproximación a la binomial al tomar un número suficiente de ensayos y esto es lo fascinante acerca de distribución normal es que bueno si tú tienes la cual en otro vídeo acerca del teorema central del límite si tienes la suma de muchos pero muchos eventos independientes que están aproximándose a infinito la distribución de los ensayos o eventos podrían haber sido normal pero la distribución de la suma de esos eventos si se aproximarían a la distribución normal de lo cual hablaré más adelante pero esto es una excelente distribución para suponer algún fenómeno por ejemplo si estás modelando el clima o algún comportamiento de medicina podemos hablar de a cuál se adapta a línea cuáles no pues algunas veces la gente podrá suponer cosas con una distribución normal como las finanzas y hemos visto que hay crisis financieras entonces deja demasiadas cosas volando pero bueno de cualquier forma regresemos a esto y en realidad esta es sólo una hoja de cálculo a la televisión fondo negro y la puedes encontrar en esta línea que estoy escribiendo por aquí la cual es importante que lo escribas completa para que logres encontrarla y entonces te recomiendo que estés jugando con ella y tal vez hagas tu otra hoja de cali donde experimentes con esto entonces en esta práctica lo que hicimos es dar un ejemplo de un juego donde estamos sentados en la calle y lanzamos una moneda completamente justa y si tenemos clara damos un paso hacia atrás o digamos que a la izquierda y si obtenemos cruise vamos a dar un paso a la derecha sale así que en general tenemos siempre una moneda completamente injusta por lo que tenemos 50 por ciento de posibilidades de tomar un paso hacia la izquierda y un 50% de dar un paso a la derecha y si de repente te da una racha de caras que estarás moviendo mucho hacia la izquierda o si obtienes un bonche de cruces te estarías moviendo a la derecha y hemos ya ha aprendido anteriormente las posibilidades de obtener bastantes cruces o muchas más cruces que caras pero es una función que tiende a hice como siempre igual es acerca de estar igual y por aquí lo que he hecho bueno déjame y me recorro un poco porque no quiero perder la información así que lo que he hecho por aquí es que tengo esta pequeña función y te invito a que lo cambies a como a ti te guste pues este es el número de pasos que yo tomé que había tomado 10 pasos así que como te digo tomé 10 pasos y tú puedes tomar los que tú gustes y luego aquí tenemos la media del número de pasos que se van a la izquierda y todo lo que hice fue obtener la probabilidad o las probabilidades y figurar me en la media de la distribución binomial y la media de la distribución es esencialmente la probabilidad de dar un paso a la izquierda que lo tome como éxito por el número total de ensayos lo cual sería igual a 5 y justo de ahí viene ese número y la varianza no estoy segura de si ya hablé de esto antes y si necesito probarla pero si no lo tengo haré un vídeo donde haya la varianza de la binomial pero aquí esencialmente es igual al número de ensayos o experimentos que son 10 por la probabilidad de tomar un paso a la izquierda o de un éxito en este caso y entonces estoy definiendo la izquierda como éxito lo cual pudo haber sido también derecha y pues finalmente en esta en este ejemplo en este caso tienen la misma probabilidad de éxito por lo que por eso es 10 por punto 5 por punto 5 lo cual nos da 2.5 de varianza y es todo lo que tengo en esta hoja de cálculos de hecho si pues si quieres puedes darle clic sobre la celda para que puedas ver la fórmula con la que lo hice pues también algunas veces simplemente ver el excel o la hoja de cálculo puede ser un poco confuso y este de aquí es si simplemente es la raíz cuadrada de aquel número que es la desviación estándar la cual es la raíz cuadrada de la varianza así que sea la raíz cuadrada de 2.5 y ahora si observas aquí esto esto de aquí es la probabilidad de que haga cero pasos sale así que tome el total de pasos que son los 10 solo para entender esta hoja y entonces todos los pasos se van a ir hecha entonces cuál es la probabilidad de que haya cero pasos a la izquierda y bien solo para ser más clara si hago cero pasos a la izquierda me refiero a que entonces hice los 10 pasos a la derecha y calculé esta probabilidad y tal vez debería dibujar esta línea de aquí y calculé está utilizando la distribución binomial lo cual sería para nuestra binomial serían los pasos totales que di que son 10 que sería entonces 10 factorial sobre el número de pasos que di a la izquierda que son 0 que se hace el factorial por 10 menos cero factorial cierto esto es eligiendo cero pasos de los 10 totales que tenemos a la izquierda y luego esto por la probabilidad de ir a la izquierda que sería punto 5 a la 0 que fue 10 pasos por la probabilidad de los pasos a la derecha será punto 5 a la 10 y entonces este resultado de aquí da 0.001 y viene de justamente este cálculo y es lo que la distribución binomial nos dice y este otro similarmente es 10 factorial sobre 1 factorial por 10 menos 1 factorial que es lo que nos da otra vez aquí y si das clic sobre dichas celdas verás esto bien explicado y así lo hicimos simplemente con cálculos binomial es llegamos a esto luego aquí por debajo de esta línea podríamos simplemente ignorarlo pero lo hice porque quiero hacer diferentes escenarios como por ejemplo si vamos a nuestra hoja de cálculo y lo voy a cambiar podríamos ponerle que en lugar de 10 pasos lo hiciéramos con 20 y entonces esto nos cambia esto esto nos va a dar un escenario diferente entonces voy a dejar de pensar por qué pasó esto tal vez sería bueno que le des una checada a la hoja de cálculo y lo hagas en limpio pero bueno no afecta el gráfico del diagrama de dispersión que hice y entonces en nuestra gráfica en azul podemos ver qué está la binomial y el morado está pero bueno en realidad no se trata mucho la diferencia entonces déjame lo hago más pequeño y sigue sin observarse entonces vamos a hacerlo ahora con cuatro y aquí y si se alcanza a identificar un poco como la gráfica de la binomial queda por debajo de la normal nada más déjame lo recalco para que alcanza a distinguirlo y es justamente aquí donde está nuestra gráfica de la binomio y como puedes ver hay sólo algunos puntos aquí que son como los más importantes por ejemplo si tomamos seo pasos a la izquierda 1 2 3 4 pasos a la izquierda y luego los gráfica mos y nos vemos cuál es la probabilidad de que utilizando la distribución normal suceda esto y está entonces cuál es mi posición final de donde sale si todos los 0 pasos a la izquierda pero tomo 4 la derecha mi posición final es 4 que es el ese es el escenario justamente de aquí y déjame cambiarme mi color para verlo mejor entonces si tomamos cuatro pasos para listo y cero pasos a la derecha entonces mi posición final sería justo la del punto amarillo que dibujé es cierto entonces son los diferentes escenarios que tenemos y si forma si fuéramos más neutrales y dijéramos que vamos a dar dos pasos a la izquierda y dos a la derecha o viceversa entonces tendríamos nuestro punto más o menos por ahí donde lo acabo de pintar de color amarillo en si la distribución binomial luce más como algo así sería como la probabilidad de obtener menos 4 luego irnos a menos 2 y así hasta llegar como al punto medio y la voy a recalcar de color amarillo para que observes cuál es nuestra gráfica de la binomial ahora bien lo que estamos tratando de hacer lo que estoy tratando de mostrarte es que veas como la la distribución normal se aproxima a la binomial sólo que aquí hay algo como un poco truculento pues la distribución binomial es una distribución discreta puedes mirar y obtener esta gráfica y decir bueno cuál es la probabilidad de que teniendo exactamente un paso a la izquierda y 3 a la derecha ocurra lo siguiente podemos fijarnos en la tabla que tenemos a la izquierda y checar los valores que va teniendo cada paso por ejemplo ahí tenemos encerrados de este lado en color amarillo lo de dar dos pasos a la izquierda y dos a la derecha los cuales serán cero punto 375 cierto lo cual lo ubicamos justamente en este punto que acabo de señalar y luego así nos podemos ir fijando qué valores va teniendo dicha distribución pero luego entonces lo interesante aquí es qué pasaría con nuestra distribución normal como dijimos cuando estábamos hablando de la distribución binomial es una distribución discreta entonces tenemos valores exactos para ciertos puntos de probabilidad ahora fijándonos en la distribución normal y como ya lo habíamos mencionado sería algo truculento pues aquí nuestra distribución binomial podemos seguirle dando las probabilidades de tener cierta cantidad de pasos a la izquierda oa la derecha lo cual por ejemplo aquí también tenemos la parte de tener y un paso a la izquierda y tres a la derecha lo cual me pone exactamente aquí no y bueno observa en esta tabla volvemos a tomar dicha probabilidad la cual sería punto 25 la de tener un paso a la izquierda y 3 a la derecha y es algo simétrico tenemos punto 25 de un lado que es 25% de probabilidad de terminar aquí exactamente en 2 a la derecha y la distribución normal como sabemos es una distribución continua lo cual sería una curva continua y luce algo así la cual conforme los valores se aproximan a infinito ésta se aproxima a 0 en ambos lados y luce de esta forma pero al ser una distribución continua puedes tomar algún punto aquí y decir bueno cuál es la probabilidad de que esté a dos pasos a la derecha si dices eso la probabilidad de hecho es estar exactamente en este punto no y para checar lo mejor podría revisar mis vídeos de funciones de densidades de probabilidad pues está exactamente dos pasos a la derecha estaríamos hablando como de dos átomos y esto estaría cercano de hecho tendrías que especificar un rango alrededor de esto para poder dar una probabilidad y lo que asumiremos por aquí sería tomar como medio pie en ambas direcciones y estaríamos bueno aquí ya estaríamos hablando de pies y para figurar nos lo que hice aquí es tomar el valor de la función de densidad de la probabilidad donde evaluamos esto y luego lo multiplicamos por 1 así que me da esta área y use esto como aproximación para dicha área y realmente quiero ser muy particular con esto lo que debería hacer es tomar la integral de esta parte de debajo de la curva en ese punto y por supuesto que sea una mejor aproximación pero lo podemos hacer en un futuro pero ahora lo que quiero es que tengas la intuición de la distribución binomial como obtuvimos estos números de aquí pues bien lo que podríamos hacer es cuál es la probabilidad de uno y éste es igual a uno sobre la desviación estándar donde la desviación estándar para cuatro pasos es 1 entonces sería 1 sobre 1 y cambiar esto pues creo que podría hacer sería mejor cambiarlo a un número más alto para que tenga más sentido y digamos que si hago esto tendríamos entonces 10 regresando al ejemplo de los 10 pasos pero bueno vamos a tener que cambiar todos nuestros cálculos y déjame hacerlos bien de hecho tendremos que tendremos que hacerlos de nuevo entonces cuál sería la probabilidad que nuestros ocho pasos restantes fueran dos a la derecha de los diez pasos entonces ya nos quedaban aquí ocho y entonces para los ocho serán seis pasos a la izquierda cuál sería dicha probabilidad nos está diciendo que es igual a cero punto cero 41 lo cual nos tiene por aquí más o menos y sería la probabilidad dar dos pasos la cual para obtener dicho valor sería igual a 1 sobre la desviación estándar la cual es 1.581 la raíz cuadrada de dos pi de hecho puedes dar clic sobre la celda para identificar cómo están todos los cálculos incluso en excel hay una forma de la distribución de la distribución normal perdón pero lo que yo quiero es que te identifiques cómo se hizo cada uno de los pasos y puedes darle clic a la celda e identificar cómo se obtuvo cada uno de los valores y bueno regresando a nuestro ejemplo teníamos esta parte de aquí y nos falta multiplicarlo por ea la menos un medio para completar nuestra distribución normal por x menos la media donde aquí x es el valor que estamos buscando que son los dos pasos a la izquierda que es nuestra probabilidad de éxito entonces sería por dos menos la media aquí la media para los diez pasos es igual a cinco entonces será dos menos cinco sobre la desviación estándar que como habíamos visto es 1.581 y todo esto al cuadrado y podrás darte cuenta que si haces justamente todos estos cálculos que tenemos por aquí se alcanza a dar este número que tenemos de nuestra distribución normal que nos sitúa más o menos por aquí recuerda que como estamos hablando de una distribución continua no nos está dando exactamente el valor de estar en un punto sino no se está tomando un rango de alrededor de dos pies entonces estaríamos como de 1.5 a 2.5 pies y lo cual nos sitúa justamente en esa parte donde únicamente puede pasar si estuviéramos tomando definitivamente como muy pequeñitos pasos cada vez más pequeños pero bueno así es como se aproxima dicha probabilidad y la manera de aproximar la es decir bueno cuál es la probabilidad de comenzar entre el pie y luego multiplicar la por la altura y esto que estamos calculando multiplicarlo por uno pues digamos que en esta base en la base de esta área es 1 por eso lo multiplicamos por dicha base para calcular esta área mediante nuestra aproximación entonces cuando multiplicamos eso por 1 se obtiene esto de aquí y quiero mostrarte que incluso con sólo 10 ensayos la curva de la distribución normal y la distribución binomial en azul casi llega a la altura una con otra y como puedes ver conforme el número de pasos sea más y más grandes estas casi convergen en su gráfica una con otra como se ve en mi hoja de cálculo de hecho déjame mostrarte cómo convergen hay una hoja de cálculo si ves en la parte inferior y le das clic a la siguiente hoja hay una tabla de convergencias y es lo mismo solo que aquí te voy a mostrar cómo convergen y que pasa con cada punto dado así que veamos la explicación de esta hoja para que puedas comprenderla así que esta probabilidad de aquí son las probabilidades de moverte a la izquierda oa la derecha entonces aquí estamos fijando un punto estamos fijando una posición en la cual esencialmente aquí nos está diciendo que si hacemos 10 movimientos esta sería mi posición final serían 10 entonces mira por aquí tenemos nuestro total de movimientos en esta primera parte hay perdón eran movimientos en esta primera parte eran 10 movimientos en los cuales 10 a la derecha y cero a la izquierda luego para 20 movimientos tenemos 15 a la derecha y 5 a la izquierda y así hasta llegar por ejemplo acá 80 movimientos en los cuales son 45 a la derecha y 35 a la izquierda lo cual nos dan estos 80 movimientos pero nuestra final posición en nuestra posición final serían los 10 y aquí vamos a llegar hasta un total de 170 movimientos donde sería como ya estar tomando un número infinito de lanzamientos y quiero que veamos cuál es la probabilidad de que mi posición final sean los 10 a la derecha y lo que quiero mostrarte es que conforme más y más movimientos tomes la distribución normal se convierte en una mucho mejor aproximación a la distribución binomial así que estos valores de aquí son cálculos de nuestra distribución binomial de la forma en como lo hicimos ya anteriormente entonces podemos ver qué muestra nuestro movimiento a la izquierda es la probabilidad de éxito así que aquí fueron 0 de 10 movimientos totales entonces serán 10 en 0 por la probabilidad de estar ajá por punto 5 de la probabilidad de estar a la izquierda que fueron 0 pasos por punto 5 a la 10 que es la probabilidad de los pasos a la derecha y entonces nos arroja dicho valor luego por ejemplo si vamos a este de acá serían 60 movimientos totales entonces serían los 60 factorial sobre tenemos 25 movimientos a la izquierda sobre 25 factorial por 60 menos 25 factoriales por la probabilidad de éxito que son los movimientos a la izquierda que sería punto 5 a la 25 por la probabilidad de la derecha que es la probabilidad de fracaso por así decirlo que apuntó 5 a la 35 entonces esto es la probabilidad de la binomial y nos arroja dicho valor y así sucesivamente puedes seguirle haciendo para figurar no es la media y la varianza para estas circunstancias puedes mirar la fórmula pero la media simplemente la probabilidad de tener movimiento a la izquierda por el número total de movimientos y la varianza es la probabilidad de ir a la izquierda por la probabilidad de ir a la derecha por el número total de movimientos y la probabilidad normal una vez más es usando la probabilidad de la normal que es la aproximación a la misma forma por ejemplo en esta situación en excel está la distribución normal pero puedes darle clic a la celda y ver la fórmula que estamos utilizando entonces aquí tendríamos que es la probabilidad de 25 hay no perdón que es la probabilidad de 45 que son los pasos que tenemos a la izquierda y entonces sería igual a 1 sobre la desviación estándar donde la desviación estándar es la raíz cuadrada de 25 entonces tendríamos sobre 5 por 2 pib por lo menos un medio por qué es x que es 45 menos la media que 50 sobre la desviación estándar que es 5 al cuadrado entonces todo está al cuadrado más bien y esto es lo que nos dice o nos va a dar el valor de la distribución normal para esta situación con esta desviación estándar y dicha media dada entonces luego solo multiplicamos por 1 que viene siendo la base como habíamos comentado y entonces no lo escribí porque pues es exactamente lo mismo y esto de aquí nos va a dar el valor pero para figurar nuestra probabilidad de iniciar entre un pie tengo que multiplicar por el uno y estamos realmente aproximando lo es decir estamos teniendo aquí como la integral que aunque era una mejor aproximación está dándonos otra que es realmente buena y esta tabla te muestra el número total de movimientos tan largos y la diferencia entre la probabilidad de la normal y la binomial y muy bien de hecho tú puedes cambiar este número de aquí y déjame cambiarlo para mostrarte puedes ver cuál es la probabilidad de tener 15 movimientos a la derecha 15 movimientos a la derecha y podemos poner 12 luego 13 y creo que hay algún pequeño error hay algo que quizás un pequeño problema con los números flotantes que están perdiendo decimales pues tienen que ser tan largos como como se está marcando quizás es con los factoriales pero está pasando algo extraño por aquí también podemos poner no sé con tres lo voy a cambiar para ver qué es lo que está sucediendo lo ponemos con 3 y qué es lo que pasa con 5 es posible que solo pase para los números más lejanos pues con 10 podemos ver que claramente como convergen y trataré de ver lo que es el problema pero bueno la idea de tener esta hoja de cálculo y mostrarte era era principalmente para que pudieras observar y te pudieras dar cuenta cómo iba dándose la convergencia pero bueno entonces aquí vamos a figurar nos la probabilidad de iniciar con esos movimientos a la derecha y conforme tomes más y más lanzamientos esta distribución normal se convierte en una mejor aproximación para nuestra distribución binomial y conforme te aproximas van a converger una con otra y estaré haciendo más vídeos de la normal puesto que es un concepto muy importante y creo que haya que aclarar varias cosas